數(shù)學(xué)分析試題及答案

1、（二十一）數(shù)學(xué)分析期終考試題一 敘述題：（每小題5分，共15分）1 開集和閉集2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)定理3 Riemann可積的充分必要條件二 計(jì)算題：（每小題7分，共35分）1、2、求繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積3、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域4、5、，l為從點(diǎn)P0(2,-1,2)到點(diǎn)（-1，1，2）的方向， 求fl(P0)三 討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共30分）1、已知，驗(yàn)證函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)，但它在該點(diǎn)可微2、討論級(jí)數(shù)的斂散性。3、討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。四 證明題：（每小題10分，共20分）1 若收斂，且f（x）在a,+）上一致連續(xù)函數(shù)，則有2 設(shè)二元函數(shù)在開集內(nèi)對(duì)于變量

2、x是連續(xù)的，對(duì)于變量y滿足Lipschitz條件：其中為常數(shù)證明在D內(nèi)連續(xù)。參考答案一、1、若集合S中的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱集合S為開集；若集合S中包含了它的所有的聚點(diǎn)，則稱集合S為閉集。2 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足（1）在a，b連續(xù)可導(dǎo)a) 在a，b點(diǎn)態(tài)收斂于b) 在a，b一致收斂于則=在a，b 可導(dǎo)，且3、有界函數(shù)在a，b上可積的充分必要條件是，對(duì)于任意分法，當(dāng)時(shí)Darboux大和與Darboux小和的極限相等二、1、令（2分）（5分）2、，（2分）所求的體積為：（5分）3、解：由于收斂半徑為(4分），當(dāng)時(shí)，所以收斂域?yàn)?(3分）4、（7分）5、解： 設(shè)極坐標(biāo)方程為（4分）（3分）三、1、解、

3、（4分）由于當(dāng)趨于（0，0）無極限。所以不連續(xù)，同理可的也不連續(xù)，（2分） 2、解：（5分）收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂（5分）3、解：部分和（3分）， 取，時(shí)有，所以級(jí)數(shù)一致收斂（7分）四、證明題（每小題10分，共20分）1、證明：用反證法若結(jié)論不成立，則 ，使得，（3分）又因?yàn)樵趂（x）在a,）上一致連續(xù)函數(shù)，只要，有，（3分）于是，取上述使的點(diǎn)，不妨設(shè)，則對(duì)任意滿足的，有取A和A分別等于和，則有，由Cauchy收斂定理，不收斂，矛盾（4分）2、證明：，由Lipschitz條件（1），（6分）又由二元函數(shù)在開集內(nèi)對(duì)于變量x是連續(xù)的，（1）式的極限為0，在連續(xù)，因此在D內(nèi)連續(xù)（4分）（二十二）數(shù)學(xué)分

4、析期末考試題一 敘述題：（每小題5分，共15分）1 Darboux和 2 無窮限反常積分的Cauchy收斂原理3 Euclid空間二 計(jì)算題：（每小題7分，共35分）1、2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積 3、(n是非負(fù)整數(shù)）4、設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求5、求的冪級(jí)數(shù)展開式三 討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共20分）1、討論二元函數(shù)連續(xù)、偏可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。對(duì)肯定的結(jié)論任選一進(jìn)行證明；對(duì)否定的結(jié)論，給出反例2、討論級(jí)數(shù)的絕對(duì)和條件收斂性。四 證明題：（每小題10分，共30分）1 f（x）在0，+）上連續(xù)且恒有f（x）0，證明在0，+）上單調(diào)增加2 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，單調(diào)減少，證明3 ，

5、證明：不存在參考答案一、1、有界函數(shù)定義在上，給一種分法，和記，則分別稱為相應(yīng)于分法的Darboux大和和Darboux小和。2、使得，成立3、向量空間上定義內(nèi)積運(yùn)算構(gòu)成Euclid空間二、1、由于（7分）2、解：兩曲線的交點(diǎn)為（2，2），（0，0），（2分）所求的面積為：（5分）3、 解：=+=+（6分）(1分）4、：=（3分）（4分）5、解： 由于余項(xiàng)，（3分）所以（4分）三、1、解、可微必可偏導(dǎo)和連續(xù)，證明可看課本133頁（4分），可偏導(dǎo)不一定連續(xù)和可微例子可看課本135頁（6分）2、解：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，（4分）當(dāng)，由Dirichlet定理知級(jí)數(shù)收斂，但，所以發(fā)散，即級(jí)數(shù)條件收斂（4

6、分），當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0，所以級(jí)數(shù)不收斂（2分）四、證明題（每小題10分，共30分）1 證明：（8分）所以函數(shù)單調(diào)增加（2分）2 證明：，有由此得，（4分）由級(jí)數(shù)收斂，故可取定使得，又，故使得時(shí)，有，（4分）于是當(dāng)時(shí)，有，得證（2分）3、證明：，所以不存在（10分）（二十三）數(shù)學(xué)分析期末考試題一 敘述題：(每小題5分，共15分）1 微積分基本公式 2 無窮項(xiàng)反常積分3 緊幾合二 計(jì)算題：(每小題7分，共35分）1、2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積 3、求的收斂半徑和收斂域4、設(shè)，求偏導(dǎo)數(shù)和全微分5、三 討論與驗(yàn)證題：(每小題10分，共30分）1 討論的二重極限和二次極限2 討論

7、的斂散性3、討論函數(shù)項(xiàng)的一致收斂性。四 證明題：(每小題10分，共20分）1 設(shè)f（x）連續(xù)，證明2 證明滿足參考答案一、1、設(shè)在連續(xù)，是在上的一個(gè)原函數(shù)，則成立。2、設(shè)函數(shù)在有定義，且在任意有限區(qū)間上可積。若極限存在，則稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散3、如果S的任意一個(gè)開覆蓋中總存在一個(gè)有限子覆蓋，即存在中的有限個(gè)開集，滿足，則稱S為緊集二、1、=（7分）2、解：兩曲線的交點(diǎn)為（-2，4），（1，1），（2分）所求的面積為：（5分）3 ：，收斂半徑為1（4分），由于時(shí)，級(jí)數(shù)不收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?1，1）（3分）4：=（4分）（3分）5、解：（7分）三、1、解、由于沿趨于（0，0）時(shí)，所