姜堰中學(xué)學(xué)年度寒假自我檢測(cè)(附答案

1、江蘇省姜堰中學(xué)20XX年學(xué)年度暑假自我檢測(cè)(附答案)高一年級(jí)18班級(jí)(A班)姓名:班級(jí):考號(hào):評(píng)卷人得分一、簡(jiǎn)答題題號(hào)一、簡(jiǎn)答 題二、計(jì)算 題三、綜合 題總分得分1、已知a R,函數(shù)f(x) = ( X2 + ax)ex(x R e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1) 當(dāng)a = 2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; 若函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，求 a的取值范圍.評(píng)卷人得分二、計(jì)算題2、已知函數(shù)餉二($川如 喚(X訃做g的最小值為如)(I) 求她)(n)是否存在實(shí)數(shù) m n同時(shí)滿足下列條件: m n3；當(dāng)加町的定義域?yàn)閚 , m時(shí)，值域?yàn)閚2,簡(jiǎn)?若存在，求岀 m n的值；若不存在，說(shuō)明理由3、

2、已知函數(shù) /W = loga(l + i)-loga(l-z)(1)判斷函數(shù)/W的奇偶性;丁仙)+了也)=兒丄(2) 求證：1 +兀5彳y (出1)二1 /0)二丄(3)若 1 +盤62，2，求d的值。1_r/CX)= + 111X.4、已知函數(shù)ax(1)若函數(shù)/(0在1,他) 上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)a=l時(shí)，求金在護(hù)上的最大值和最小值;(3)In當(dāng)M二1時(shí)，求證：對(duì)大于1的正整數(shù)n，?3-1 沖5、已知函數(shù)f(x) (X R)滿足下列條件：對(duì)任意的實(shí)數(shù)X1、X2都有 如7異(礦對(duì) f(x 1)-f(x 2)和 |f(x1)-f(x 2)| |x 1-X2I，其中 2 是大

3、于 0 的常數(shù)，設(shè)實(shí)數(shù) ao，a，b 滿足 f(a o)=0，b=a- 2 f(a).(1) 證明JJ w 1，并且不存在bo工ao，使得f(b 0)=0(2) 證明(b ao) 2w (12 2)(a 1 ao)2(3) 證明f(b)2w (1-，)f(a)2 6、若7!心3l叫朋r 2肝I川砧山為常數(shù)/w且(1 )求/二爪X) 對(duì)所有實(shí)數(shù)X成立的充要條件(用PbPq表示)b-a求證：/W在區(qū)間b上上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為2 （閉區(qū)間牌，的長(zhǎng)度定義為）/ 二 - 一 aF +bx7、已知函數(shù)32在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).（n）當(dāng)/-4b = 8時(shí)，設(shè)函數(shù) 尸加） 在點(diǎn) 如（1） 處的切線為/

4、,若/在點(diǎn)A處穿過(guò) 尸加） 的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y =運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A時(shí)，從/的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù) /（X）的表達(dá)式.已知函數(shù)證明：存在吟，使= b設(shè)X1=0，和二佩），必=7,畑二/（X） ，其中 =1, 2,，證明： X花J心 b+；xe-U，恒成立的充要條件是4 b 11、已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2-2ai nx. （ i）求f（x）在1 ,J上的最小值g（a）； （n）若a0,試證明“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要條件是“ a= 2 ” .12、已知函數(shù)y = H與尸F(xiàn) + 2（x0）的圖象相交于找加yj ,3%必）,m分別是y =+ 2（x0）的圖象在盤兩

5、點(diǎn)的切線，M分別是1，右與X軸的交點(diǎn).（I）求斤的取值范圍;（II）設(shè)（為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，當(dāng)勾 5 時(shí)，寫岀（以為自變量的函數(shù)式，并求其定義域和值域;（III ）試比較的大小，并說(shuō)明理由（0是坐標(biāo)原點(diǎn)）.燉h13、已知函數(shù)-P+x+ix+c： （X 1）幻nx（X-1）的圖象過(guò)點(diǎn)（72），且在點(diǎn)（-L/（T）處的切線與直線+1=0 垂直.求實(shí)數(shù)的值;求 /W在-詞(0為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的最大值;對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線上是否存在兩點(diǎn)P,2，使得hPOQ是以0為直角頂點(diǎn)的直角三角形, 且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上?14、定義：對(duì)函數(shù)y = /W，對(duì)給定的正整數(shù)k，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)入，使得

