基于MATLAB的有限元法分析平面應(yīng)力應(yīng)變問(wèn)題--劉剛_第1頁(yè)
基于MATLAB的有限元法分析平面應(yīng)力應(yīng)變問(wèn)題--劉剛_第2頁(yè)
基于MATLAB的有限元法分析平面應(yīng)力應(yīng)變問(wèn)題--劉剛_第3頁(yè)
基于MATLAB的有限元法分析平面應(yīng)力應(yīng)變問(wèn)題--劉剛_第4頁(yè)
基于MATLAB的有限元法分析平面應(yīng)力應(yīng)變問(wèn)題--劉剛_第5頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、姓名：劉剛 學(xué)號(hào)：15平面應(yīng)力應(yīng)變分析有限元法Abstruct:本文通過(guò)對(duì)平面應(yīng)力/應(yīng)變問(wèn)題的簡(jiǎn)要理論闡述，使讀者對(duì)要分析的問(wèn)題有大致的印象，然后結(jié)合兩個(gè)實(shí)例，通過(guò)MATLAB軟件的計(jì)算，將有限元分析平面應(yīng)力/應(yīng)變問(wèn)題的過(guò)程形象的展示給讀者，讓人一目了然，快速了解有限元解決這類問(wèn)題的方法和步驟！一. 基本理論有限元法的基本思路和基本原則以結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法為基礎(chǔ)，把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或連續(xù)體看成有限個(gè)單元的組合，各單元彼此在節(jié)點(diǎn)出連接而組成整體。把連續(xù)體分成有限個(gè)單元和節(jié)點(diǎn)，稱為離散化。先對(duì)單元進(jìn)行特性分析，然后根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的平衡和協(xié)調(diào)條件建立方程，綜合后做整體分析。這樣一分一合，先離散再綜合的過(guò)程，就

2、是把復(fù)雜結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)單單元分析與綜合問(wèn)題。因此，一般的有限揭發(fā)包括三個(gè)主要步驟：離散化 單元分析 整體分析。二. 用到的函數(shù) 1. LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,p) 2.LinearBarAssemble(K k I f) 3.LinearBarElementForces(k u)4.LinearBarElementStresses(k u A)5.LinearTriangleElementArea(E NU t) 三.實(shí)例 例1.考慮如圖所示的受均布載荷作用的薄平板結(jié)構(gòu)。將平板離散化成兩個(gè)線性

3、三角元，假定E=200GPa，v=0.3，t=0.025m,w=3000kN/m. 1.離散化2.寫出單元?jiǎng)偠染仃囃ㄟ^(guò)matlab的LinearTriangleElementStiffness函數(shù)，得到兩個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚭?，每個(gè)矩陣都是66的。 E=210e6E = 210000000 k1=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0,0,0.5,0.25,0,0.25,1)k1 = 1.0e+006 * Columns 1 through 5 2.0192 0 0 -1.0096 -2.0192 0 5.7692 -0.8654 0 0.8654 0 -0.

4、8654 1.4423 0 -1.4423 -1.0096 0 0 0.5048 1.0096 -2.0192 0.8654 -1.4423 1.0096 3.4615 1.0096 -5.7692 0.8654 -0.5048 -1.8750 Column 6 1.0096 -5.7692 0.8654 -0.5048 -1.8750 6.2740 NU=0.3NU = 0.3000 t=0.025t = 0.0250 k2=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0,0,0.5,0,0.5,0.25,1)k2 = 1.0e+006 * Columns 1

5、 through 5 1.4423 0 -1.4423 0.8654 0 0 0.5048 1.0096 -0.5048 -1.0096 -1.4423 1.0096 3.4615 -1.8750 -2.0192 0.8654 -0.5048 -1.8750 6.2740 1.0096 0 -1.0096 -2.0192 1.0096 2.0192 -0.8654 0 0.8654 -5.7692 0 Column 6 -0.8654 0 0.8654 -5.7692 0 5.76923.集成整體剛度矩陣 8*8零矩陣K = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K=LinearTriangleAssemble(K,k1,1,3,4)K = 1.0e+006 * Columns 1 through 5 2.0192 0 0 0 0 0 5.7692 0 0 -0.8654 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.8654 0 0 1.4423 -1.0096 0 0 0 0 -2.0192 0.8654 0 0 -1.4423 1.0096 -5.7692

7、0 0 0.8654 Columns 6 through 8 -1.0096 -2.0192 1.0096 0 0.8654 -5.7692 0 0 0 0 0 0 0 -1.4423 0.8654 0.5048 1.0096 -0.5048 1.0096 3.4615 -1.8750 -0.5048 -1.8750 6.2740 K=LinearTriangleAssemble(K,k1,1,2,3)K = 1.0e+007 * 0.4038 0 0 -0.1010 -0.2019 0 -0.2019 0.1010 0 1.1538 -0.0865 0 0 -0.5769 0.0865 -0

