常微分方程階段(2)復習題

1、常微分方程第二階段試題 一. 單選題1. 函數(shù) （其中為任意常數(shù)）所滿足的微分方程是（ ） ； ； ； 。2.二階線性齊次微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是（ ） （A）線性無關(guān) （B）朗斯基行列式為零 （C） （D）線性相關(guān)3.二階線性齊次微分方程的兩個解,不是基本解組的充要條件是（ ）（A）線性無關(guān) （B）朗斯基行列式不為零 （C） （ ）線性相關(guān)4.線性齊次微分方程組的一個基本解組的個數(shù)不能多于（ ）（A） （B） （C） （D）5階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個數(shù)不能多于（ ）個 （A） （B） （C） （D）6. 設(shè)常系數(shù)線性齊次方程特征方程根，則此方程通解為（ ）（A）；

2、 （B）；（C）； （D）7.方程的特解具有形式（ ）。 （A） ; （B） ; （C） ; （D）。8.微分方程的一個特解應(yīng)具有形式（ ） （A） （B）（C） （D）9.微分方程的通解是（ ） （A）； （B）；（C）； （C）。10.容易驗證：是二階微分方程的解，試指出下列哪個函數(shù)是方程的通解。（式中為任意常數(shù)）（ ） （A） （B）（C） （D）11.微分方程的一個特解應(yīng)有形式 ( ) （A）； （B）； （C）； （D） 12.微分方程的一個特解應(yīng)具有形式 ( )（A）（B）（C）（D）13.微分方程的一個特解應(yīng)具有形式（ ）（A） （B）（C） （D）14.微分方程的通解是（ ）（

3、A）； （B）；（C）； （C）。15.設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程=的解，是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（ ） （A）； （B）；（C）； （D）16.方程的通解是( ). (A) ； (B) ；(C) ； (D) .17.求方程 的特解時，應(yīng)令（ ） ； ； ； 。18函數(shù),在區(qū)間a,b上的朗斯基行列式恒為零，是它們在a, b上線性相關(guān)的( ). (A)充分條件； (B)必要條件；(C)充分必要條件； (D)充分非必要條件.19設(shè)函數(shù),方程在區(qū)間a,b上的兩個解，則其朗斯基行列式不為零，是它們在a, b上線性無關(guān)的( ). (A)充分條件； (B)必要條件；(C)充分必要條件

4、； (D)充分非必要條件.20設(shè)函數(shù),方程在區(qū)間a,b上的兩個解，則其朗斯基行列式區(qū)間a,b上某一點不為零，是它們在a, b上線性無關(guān)的( ). (A)充分條件； (B)必要條件；(C)充分必要條件； (D)充分非必要條件.21函數(shù),在區(qū)間a,b上的朗斯基行列式在a, b上某一點處不為零，是它們在a, b上線性無關(guān)的( ) (A)充分條件； (B)必要條件；(C)充分必要條件； (D)充分非必要條件.22n階線性非齊次微分方程的所有解是否構(gòu)成一個線性空間?( ) (A)是； (B)不是；(C)也許是； (D)也許不是.23.兩個不同的線性齊次微分方程組是否可以有相同的基本解組?( ) (A)不

5、可以 (B)可以(C)也許不可以 (D)也許可以24.若是線性齊次方程組的一個基解矩陣，T為非奇異nn常數(shù)矩陣，那么T是否還是此方程的基解矩陣.( ) (A)是 (B)不是(C)也許是 (D)也許不是25.方程組（ ） (A)個線性無關(guān)的解稱之為方程組的一個基本解組(B)個解稱之為方程組的一個基本解組(C)個線性無關(guān)的解稱之為方程組的一個基解矩陣(D)個線性相關(guān)的解稱之為方程組的一個基本解組26.若和都是的基解矩陣，則（ ） （A）其中為非奇異常數(shù)矩陣 （B）其中常數(shù)矩陣（C）其中為非奇異常數(shù)矩陣 （D）其中為常數(shù)矩陣27.若是的基解矩陣，則滿足的解（ ） （A） （B）（C） （D）28.方