6、億+ X f(%) +用)，則稱函數(shù)f(f)為“上性質(zhì)函數(shù)”。(1)若函數(shù)為“ 1性質(zhì)函數(shù)”，求;(2)判斷函數(shù)7是否為“姑生質(zhì)函數(shù)”？說(shuō)明理由;沖I 1 n若函數(shù)+1為“ 2性質(zhì)函數(shù)”，求實(shí)數(shù) d的取值范圍;15、設(shè)二次函數(shù)/=2 +加+ 2方程 /W-X-0 的兩根X和則滿足 0刊 5(I)求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(試比鮫他rnM滬店的大小，并說(shuō)明理由16、已知函數(shù)f(x)=mx 3+nx2(m、n R ,m工0)的圖像在(2, f(2)處的切線與 x軸平行.(1 )求n,m的關(guān)系式并求f(x)的單調(diào)減區(qū)間;(2) 證明：對(duì)任意實(shí)數(shù) 0VX1VX2V1,關(guān)于x的方程:區(qū)2 -尺1在(X1,X

7、2)恒有實(shí)數(shù)解f(x)是在閉區(qū)間a,b上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間(3) 結(jié)合(2)的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x。，使得b-a .如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、當(dāng)0va 0,即(一X2 + 2)eX 0,/ ex 0， X2+ 20,解得血 X 0 對(duì) X ( 1,1)都成立. (x) = ( 2x + a)e + ( X + ax)e2XX + (a 2)X + ae ,- X + (a 2) X + ae 0 對(duì) x ( 1,1)都成立.- X + (a 2) X + a 0 對(duì) X ( 1,1)都成立.也2x ?xini

8、即 axl = xl= X + 1 d 對(duì) x ( 1,1)都成立.令 y= X +1 vl,則 y= 1+ ?xl?2 0,-y = x + 1訂在（ 1,1）上單調(diào)遞增,1 33 y 2 .二、計(jì)算題2、解：（i）m （產(chǎn)與3.f 二(丄幾 f E i 3,則 0(f)二廠-2皿 + 3 二(f - d + 3 - 設(shè) 334叭滄）二吩）二普+33 y 3 ;當(dāng)乞必站y皿二她）=0二：?小砌y耐二力二姙= 12-6久2S 2a片尬3)(n)v mn3,h(a)-2-6a 在(3 + oa) 上是減函數(shù).h的定義域?yàn)閚 , m；值域?yàn)閚 2, rn,12- 6豹二126 =懈2得：6（朋-=

9、（懈-處做+冰/ mn3, m+n=6,但這與mn3矛盾.滿足題意的 m n不存在4、解：（1 ）由已知:3、解：（1 ）由1 X Q 得-11。函數(shù)的定義域?yàn)椋?,1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。/（X）= log.-函數(shù)可變?yōu)? 一兀。又心）現(xiàn)七,（呂尸,/W是奇函數(shù)。心）+/（小呃単+1込嚴(yán)=甩（牛S）（2）證明11-花1 忑x： + x內(nèi),十可+乃小+乃、r 1 +畫內(nèi),1+巧+巧+與認(rèn) 川曲=幻（7）血珀F-乃+珂J1十冥內(nèi)金）g）心（3 ）%）是奇函數(shù)， 了二一/）-又他皿需）冷由可得 /W-1如嚴(yán)】 = 21-0, 1-aa-解得 3。 0對(duì)X E 1,+00）依題意得：卓r恒成立,；.曲-

10、1 0對(duì)JTE 1,他）叵成立，即a工2對(duì)XE 1,+00膽成立衛(wèi)，即空1,XXr _ 11(2 )當(dāng)孟2八） 伽二1是函數(shù)仮在區(qū)間才2上的惟一的極小值點(diǎn)，也就是最小值點(diǎn)，故X/A = l-lna/(2) = -| +Jn 2,/A-/(2) = |-21n 2 = 因?yàn)? 2.7 = 19.683 16,所以 即/() 陰即函數(shù)/在區(qū)間影止最大值是/（”乙/（R在區(qū)間一,2上最大值是1-111 2,綜上知函數(shù)2最小值是0。1 -開時(shí)/（X）=+血X在1,他）（3）當(dāng)a - 1口|,由（1 ）知，函數(shù)X上為增函數(shù),Q時(shí)念=丄加1齒（1）二0n-乍&也(&TS二二(35套過(guò)譽(yù)丄占)；乍S0芻&J