8、.5769 0 -0.0865 0.1442 0 -0.1442 0.0865 0 0 -0.1010 0 0 0.0505 0.1010 -0.0505 0 0 -0.2019 0 -0.1442 0.1010 0.4904 -0.1875 -0.1442 0.0865 0 -0.5769 0.0865 -0.0505 -0.1875 0.6779 0.1010 -0.0505 -0.2019 0.0865 0 0 -0.1442 0.1010 0.3462 -0.1875 0.1010 -0.5769 0 0 0.0865 -0.0505 -0.1875 0.62744.引入邊界條件.用上

9、一步得到的整體剛度矩陣，可以得到該結(jié)構(gòu)的方程組如下形式 本題的邊界條件：將邊界條件帶入，得到： 5.解方程分解上述方程組，提取總體剛度矩陣K的第3-6行的第3-6列作為子矩陣 Matlab命令 k=K(3:6,3:6)k = 1.0e+006 * 3.4615 -1.8750 -2.0192 0.8654 -1.8750 6.2740 1.0096 -5.7692 -2.0192 1.0096 3.4615 0 0.8654 -5.7692 0 6.2740 f=9.375;0;9.375;0f = 9.3750 0 9.3750 0 u=kfu = 1.0e-005 * 0.7111 0.1

10、115 0.6531 0.0045現(xiàn)在可以清楚的看出，節(jié)點(diǎn)2的水平位移和垂直位移分別是0.7111m和0.1115m。節(jié)點(diǎn)3的水平位移和垂直位移分別是0.6531m和0.0045m。6.后處理用matlab命令求出節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)4的支反力以及每個(gè)單元的應(yīng)力。首先建立總體節(jié)點(diǎn)位移矢量U，U=0;0;u;0;0U = 1.0e-005 * 0 0 0.7111 0.1115 0.6531 0.0045 0 0 F=K*UF = -9.3750 -5.6295 9.3750 0.0000 9.3750 0.0000 -9.3750 5.6295由以上知，節(jié)點(diǎn)1的水平反力和垂直反力分別是9.375kn（

11、指向左邊）和5.6295kn（作用力方向向下），節(jié)點(diǎn)4的水平反力和垂直反力分別是9.375kn（指向左邊）和5.6295kn（作用力方向向下）.滿足力平衡條件。接著，建立單元節(jié)點(diǎn)位移矢量，然后調(diào)用matlab命令LinearTriangleElementStresses計(jì)算單元應(yīng)力sigma1和sigma2 u1=U(1);U(2);U(5);U(6);U(7);U(8)u1 = 1.0e-005 * 0 0 0.6531 0.0045 0 0 u2=U(1);U(2);U(3);U(4);U(5);U(6)u2 = 1.0e-005 * 0 0 0.7111 0.1115 0.6531 0.

12、0045 sigma1=LinearTriangleElementStresses(E,NU,0.025,0,0,0.5,0.25,0,0.25,1,u1)sigma1 = 1.0e+003 * 3.0144 0.9043 0.0072 sigma2=LinearTriangleElementStresses(E,NU,0.025,0,0,0.5,0,0.5,0.25,1,u2)sigma2 = 1.0e+003 * 2.9856 -0.0036 -0.0072由以上可知，單元1的應(yīng)力， 。單元2的應(yīng)力是。顯然，在x方向的應(yīng)力（拉應(yīng)力）接近于正確的值3MPa（拉應(yīng)力）。接著調(diào)用LinearTr

13、iangleElementStresses函數(shù)計(jì)算每個(gè)單元的主應(yīng)力和主應(yīng)力方向角。 s1= LinearTriangleElementPStresses(sigma1)s1 = 1.0e+003 * 3.0144 0.9043 0.0002 s2= LinearTriangleElementPStresses(sigma2)s2 = 1.0e+003 * 2.9856 -0.0036 -0.0001，主應(yīng)力方向角，例2.考慮如圖3.1所示的由均勻分布載荷和集中載荷作用的薄平板結(jié)構(gòu)。將平板離散化成12個(gè)線性三角單元，如圖4所示。假定E=210GPa，v=0.3，t=0.025m，w=100kN/

14、m和P=12.5kN。1. 離散化2. 寫出單元?jiǎng)偠染仃?E=201e6; NU=0.3; t=0.025; k1= LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0,0.5,0.125,0.375,0.25,0.5,1); k2= LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0,0.5,0,0.25,0.125,0.375,1); k3= LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.125,0.375,0.25,0.25,0.25,0.5,1); k4= LinearTriangleElemen

