三角函數(shù)的積化和差與和差化積

1、三角函數(shù)的積化和差與和差化積一、課標要求：利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導導出積化和差、和差化積公式，但不要求記憶.二、知識提要：三角函數(shù)的積化和差公式：積化和差公式是由正弦或余弦的和角公式與差角公式通過加減運算推導而得.其中前兩個公式可合并為一個：三角函數(shù)的和差化積公式：和差化積公式是積化和差公式的逆用形式，要注意的是：其中前兩個公式可合并為一個：sin+ sin=2 sincos積化和差公式的推導用了“解方程組”的思想，和差化積公式的推導用了“換元”思想.只有系數(shù)絕對值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運用公式化成積的形式，如果一個正弦與一個余弦的和或差，則要先用誘導公式化成同名函數(shù)后再運

2、用公式化積.合一變形也是一種和差化積.三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用.積化和差與積差化積是一種孿生兄弟，不可分離，在解題過程中，要切實注意兩者的交替使用.如在一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降冪公式，然后應用和差化積、積化和差公式交替使用進行化簡或計算.和積互化公式其基本功能在于：當和、積互化時，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項或互約因式，從而利于化簡求值.正因為如此“和、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段.三、典型例題：1把下列各式化為和或差的形式：解：2求

3、值：sin6sin42sin66sin78.解：法一 sin6sin42sin66sin78 法二 sin6sin42sin66sin78 3解：4求值：cos24sin6cos72解：原式=(sin66-sin6)-cos72=2cos36sin30-cos72=cos36-cos72=2sin54sin18=2cos36cos72=5求tan204sin20的值.6求值： 解：原式=7已知sin(A+B)=，sin(A-B)=，求值： 解：原式=1sin22Asin2B=1sin22Asin2B=sin2B=sin(A+B)sin(AB)=()=8求sin220+cos280+sin20c

4、os80的值.解：原式=1+(cos160-cos40)+sin100-=-sin100sin60+sin100=9試證：cos2(A-)+cos2(B)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)的值與無關(guān).證明：cos2(A-)+cos2(B)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)=-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)=1+cos(A-B)cos(A+B-2)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)=1+cos(A-B)cos(A+B-2)-2cos(A-)cos(B-)=1+cos(A-B)cos(A+B-2)-cos(A+B-2)-cos(A-B)=1- cos2(A-B)= sin2(A-B)原式的值只與A-B的值有關(guān)，而與的值