11、宣二(店 0hsj(qd3套丄百)二言學(xué)占(占i呈丘(0010 H g丑Q)映丄()r20公！)丁(oq嘗 0I S H ()7 舌 H #10SJ()/10 吾空召盲樸 Q Ey 二 V 畀史(L ) 1135 ,91 鯊 0工 腐 L 吐 L瓷 董 -I墅 胃 IL 414（3）由式知=/-川訓(xùn) +2/（。）心）-/伽）+/（沂松譏2號(hào)濾）/）+加F （用式）9二的/wF - 一（1 訕的-加）+M（mFA胡他嚀眄齊血（用式） =護(hù)了2肝弘）：+%） 二（1 （訓(xùn)6、解：（I）/（加久何恒成立7iW燈也艸匚打叫押0 r -r 他2（ *）因?yàn)樗?，故只需A -/隅2 （ *）恒成立綜上所述

12、， /（歸W 對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件是:P-P !嗚2（n） 1如果P-p唱2,則的圖象關(guān)于直線XP對(duì)稱因?yàn)?何二/0），所以區(qū)間皿關(guān)于直線r對(duì)稱.因?yàn)闇p區(qū)間為bl，所以單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為2 如果P-方、窗.（1）當(dāng) P1F刃喝2時(shí).川山人（X）一 3旳-/1-叱2xeM，麗-因?yàn)榧樱?,加）0,所以71（MZ（M故他=血）=3宀當(dāng)XEf (X) _ 3執(zhí)一旳一UWo,所以朮MZW故/閃二乙（=31血:因?yàn)?加卜川） ，所以3 T廿祇/，所以b-p廣P2 F+1怪2,即a+b= Pi+P +bg3 2當(dāng)XE_ 7?+戸3 -bgjS 刃1時(shí)，令/1W二MM,則3歸血2 ，所以X時(shí),朮x）2

13、加） ，所以 /（M = /2（M=3卜沁酣jePl+；?2-lo內(nèi) 2_時(shí)，皿曲（M ，所以 佝叮何=卵b 乃+辺-幅2上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和b Pl +;?3 + log3 2a+S _b-a2 - -（2 ）當(dāng)方力財(cái)時(shí)笊gf (x) _ 2旳-執(zhí)-咤12 U oO _ i詞pM,麗-因?yàn)?i(i)o,jiHo,所以人仞加), 故詢=加）=護(hù)血：（X）_ 2仇-旳-12 竽1當(dāng)菱訊屛，麗因?yàn)樨恼f(shuō),所以 故/（小血）=卵 因?yàn)?加卜M），所以 3肝也=y沁酣，所以a+b= pi+p-bgj 2_ 円+刊+logM 當(dāng)XE p朋時(shí)，令了禍=訓(xùn)，則尹二片+昨 ，所以Xxe當(dāng)A + Ai +b&

14、2-時(shí),朮M用（M，所以/（M胡）=3宀Pi+Pz+l喝 2勺時(shí),人處加） ，所以 /W叮（=3片呵上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和fb p+F2-Wg32_& +2 - -i-a在區(qū)間訊上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為/（X）二一+ 說(shuō),+加補(bǔ)門2內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以7、解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)32在區(qū)間1一叨，（1f（x）二P+曲+3二0在71），（1,3內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根,設(shè)兩實(shí)根為則% 可），則叼-碼二-4b ,且0 可-X 4 .于是0-46 4 , 0 .二 1/+丄2” +加一（1 + 0+坊 + 2+丄3! 而gW 3232,且 gYR = F+處+占-（1+說(shuō)+&） = F +曲-13-1 = （

15、x-DM+l+cj）.若1 = -l-rn，則1 = 1和x = -l-a都是gW的極值點(diǎn).41y（Z）= -X- X所以 U-1-2，即 a-l，又由 a -4i = 8，得 o二-1，故3解法二：同解法-得g（歸（站（1+吋嶺扣12疔2-J乙因?yàn)榍芯€/在點(diǎn)血/（I）處穿過(guò)y二了的圖象，所以gW在X二1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在呦溝（陰場(chǎng)）.當(dāng)幽 r0；或當(dāng)幽rd時(shí)，乳*0,當(dāng)lxv喝時(shí)，g(x)uO.A-1 2j1 2丿，則h(x) = J? +設(shè)當(dāng)柳1時(shí)，加當(dāng)1宀0； 或當(dāng)幽rd時(shí)，力匸)0，當(dāng) a%時(shí)，妣x)0(X)是R上的單調(diào)增函數(shù) ovXo 2，即 XiXoyi，又/ U)是增