15、tStiffness(E,NU,t,0.125,0.375,0,0.25,0.25,0.25,1); k5= LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0,0.25,0.125,0.125,0.25,0.25,1); k6= LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0,0.25,0,0,0.125,0.125,1); k7= LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.25,0.25,0.125,0.125,0.25,0,1); k8= LinearTriangleElementStiff

16、ness(E,NU,t,0.125,0.125,0,0,0.25,0,1); k9= LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,025,0.25,0.25,0,0.375,0.125,1); k10= LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.25,0.25,0.375,0.125,0.5,0.25,1); k11= LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.25,0,0.5,0,0.375,0.125,1); k12= LinearTriangleElementStiffness(E

17、,NU,t,0.375,0.125,0.5,0,0.5,0.25,1)k1 = 1.0e+006 * 1.8637 -0.8973 -0.9663 0.8283 -0.8973 0.0690 -0.8973 1.8637 0.9663 -2.7610 -0.0690 0.8973 -0.9663 0.9663 1.9327 0 -0.9663 -0.9663 0.8283 -2.7610 0 5.5220 -0.8283 -2.7610 -0.8973 -0.0690 -0.9663 -0.8283 1.8637 0.89730.0690 0.8973 -0.9663 -2.7610 0.89

18、73 1.86373.集成整體剛度矩陣：K=zero(22,22);K=LinearTriangleAssemble(K,k1,1,3,2);K=LinearTriangleAssemble(K,k2,1,4,3);K=LinearTriangleAssemble(K,k3,3,5,2);K=LinearTriangleAssemble(K,k4,3,4,5);K=LinearTriangleAssemble(K,k5,4,6,5);K=LinearTriangleAssemble(K,k6,4,7,6);K=LinearTriangleAssemble(K,k7,5,6,8);K=Linea

19、rTriangleAssemble(K,k8,6,7,8);K=LinearTriangleAssemble(K,k9,5,8,9);K=LinearTriangleAssemble(K,k10,5,9,10);K=LinearTriangleAssemble(K,k11,8,11,9);K=LinearTriangleAssemble(K,k12,9,11,10)運(yùn)行得 1.0e+008 * Columns 1 through 7 0.0389 -0.0187 -0.0094 0.0007 -0.0389 0.0187 0.0094 -0.0187 0.0389 -0.0007 0.0094

20、 0.0187 -0.0389 0.0007 -0.0094 -0.0007 0.0389 0.0187 -0.0389 -0.0187 0 0.0007 0.0094 0.0187 0.0389 -0.0187 -0.0389 0 -0.0389 0.0187 -0.0389 -0.0187 0.1558 0 -0.0389 0.0187 -0.0389 -0.0187 -0.0389 0 0.1558 -0.0187 0.0094 0.0007 0 0 -0.0389 -0.0187 0.0779 -0.0007 -0.0094 0 0 -0.0187 -0.0389 0 0 0 0.00

21、94 -0.0007 -0.0389 0.0187 -0.0187 0 0 0.0007 -0.0094 0.0187 -0.0389 0 0 0 0 0 0 0 -0.0389 0 0 0 0 0 0 0.0187 0 0 0 0 0 0 0.0094 0 0 0 0 0 0 -0.0007 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 8 through 14 -0.0007 0 0 0 0 0 0

22、 -0.0094 0 0 0 0 0 0 0 0.0094 0.0007 0 0 0 0 0 -0.0007 -0.0094 0 0 0 0 -0.0187 -0.0389 0.0187 0 0 0 0 -0.0389 0.0187 -0.0389 0 0 0 0 0 -0.0187 0 -0.0389 0.0187 0.0094 -0.0007 0.0779 0 0.0187 0.0187 -0.0389 0.0007 -0.0094 0 0.0972 -0.0093 -0.0389 -0.0187 0 0 0.0187 -0.0093 0.0972 -0.0187 -0.0389 0 0

23、0.0187 -0.0389 -0.0187 0.1558 0 -0.0389 -0.0187 -0.0389 -0.0187 -0.0389 0 0.1558 -0.0187 -0.0389 0.0007 0 0 -0.0389 -0.0187 0.0389 0.0187 -0.0094 0 0 -0.0187 -0.0389 0.0187 0.0389 0 -0.0009 0.0095 -0.0389 0.0187 -0.0094 0.0007 0 0.0095 -0.0384 0.0187 -0.0389 -0.0007 0.0094 0 0.0004 -0.0002 0 0 0 0 0

