曲線擬合的最

1、 曲線擬合的最小二乘法 曲線擬合的最小二乘法 第6章6.1 擬合曲線 通過觀察或測(cè)量得到一組離散數(shù)據(jù)序列，當(dāng)所得數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確 ，構(gòu)造的原則是要求插值函數(shù)逼近客觀存在的函數(shù)時(shí)，可構(gòu)造插值函數(shù) 與是。此時(shí)，序列通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，即 相等的。，含有不可避免的誤差（或稱“噪音”如果數(shù)據(jù)序列 ），如圖6.1 所示；如果數(shù)據(jù)序列無法同時(shí)滿足某特定函數(shù)，如圖6.2所示，那么，只能要求 的誤差或與即向量最優(yōu)地靠近樣點(diǎn)，所做逼近函數(shù) 距離最小。按與之間誤差最小原則作為“最優(yōu)”標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造的逼近函數(shù)，稱為擬合 函數(shù)。 的數(shù)據(jù)”噪聲“含有6.1 圖 圖6.2 一條直線公路與多個(gè)景點(diǎn) 插值和擬合是構(gòu)造逼近函數(shù)的兩種方法。插

2、值的目標(biāo)是要插值函數(shù)盡量靠近離散點(diǎn)；擬合的目標(biāo)是要離散點(diǎn)盡量靠近擬合函數(shù)。 向量與之間的誤差或距離有各種不同的定義方法。例如： 用各點(diǎn)誤差絕對(duì)值的和表示： 用各點(diǎn)誤差按模的最大值表示： 用各點(diǎn)誤差的平方和表示： 或 （ 6.1） 其中稱為均方誤差，由于計(jì)算均方誤差的最小值的方法容易實(shí)現(xiàn)而被廣泛 采用。按均方誤差達(dá)到極小構(gòu)造擬合曲線的方法稱為最小二乘法。本章主要講述 用最小二乘法構(gòu)造擬合曲線的方法。 在運(yùn)籌學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、逼近論和控制論中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是統(tǒng)計(jì)學(xué)中估計(jì)回歸參數(shù)的最基本方法。 關(guān)于最小二乘法的發(fā)明權(quán)，在數(shù)學(xué)史的研究中尚未定論。有材料表明高斯和勒讓德分別獨(dú)立地提

3、出這種方法。勒讓德是在1805年第一次公開發(fā)表關(guān)于最小二乘法的論文，這時(shí)高斯指出，他早在1795年之前就使用了這種方法。但數(shù)學(xué)史研究者只找到了高斯約在1803年之前使用了這種方法的證據(jù)。 在實(shí)際問題中，怎樣由測(cè)量的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)和確定“最貼近”的擬合曲線？關(guān)鍵在選擇適當(dāng)?shù)臄M合曲線類型，有時(shí)根據(jù)專業(yè)知識(shí)和工作經(jīng)驗(yàn)即可確定擬合曲線類型；在對(duì)擬合曲線一無所知的情況下，不妨先繪制數(shù)據(jù)的粗略圖形，或許從中觀 測(cè)出擬合曲線的類型；更一般地，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多種曲線類型的擬合，并計(jì)算均方誤差，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數(shù)。 例如，某風(fēng)景區(qū)要在已有的景點(diǎn)之間修一條規(guī)格較高的主干路，景點(diǎn)與主干

4、路之間由各具特色的支路聯(lián)接。設(shè)景點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)列；設(shè)主干路為一 最小值而確定直即擬合函數(shù)是一條直線。通過計(jì)算均方誤差條直線， 線方程（見圖6.2）。 線性擬合和二次擬合函數(shù)6.2 線性擬合 ，均方誤差為，做擬合直線給定一組數(shù)據(jù) （6.2） 的極小值要滿足 是二元函數(shù)， 整理得到擬合曲線滿足的方程： （ ） 6.3 或 稱式（6.3）為擬合曲線的法方程。用消元法或克萊姆法則解出方程： =a = 為魚的種類。請(qǐng)用線性函數(shù)擬合魚的數(shù)量和種類的函數(shù)在某處作的魚類抽樣調(diào)查，表中為魚的數(shù)量，R. Dybdall 例6.1 下表為P. Sale及 關(guān)系。36 31 25 22 16 21 13 15 23 2

5、9 30 17 11 12 11 10 12 13 13 14 16 12 130 72 70 42 40 62 55 60 64 100 34 17 24 21 22 13 14 14 21 23 ，并計(jì)算得下表：解：設(shè)擬合直線 x1691143131121510150225316111762564211225244152212264484 21 130 34 4420 16900 956 344 18913 61640 6.3將數(shù)據(jù)代入法方程組（ ）中，得到： ，= 8.2084解方程得：= 0.1795 8.2084 + 0.1795=擬合直線為： 二次擬合函數(shù) 給定數(shù)據(jù)序列，用二次多項(xiàng)

6、式函數(shù)擬合這組數(shù)據(jù)。 設(shè)，作出擬合函數(shù)與數(shù)據(jù)序列的均方誤差： （6.4 ） 由多元函數(shù)的極值原理，的極小值滿足 整理得二次多項(xiàng)式函數(shù)擬合的法方程： ） （6.5 解此方程得到在均方誤差最小意義下的擬合函數(shù)。方程組（6.5）稱為多項(xiàng)式擬合的法方程，法方程的系數(shù)矩陣是對(duì)稱的。當(dāng)擬保多項(xiàng)式 階時(shí)，法方程的系數(shù)矩陣是病態(tài)的，在計(jì)算中要用雙精度或一些特殊算法以保護(hù)解的準(zhǔn)確性。 例6.2 給定一組數(shù)據(jù)，如下表。用二次多項(xiàng)式函數(shù)擬合的這組數(shù)據(jù)。1 3 2 3 1 2 0 5 2 1 0 4 2 3 解：設(shè)，由計(jì)算得下表： 27 3 12 81 36 4 9 16 2 4 8 8 4 2 1311133000000011111112416828459813274515128960 7 39 將數(shù)據(jù)代入式（6.5），相應(yīng)的法方程為：