經(jīng)典層次分析法分析及實(shí)例教程【蒼松書屋】

1、層次分析法,Analytic Hierarchy Process AHP,T.L.saaty,1,深層分析,層次分析法建模,一 問題的提出 日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種 方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。 例1 購物 買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價(jià)格、 外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買飯，則要依據(jù)色、香、味、價(jià)格等方面的因素選 擇某種飯菜。 例2 旅游 假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北 戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會(huì)依據(jù)景色、 費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方,2,深層分析,例3 擇業(yè) 面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可

2、以去 選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條 件等因素?fù)駱I(yè)。 例4 科研課題的選擇 由于經(jīng)費(fèi)等因素，有時(shí)不能同時(shí)開展幾個(gè)課題，一般依 據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值、被培養(yǎng)人才等因素 進(jìn)行選題,3,深層分析,面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最后 作出決策。這個(gè)過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法 解決問題帶來不便。T.L.saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了 一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這是 一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。 過去研究自然和社會(huì)現(xiàn)象主要有機(jī)理分

3、析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩 種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者 以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近 年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析 的數(shù)學(xué)工具之一,4,深層分析,層次分析法的基本思路,與人們對(duì)某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致,選擇鋼筆,質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用,鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4,質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序 將各個(gè)鋼筆的質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序 經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆,5,深層分析,二 層次分析法的基本步驟,1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中 間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層

4、。 例1 的層次結(jié)構(gòu)模型,準(zhǔn)則層,方案層,目標(biāo)層,6,深層分析,例2 層次結(jié)構(gòu)模型,準(zhǔn)則層A,方案層B,目標(biāo)層Z,若上層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所 有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu),7,深層分析,設(shè)某層有個(gè)因素,2 構(gòu)造成對(duì)比較矩陣,要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定 在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把個(gè)因素對(duì)上 層某一目標(biāo)的影響程度排序,用 表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的比較結(jié)果，則,則稱為成對(duì)比較矩陣,上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)取19尺度,8,深層分析,尺度,第 個(gè)因素與第 個(gè)因素的影響相同,第 個(gè)因素比第 個(gè)因

5、素的影響稍強(qiáng),第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響強(qiáng),第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響明強(qiáng),第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響絕對(duì)地強(qiáng),含義,比較尺度：（19尺度的含義,2,4,6,8表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的影響介于上述 兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義， 根據(jù),9,深層分析,由上述定義知，成對(duì)比較矩陣,則稱為正互反陣。 比如，例2的旅游問題中，第二層A的各因素對(duì)目標(biāo)層Z 的影響兩兩比較結(jié)果如下,滿足一下性質(zhì),1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分別表示 景色、費(fèi)用、 居住、飲食、 旅途,10,

6、深層分析,由上表，可得成對(duì)比較矩陣,旅游問題的成對(duì)比較矩陣共有6個(gè)（一個(gè)5階，5個(gè)3階,問題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對(duì)上 層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢,11,深層分析,3 層次單排序及一致性檢驗(yàn),層次單排序：確定下層各因素對(duì)上層某因素影響程度的過程。 用權(quán)值表示影響程度，先從一個(gè)簡單的例子看如何確定權(quán)值。 例如 一塊石頭重量記為1，打碎分成 各小塊，各塊的重量,分別記為,則可得成對(duì)比較矩陣,由右面矩陣可以看出,12,深層分析,即,但在例2的成對(duì)比較矩陣中,在正互反矩陣 中，若 ,則稱 為一致陣,一致陣的性質(zhì),5. 的任一列(行)都是對(duì)應(yīng)于特征根 的特征向量,作業(yè),13,深層

7、分析,若成對(duì)比較矩陣是一致陣，則我們自然會(huì)取對(duì)應(yīng)于最 大特征根 的歸一化特征向量 ，且,定理： 階互反陣 的最大特征根 ，當(dāng)且僅 當(dāng) 時(shí)， 為一致陣,表示下層第 個(gè)因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)值,若成對(duì)比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大 特征根對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量 ，則,為什么,這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法,14,深層分析,定義一致性指標(biāo),其中 為 的對(duì)角線元素之和，也為 的特征根之和,15,深層分析,則可得一致性指標(biāo),定義隨機(jī)一致性指標(biāo),隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣,隨機(jī)一致性指標(biāo) RI 的數(shù)值,16,深層分析,一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率0.1 及隨機(jī)一