6、程組的（ ）稱之為的一個基本解組。 （A）n個線性無關(guān)解 （B）n個不同解 （C） n個解 （D）n個線性相關(guān)解29.n階齊線性微分方程的（ ）稱方程的一個基本解組。 （A） n個線性相關(guān)解 （B）n個不同解 （C） n個解 （D）n個線性無關(guān)解30.A、B為的常數(shù)矩陣，則下列式子錯誤的是 （ ）（A） （B）（C） （D）二. 填空題1. 以為特解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為 。 2.若為階齊線性微分方程的個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。 3.形如_的方程稱為歐拉方程。4.若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_ 5.以 為特解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為 。6.的通解是 7.若和都是

7、的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_ 8.若是的基解矩陣，則滿足的解 9.設(shè)的某一解，則它的任一解-。10.若為齊線性方程的個線性無關(guān)解，則這一齊線性方程的所有解可表為 11.若為齊線性方程組的個線性無關(guān)解，則這一齊線性方程組的所有解可表為 12.若為齊線性方程組的個線性無關(guān)解，則這一齊線性方程組的基解矩陣為 13.若是的基解矩陣，則滿足的解 14函數(shù)組的伏朗斯基行列式為 _ 。15若為的一個基本解組，為的一個特解，則的所有解可表為 _ 。16若為齊線性方程的一個基本解組，為非齊線性方程的一個特解，則非齊線性方程的所有解可表為 _ 。17若是的基解矩陣，則向量函數(shù)= _是的滿足初始條件的解；18.若

8、是的基解矩陣向量函數(shù)= _ _ 是的滿足初始條件的解。19若矩陣具有個線性無關(guān)的特征向量，它們對應(yīng)的特征值分別為，那么矩陣= _ _ 是常系數(shù)線性方程組的一個基解矩陣。 20.若為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。21.若為一階齊線性方程組的n個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。22.方程組的_稱之為的一個基本解組。23.若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，則expAt =_。24.形如 的方程稱為歐拉方程。25.階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個數(shù)最多為 個 26.n階非齊次線性微分方程的任意兩解 必為其相應(yīng)的齊次線性微分方程的解三求高階微分方程的解1. 試驗證0有基本解組t，

9、并求方程t-1的通解。2.2y+y-y=2ex; 3.4.5.6.求方程的解。 7.求微分方程的通解。8.y3y-1=0; 9.求 滿足的特解四求解下列方程組的解1.解方程組 2. 已知 的基解矩陣為，求方程組的通解 34 5 6.若試求方程組的解并求expAt7.試求方程組=Ax的一個基解矩陣，并計算expAt，其中A為五應(yīng)用題1.試求y=x的經(jīng)過點M(0, 1)且在此點與直線相切的積分曲線. 42. 求微分方程的一條積分曲線，使其在原點處與直線相切。六綜合題1.設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)，求 2.設(shè)具有二階連續(xù)導數(shù)，且為一全微分方程，求及此全微分方程的通解。七證明題1.設(shè)是方程的n+1個線性無關(guān)解,證明微分方程的任一解恒能表為:且2. 階線性齊次微分方程一定存在個線性無關(guān)解。 3.試驗證=是方程組x=x,x= ，在任何不包含原點的區(qū)間a上的基解矩陣。4.設(shè)為方程x=Ax（A為nn常數(shù)矩陣）的標準基解矩陣（即（0）=E），證明: (t)=(t- t)其中t為某一值. 5.試證：如果滿足初始條件的解，那么 6.假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如，其中，是常數(shù)向量。7.假設(shè)y是二階常系數(shù)線性微分方程初值問題 的解，試證是方程 的解，這里f（x）為已知連續(xù)函數(shù)。 8.設(shè)y1(x)、y2(x)是