人教版數(shù)學(xué)必修二13-空間幾何體的表面積和體積

1、1.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積,1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體 的表面積與體積,1、表面積：幾何體表面的面積,2、體積：幾何體所占空間的大小,表面積、全面積和側(cè)面積,表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和叫做它的表面積。（每個(gè)面的面積相加 ） 全面積全面積是立體幾何里的概念，相對(duì)于截面積（“截面積”即切面的面積）來(lái)說(shuō)的，就是表面積總和 側(cè)面積指立體圖形的各個(gè)側(cè)面的面積之和（除去底面,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積,側(cè)面積所指的對(duì)象分別如下： 棱柱-直棱柱。 棱錐-正棱錐。 棱臺(tái)-正棱臺(tái),2.幾何體的表面積 （1）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是 . （2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是 、 、 ；它

2、們的表面積等于,各面面積,之和,矩,形,扇形,扇環(huán)形,側(cè)面積,與底面面積之和,回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念,1、直棱柱,2、正棱柱,3、正棱錐,4、正棱臺(tái),側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱,底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱,底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心 的棱錐,正棱錐被平行于底面的平面所截， 截面和底面之間的部分叫正棱臺(tái),作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺(tái)各一個(gè)，找出 斜高,斜高的概念,2、分別作出一個(gè)圓柱、圓錐、圓臺(tái)，并找出旋轉(zhuǎn)軸,分別經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸作一個(gè)平面，觀察得到的軸截面是 什么形狀的圖形,矩 形,等腰三角形,等腰梯形,直棱柱：設(shè)棱柱的高為h，底面多邊形的周長(zhǎng)為c，則 S直棱柱側(cè) .（類比矩形的面

3、積） 圓柱：如果圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，那么 S圓柱側(cè) .（類比矩形的面積,ch,2rl,知識(shí)點(diǎn)一：柱、錐、臺(tái)、球的表面積與側(cè)面積,1)柱體的側(cè)面積,把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？ 側(cè)面積怎么求,棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積,h,正棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖,2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的展開(kāi)圖及表面積求法,思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖 有什么關(guān)系,長(zhǎng)方形,圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形,3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的展開(kāi)圖及表面積求法,圓柱,正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長(zhǎng)為c，斜高為h，則 S正棱錐側(cè) .（類比三角形的面積）

4、圓錐：如果圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，那么 S圓錐側(cè) .（類比三角形的面積,12ch,rl,2)錐體的側(cè)面積,把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？ 側(cè)面積怎么求,棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積,正三棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖,棱錐的展開(kāi)圖,正五棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖,棱錐的展開(kāi)圖,思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖 有什么關(guān)系,扇形,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形,圓錐,正棱臺(tái)：設(shè)正n棱臺(tái)的上底面、下底面周長(zhǎng)分別為c、c，斜高為h，則正n棱臺(tái)的側(cè)面積公式：S正棱臺(tái)側(cè) . 圓臺(tái)：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、r，母線長(zhǎng)為l，則S圓臺(tái)側(cè),1

5、2(cc)h,l(rr,3)臺(tái)體的側(cè)面積,注：表面積側(cè)面積底面積,把正三棱臺(tái)側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？ 側(cè)面積怎么求？（類比梯形的面積,正四棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖,棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積,棱臺(tái)的展開(kāi)圖,參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么,圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán),圓臺(tái),思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖 有什么關(guān)系,扇環(huán),圓臺(tái)側(cè)面積公式的推導(dǎo),圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系,棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積,它們的側(cè)面展開(kāi)圖還是平面圖形,計(jì)算它

6、們的表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積 之和,例1：一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺(tái)的側(cè)面積,分析：關(guān)鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形,O1,O,D,D1,E,例3：圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為 ，求其側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)所對(duì)的圓心角,分析：抓住相似三角形中的相似比是解題的關(guān)鍵,小結(jié)：1、抓住側(cè)面展開(kāi)圖的形狀，用好相應(yīng)的計(jì)算公式，注意逆向用公式； 2、圓臺(tái)問(wèn)題恢復(fù)成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺(tái)問(wèn)題，注意相似比,答：1800,例：圓臺(tái)的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺(tái)的側(cè)面積是多少？（結(jié)果中保留