8、致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì) 進(jìn)行檢驗(yàn)的過程,一般，當(dāng)一致性比率,的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量 作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，對(duì) 加 以調(diào)整,時(shí)，認(rèn)為,17,深層分析,4 層次總排序及其一致性檢驗(yàn) 確定某層所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序權(quán)值過程， 稱為層次總排序 從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè),對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)?的層次單排序?yàn)?18,深層分析,即 層第 個(gè)因素對(duì) 總目標(biāo)的權(quán)值為,層的層次總排序?yàn)?A,B,19,深層分析,層次總排序的一致性檢驗(yàn),設(shè) 層 對(duì)上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標(biāo)為 ，隨機(jī)一致性指為 ， 則層次總排序的一致性比率為,當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為層次總排

9、序通過一致性檢驗(yàn)。到 此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策,20,深層分析,1.建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層,層次分析法的基本步驟歸納如下,3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),2.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣,從第二層開始用成對(duì)比較矩陣和19尺度,對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣,21,深層分析,計(jì)算最下層對(duì)最上層總排序的權(quán)向量,4.計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),進(jìn)行檢驗(yàn)。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決

10、策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率 較大的成對(duì)比較矩陣,利用總排序一致性比率,22,深層分析,三 層次分析法建模舉例,旅游問題 (1)建模,分別分別表示景色、費(fèi)用、 居住、飲食、旅途,分別表示蘇杭、北戴河、桂林,23,深層分析,2）構(gòu)造成對(duì)比較矩陣,24,深層分析,3)計(jì)算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn),成對(duì)比較矩陣 的最大特征值,表明 通過了一致性驗(yàn)證,故,則,該特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量,25,深層分析,對(duì)成對(duì)比較矩陣 可以求層次 總排序的權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，結(jié)果如下,計(jì)算 可知 通過一致性檢驗(yàn),26,深層分析,對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為,4）計(jì)算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(yàn),又,決

11、策層對(duì)總目標(biāo)的權(quán)向量為,同理得， 對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值分別為,故，層次總排序通過一致性檢驗(yàn),27,深層分析,可作為最后的決策依據(jù),故最后的決策應(yīng)為去桂林,又 分別表示蘇杭、北戴河、桂林,即各方案的權(quán)重排序?yàn)?28,深層分析,四 層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性,1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策 ，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具,2 實(shí)用性 層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用 傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實(shí)際問題，應(yīng)用范圍很廣，同 時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策 者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了

12、決策的有效性,29,深層分析,3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本 原理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡便，并且所得 結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握,以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限 性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面,第一 只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來，沒有辦法得出更好的新方案,30,深層分析,第二 該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過程都是粗糙 的，不適用于精度較高的問題。 第三 從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人主觀 因素對(duì)整個(gè)過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓 所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法 是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑,思考：多名專家的綜

13、合決策問題,31,深層分析,五 正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法,用定義計(jì)算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時(shí)； 成對(duì)比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對(duì)它的精確計(jì)算是沒有必要的。 尋找簡便的近似方法,32,深層分析,定理,對(duì)于正矩陣 A （A的所有元素為正,1） A 的最大特征根為正單根,2） 對(duì)應(yīng)正特征向量 w（w的所有分量為正,3,其中,是對(duì)應(yīng) 的歸一化特征向量,33,深層分析,1 冪法 步驟如下,a) 任取 n 維歸一化初始向量,b) 計(jì)算,c) 歸一化,即令,34,深層分析,d) 對(duì)于預(yù)先給定的精度 ，當(dāng)下式成立時(shí),即為所求的特征向量；否則返回b,e) 計(jì)算最大特征值,這是