16、函數(shù) f ( X 1) ( (X 0) 了 (y 1)，即 X 2 X o0= X1，131y2=/ (y 1)= / ( 2 )= 8 2 =y1綜上，XivXivj0vy2 1)時(shí)，有 2 kXk+iX 0yk+i yk當(dāng)？！ =k+1時(shí)，由了( J)是單調(diào)遞增函數(shù)，有/dk)/ao)/(yk+1)/(yk)即卩 X k+1X k+22 0yk+2yk+1由和知,對(duì)一切 fl =1 , 2,，都有 X nX n+1 J 0yn+1yn(3)方法一:0 W X nyn,0X n+yn1 得一 2 X n+yn 2 2兒廠和佩)-畑)兒-兀乂 + 召兒+X；-以+)+ -(人 + 珀|)2(兒

17、 +#)+ 2 r -=(人 +州-2)2+42 ,即人1- X叫1 2 (兒.方法二：0W人W兒W 2 , 0人 +人 1丿肝L-為了（）兒-耳兒-%處-兀兒+工；（兒+xj +兒仇+ xj-兒 +x：-Xk+-一兒曲耳先耳（兀一l）+- 0,/ 0,且兀豐乃,：界+嚴(yán) 2j/八=2總 . 1+0+八+/山 1+2召丁 + 嚴(yán)一 ln（l+畀+/ +/F）In（l + 2總 2 +于Lf孔一吧一 In（l + /+/+/F）-ln（l+2& 2 +/f）0 W（小欲苔禺打（宇）嚴(yán)嚴(yán)心孑（工）是凹函數(shù).（n）證明：假設(shè)存在 和心E （戊勸，且X（j H和 使侍允）-/（!）= （）f （石）一

18、得，.b皿.Hl /h）二金）金二冷十甘記訴）-占，pO,f是訥）上的單調(diào)增函數(shù).心=為 這與卅之心矛盾，即卯是唯一的.（皿）證明：設(shè) 蟲兀兒）也，力）（心仍），且可 6 嘰金=_0（州）-佩）QJ（召KxJ 0,陸 BC 0,: cos 5 0Z5 為鈍角.故 ABC為鈍角三角形.三、綜合題10、解：（1）由 /（1） = 2 有：a+b = l。對(duì)任意的XE化都有幾妙X +住 0 對(duì)任意的 xeR， + G3-2)；v+(Z?-i3)200A = 0-2)2 -40-a) 0將d = l-i帶入上式得：-仙+ 5W0解得： 1J）5(2)證明： /(l) = l+b5MJ(-l) = l-

19、a+bM, 2M2 場(chǎng)+2,即 MeB+I。Qa-（3）證明：由2得，42-42上是減函數(shù)，在2 上是增函數(shù)。X-2b o當(dāng)胡G時(shí)，孑（忑）在2時(shí)取得最小值4 ,在 X二 1 時(shí)取得最大值1+存+b.1+莊+bl J0aI/W 口 0故對(duì)任意的xe-l,a olb-1 44叫11、解：八滬= 2寧SD.上連續(xù)，（1）若 dt lJll/（；t）:0了卻加）?。┰?柯 上是單調(diào)遞增函數(shù).（2）若 alx 1,令f 二 0,得X =賦當(dāng)時(shí) 0在如柯 上是單調(diào)遞增函數(shù).則x = J；時(shí)，朋）取得最小值.當(dāng)0 Lxl時(shí)，/逓=a-2aln/a = a-i3liia.官=FS - Ua-aln a, (

20、a 1).(n)記 g(M =/(勸-2曲=7?-2dfln x-2m2匕2g(j) = 272a = -(F - ax-a),XJa 二一，貝Ijg（x）二/ -In 7-7,（1）充分性：若 20(x) = -(2F -工-1)二-(2兀+1)0-1).JXxe（oM,gW 0加（申 上是單調(diào)遞增函數(shù).當(dāng)兀=時(shí)官= g（C = 0,即gW 0,當(dāng)且僅當(dāng)兀=1 時(shí)取等號(hào).方翻（x） = 2加 有唯一解.（2 ）必要性：若方程 /（X）二2加有唯一解，即曲）二0有唯一解.令 = 0,得H -處-0 = 0.Ta 0皿0,a-J/+4a A =+、直+J疋+4*珂= 0 (吉去),兀2 =X e