7、,小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀是關(guān)鍵； 2、對(duì)應(yīng)的面積公式,例1：一個(gè)正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為5的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則其側(cè)面積為 _,答：60,例2：正四棱錐底面邊長(zhǎng)為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，求棱臺(tái)的側(cè)面積,例3 已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積,B,C,A,S,分析：四面體的展開(kāi)圖是由四個(gè)全等的正三角形組成,因此，四面體S-ABC 的表面積,交BC于點(diǎn)D,例4(2010年廣東省惠州市高三調(diào)研)如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)是2，D，E是CC1，BC的中點(diǎn)，AEDE. (1)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)； (

8、2)正三棱柱ABCA1B1C1的表面積,思路點(diǎn)撥】(1)證明AED為直角三角形，然后求側(cè)棱長(zhǎng)；(2)分別求出側(cè)面積與底面積,點(diǎn)評(píng)】求表面積應(yīng)分別求各部分面的面積，所以應(yīng)弄清圖形的形狀，利用相應(yīng)的公式求面積，規(guī)則的圖形可直接求，不規(guī)則的圖形往往要再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，常分割成幾部分來(lái)求,思考：怎樣求斜棱柱的側(cè)面積？ 1）側(cè)面展開(kāi)圖是 平行四邊形 2）S斜棱柱側(cè)=直截面周長(zhǎng)側(cè)棱長(zhǎng) 3） S側(cè)=所有側(cè)面面積之和,1高考中對(duì)幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運(yùn)算能力，只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決,幾何體的表面積問(wèn)題小結(jié),2多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和圓柱

9、、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和 3幾何體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理,幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積,一、體積的概念與公理,公理1、長(zhǎng)方體的體積等于它的長(zhǎng)、寬、高的積,V長(zhǎng)方體= abc,推論1 、長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積s和高h(yuǎn)的積,V長(zhǎng)方體= sh,推論2 、正方體的體積等于它的棱長(zhǎng)a 的立方,V正方體= a3,公理2、夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等,冪勢(shì)既同，則積不容異,祖暅原理,定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積

10、等于它的底面積 s 和高 h 的積,V柱體= sh,二：柱體的體積,三:錐體體積,例2,如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為S,高為h,答:可分成棱錐A-D1DC, 棱錐A-D1C1C, 棱錐A-BCD,問(wèn)：（1）從A點(diǎn)出發(fā)棱柱能分割成幾個(gè)三棱錐,3.1錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積S，高h(yuǎn),注意：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個(gè)面都可以作為底面，可以用來(lái)求點(diǎn)到面的距離,問(wèn)題:錐體(棱錐、圓錐）的體積,定理如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是,推論：如果圓錐的底面半徑是，高是， 那么它的體積是,圓錐,h,x,四.臺(tái)體的體積,V臺(tái)體,上下底面積分

11、別是s/,s,高是h，則,推論：如果圓臺(tái)的上,下底面半徑是r1.r2,高是，那么它的體積是,五.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系,S為底面面積，h為柱體高,S分別為上、下底面面積，h 為臺(tái)體高,S為底面面積，h為錐體高,1)長(zhǎng)方體的體積 V長(zhǎng)方體abc . (其中a、b、c為長(zhǎng)、寬、高，S為底面積，h為高) (2)柱體(圓柱和棱柱)的體積 V柱體Sh. 其中，V圓柱r2h(其中r為底面半徑,Sh,知識(shí)點(diǎn)二柱、錐、臺(tái)、球的體積,3)錐體(圓錐和棱錐)的體積 V錐體 Sh. 其中V圓錐 ， r為底面半徑,13r2h,4)臺(tái)體的體積公式 V臺(tái)h(SS) 注：h為臺(tái)體的高，S和S分別為上下兩個(gè)

12、底面的面積 其中V圓臺(tái) 注：h為臺(tái)體的高，r、r分別為上、下兩底的半徑 (5)球的體積 V球,13h(r2rrr2,13R3,例從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐ABCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾,1求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算問(wèn)題的常用方法,幾何體的體積小結(jié),2計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,R,R,球的體積,一個(gè)半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè) 以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐 后，所

13、得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的 半球的體積相等,探究,R,R,第一步：分割,O,球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格， 表面積分別為,則球的表面積,則球的體積為,設(shè)“小錐體”的體積為,知識(shí)點(diǎn)三、球的表面積和體積,O,第二步：求近似和,O,由第一步得,第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積,如果網(wǎng)格分的越細(xì),則,由 得,設(shè)球的半徑為R，則球的體積公式為 V球,43R3,例1(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面積之比4，則它們的半徑之比_,1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的倍。 (2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍。 (3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是。 (4)若兩球體積之比是1