24、 -0.0002 0.0004 0 0 0 0 0 -0.0094 -0.0007 0 0 0 0 0 0.0007 0.0094 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 15 through 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0009 0.0095 0.0004 -0.0002 -0.0094 0.0007 0 0.0095 -0.0384 -0

25、.0002 0.0004 -0.0007 0.0094 0 -0.0389 0.0187 0 0 0 0 0 0.0187 -0.0389 0 0 0 0 0 -0.0094 -0.0007 0 0 0 0 0 0.0007 0.0094 0 0 0 0 0 -1.9408 0.0095 1.9994 -0.0377 0 0 -0.0094 0.0095 -5.6533 -0.0377 5.7119 0 0 0.0007 1.9994 -0.0377 -1.9219 0.0379 -0.0389 -0.0187 -0.0389 -0.0377 5.7119 0.0379 -5.6344 -0.

26、0187 -0.0389 0.0187 0 0 -0.0389 -0.0187 0.0389 0.0187 0.0094 0 0 -0.0187 -0.0389 0.0187 0.0389 -0.0007 -0.0094 0.0007 -0.0389 0.0187 0.0094 -0.0007 0.0389 -0.0007 0.0094 0.0187 -0.0389 0.0007 -0.0094 -0.0187 Column 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0007 0.0094 0.0187 -0.0389 0.0007 -0.0094 -0.0187 0

27、.0389 0.0007 -0.0094 -0.0187 0.03894.引入邊界條件：U1x= U1y= U4x= U4y=U7x=U7y=0F2x= F2y= F3x= F3y=F6x=F6y=F8x= F8y= F9x= F9y=F10x=F10y= F11x= F11y= 0F5x= 0,F5y= -12.55.解方程：k=K(3:6,3:6),K(3:6,9:12),K(3:6,15:22);K(9:12,3:6),K(9:12,9:12),K(9:12,15:22);K(15:22,3:6),K(15:22,9:12) ,K(15:22,15:22);K = 1.0e+008 *

28、Columns 1 through 8 0.0389 -0.0187 -0.0094 0.0007 -0.0389 0.0187 0.0094 -0.0007 -0.0187 0.0389 -0.0007 0.0094 0.0187 -0.0389 0.0007 -0.0094 -0.0094 -0.0007 0.0389 0.0187 -0.0389 -0.0187 0 0 0.0007 0.0094 0.0187 0.0389 -0.0187 -0.0389 0 0 -0.0389 0.0187 -0.0389 -0.0187 0.1558 0 -0.0389 -0.0187 0.0187

29、 -0.0389 -0.0187 -0.0389 0 0.1558 -0.0187 -0.0389 0.0094 0.0007 0 0 -0.0389 -0.0187 0.0779 0 -0.0007 -0.0094 0 0 -0.0187 -0.0389 0 0.0779 0 0 0.0094 -0.0007 -0.0389 0.0187 -0.0187 0 0 0 0.0007 -0.0094 0.0187 -0.0389 0 0.0187 0 0 0 0 0 0 -0.0389 0.0187 0 0 0 0 0 0 0.0187 -0.0389 0 0 0 0 0 0 0.0094 0.

30、0007 0 0 0 0 0 0 -0.0007 -0.0094 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 9 through 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0094 0.0007 0 0 0 0 0 0 -0.0007 -0.0094 0 0 0 0 0 0 -0.0389 0.0187 0 0 0 0 0 0 0.018

31、7 -0.0389 0 0 0 0 0 0 -0.0187 0 -0.0389 0.0187 0.0094 -0.0007 0 0 0 0.0187 0.0187 -0.0389 0.0007 -0.0094 0 0 0.0972 -0.0093 -0.0389 -0.0187 0 0 -0.0009 0.0095 -0.0093 0.0972 -0.0187 -0.0389 0 0 0.0095 -0.0384 -0.0389 -0.0187 0.1558 0 -0.0389 -0.0187 -0.0389 0.0187 -0.0187 -0.0389 0 0.1558 -0.0187 -0

32、.0389 0.0187 -0.0389 0 0 -0.0389 -0.0187 0.0389 0.0187 -0.0094 -0.0007 0 0 -0.0187 -0.0389 0.0187 0.0389 0.0007 0.0094 -0.0009 0.0095 -0.0389 0.0187 -0.0094 0.0007 -1.9408 0.0095 0.0095 -0.0384 0.0187 -0.0389 -0.0007 0.0094 0.0095 -5.6533 0.0004 -0.0002 0 0 0 0 1.9994 -0.0377 -0.0002 0.0004 0 0 0 0 -0.0377 5.7119 -0.0094 -0.0007 0 0 0 0 0 0 0.0007 0.0094 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0094 0.0007 0 0 0 0 0 0 -0.0007 0.0094 Columns 17 through 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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