21、 CO, X時(shí),g w 0, gd）在館,+m）上是單調(diào)遞增函數(shù). 當(dāng) X=X2時(shí)，T g(x) = 0有唯一解,gE)二 0.g(X2)= 0,即* # - 2盤In 風(fēng)2 -勿畫？ = a 、(乃)=0. Zj (If = 0,；.2必嘰 +阿-a = 0.7 a 0,；, Zhx十;:？ -1= 0(設(shè)函數(shù) h(x) = 2bix + x-l,T在X CPt加才）是増函數(shù)二檢）二0至多有-解.V鳳1） = 0,:方程（*）的解為可=1即+也=1解瓠=12 2由（1）、（ 2 ）知，“方程 /W二加 有唯一解”的充要條件是“2 ” .y = fe,0,故屮花=小,解得擔(dān)2忑.（II）由也

22、，求得切線百的方程為尸2X（xXi）+y, 由”詁+ 2,并令尸0,得2罰k-Jp-E 4A，X?是方程的兩實(shí)根，且X 5，故12疋+ JF - 8，4 2龐,A是關(guān)于i的減函數(shù)，所以 習(xí)的取值范圍是 （倆.f是關(guān)于*1的增函數(shù)，定義域?yàn)椋?,邊，所以值域?yàn)椋?咒，0），r alM（III ）當(dāng)叫、勺時(shí)，由（II ）可知類似可得0州二更-2 |omNom=-2孔從而所以m (蹄】仃)當(dāng) “1 時(shí)./W = -3x + 2x+b.1分.4分（S分13、T /（-12 N /（j）=尋 7（0） - a /（1）- 0 -A/W在-叮）上的最大対2.當(dāng)時(shí),/（x） = aln xt當(dāng)BiO時(shí)，/何

23、盂仙 當(dāng)OIBIp /g在1劃單週耀* A/W在山町上6大值為口.二當(dāng)夕孑時(shí)，/（刃在1沖上&?）最大値為S當(dāng)育時(shí)，/G）在E-M上畳大值肉N】0分（3）假設(shè)曲線由題奶心)3,即嚴(yán)比3I 于 1_1)二_5-3-2+ =-5解需I 3 一 D由加仁;弋;:當(dāng) 7蘭 xC時(shí)./Xx) = -x(3x-2)-解/ 0得0 x 1 ： S?/（Z）0#-1 x 0或 I Jt 1 / W在（-10）和 1）上單爲(wèi) 衽（0,善）上單聯(lián)JJ2由/?。?-xG*f2）= 0為 開0或忑=亍PS(f)(fO),則q3+F),且11分y二子上存在兩點(diǎn) P,Q 滿足題意，則 RQ 只能在軸兩側(cè)，不妨設(shè)氐PQQ

24、是以0為直角頂點(diǎn)的直角三角形.ORO0二0,即 J+ 幾）伏+門二0 （*）是否存在 PQ 等價(jià)于方程（*）是否有解。若0 b.12分二于(f) = alnf.代人芳程(*)-F+4】口(盧+ ()=0，設(shè)A(x) = (x+l)ln X (xT).則為(刃=】n x + -+l aO在比+)恒減立./. ACx)在厲+00)上單調(diào)謹(jǐn)増，從而A(X)/i(l) = O.則的值威為0,+),化當(dāng)a 方S- = (i + l)lni0解.即右程eJ有解.a二對(duì)任意緒定的正冥數(shù)住*曲娃丁整了(力上總存在兩點(diǎn)p.e，複幫單Poe昱以O(shè)為直 角頂慮a角三角形，且此三角形斜迫中點(diǎn)在護(hù)軸上.詢分14、解：(1)由=得2宀2J2,(2) 若存在丫0滿足條件，則r* +k ；)體即彳+札+ F=(,T a=F -4卩=-W d,方程無(wú)實(shí)數(shù)根，與假設(shè)矛盾。7不能為“ k性質(zhì)函數(shù)”。10分1a1 a . 口11分(3)由條件得:即(和2)55(詁+1)(a0)，化簡(jiǎn)得 (a-5)彳+ 4兩 + 5口-5 = 0 ,12分當(dāng)時(shí),L113分1佃-2咆-5)(1)30 即八3叼+25；, 15-10/2 ?0,2g(1) 0, o則由題意可得a 0,-1 C3 1,a 3+272,a 0時(shí)，側(cè)單調(diào)增加，；當(dāng)Qz 3-2邁時(shí)，0 5。） M3-遍二 2