14、:2，則其表面積之比是,例2,例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問(wèn)球O的表面積,分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等,略解,變題1.如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=。 變題2.如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S,關(guān)鍵,找正方體的棱長(zhǎng)a與球半徑R之間的關(guān)系,例4已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面積,解：如圖，設(shè)球O半徑為R， 截面O的半徑為r,例5、有三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正

15、方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比,作軸截面,規(guī)律方法總結(jié),1直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的等腰梯形 2斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的乘積,3如果直棱柱的底面周長(zhǎng)是c，高是h，那么它的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)ch. 4應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺(tái)體中的直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用,規(guī)律方法總結(jié),5如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)，在求其側(cè)面積或全面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面的面積分別求解后再相加

16、 6求球的體積和表面積的關(guān)鍵是求出球的半徑反之，若已知球的表面積或體積，那么就可以得出其半徑的大小 7計(jì)算組合體的體積時(shí)，首先要弄清楚它是由哪些基本幾何體構(gòu)成，然后再通過(guò)軸截面分析和解決問(wèn)題,8計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解,題型一 幾何體的展開(kāi)與折疊 有一根長(zhǎng)為3 cm，底面半徑為1 cm的 圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并 使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端, 則鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少？ 把圓柱沿這條母線展開(kāi)，將問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離,題型分類 深度剖析,

17、解 把圓柱側(cè)面及纏繞其上 的鐵絲展開(kāi)，在平面上得到 矩形ABCD（如圖所示）， 由題意知BC=3 cm， AB=4 cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位 置，故線段AC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度. 故鐵絲的最短長(zhǎng)度為5 cm,求立體圖形表面上兩點(diǎn)的最短距離 問(wèn)題，是立體幾何中的一個(gè)重要題型.這類題目的 特點(diǎn)是：立體圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體 圖形的幾個(gè)平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上.為了便于發(fā) 現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將 圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面 展開(kāi)為平面，使問(wèn)題得到解決.其基本步驟是：展 開(kāi)（有時(shí)全部展開(kāi)，有時(shí)部分展開(kāi)）為平面圖形， 找出表示最短距離的線段，再計(jì)

18、算此線段的長(zhǎng),題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋 轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的 表面積(其中BAC=30)及其體積. 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀,再求表面積,解 如圖所示, 過(guò)C作CO1AB于O1,在半圓中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4R2,解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所 形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割， 然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算,知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解

19、 如圖為軸截面. 設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則,知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則,題型三 多面體的表面積及其體積 一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng) 為 ，求這個(gè)三棱錐的體積. 本題為求棱錐的體積問(wèn)題.已知底面 邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據(jù)體積公式求出其體積. 解 如圖所示， 正三棱錐SABC. 設(shè)H為正ABC的中心， 連接SH， 則SH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高,連接AH并延長(zhǎng)交BC于E， 則E為

20、BC的中點(diǎn)，且AHBC. ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形,求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧?高，然后應(yīng)用公式 進(jìn)行計(jì)算即可.常用方 法：割補(bǔ)法和等積變換法. （1）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾 何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱 體的體積，從而得出幾何體的體積. （2）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為 三棱錐的底面.求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方 式來(lái)計(jì)算；利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的 距離,題型四 組合體的表面積及其體積 (12分)如圖所示,在等腰梯形ABCD中, AB=2DC=2，DAB=60，E為AB的中點(diǎn)， 將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起， 使A、B重合,求

21、形成的三棱錐的外接球的體積. 易知折疊成的幾何體是棱長(zhǎng)為1的正 四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的 半徑即可. 解 由已知條件知，平面圖形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折疊后得到一個(gè)正四面體. 2分,方法一 作AF平面DEC，垂足為F， F即為DEC的中心. 取EC的中點(diǎn)G，連接DG、AG， 過(guò)球心O作OH平面AEC. 則垂足H為AEC的中心. 4分 外接球半徑可利用OHAGFA求得. 在AFG和AHO中，根據(jù)三角形相似可知,6分,10分,12分,方法二 如圖所示，把正四面體放在正 方體中.顯然，正四面體的外接球就 是正方體的外接球. 3分 正四面體的棱長(zhǎng)為1， 正方體的棱長(zhǎng)為 ， 6分,9分,12