邊界層分析求解[行業(yè)參考]

1、15-3 邊界層微分方程組的解,邊界層的概念是1904年德國科學家普朗特提出的。 （Boundary layer,1）定義,垂直于壁面的方向上流體流速發(fā)生顯著變化的流體薄層定義為流動邊界層,一. 邊界層,1.流動邊界層,1,材料課件,熱線風速儀,在離平壁前端x處用熱線風速儀，測得沿壁面方向方向上各點的流速，這一分布呈現(xiàn)類似拋物線型。在u=0.99u 處以外的流體，可以認為不受流體粘性的影響，稱其為主流區(qū)。而u=0.99u以內(nèi)的區(qū)域，存在明顯速度梯度，稱為邊界層區(qū),2,材料課件,流體流過固體壁面時，由于壁面層流體分子的不滑移特性，在流體黏性力的作用下，近壁流體流速在垂直于壁面的方向上會從壁面處的

2、零速度逐步變化到來流速度,普朗特通過觀察發(fā)現(xiàn)，對于低黏度的流體，如水和空氣等，在以較大的流速流過固體壁面時，在壁面上流體速度發(fā)生顯著變化的流體層是非常薄的,3,材料課件,邊界層內(nèi)：平均速度梯度很大；y=0處的速度梯度最大 滿足牛頓粘性定律,式中：粘滯力，N/m2; 動力粘度, kg/(ms,在速度邊界層內(nèi)存在較大的速度梯度，因此粘滯力也較大。由于粘滯力的牽制，在這一邊界層內(nèi)流體微團只能沿著壁面平行地分層流動，稱為層流邊界層,4,材料課件,流體流過固體壁面的流場就人為地分成兩個不同的區(qū)域,其一是邊界層流動區(qū)，這里流體的黏性力與流體的慣性力共同作用，引起流體速度發(fā)生顯著變化；其二是勢流區(qū)，這里流體

3、黏性力的作用非常微弱，可視為無黏性的理想流體流動，也就是勢流流動,5,材料課件,2）邊界層的厚度,當速度變化達到 時的空間位置為速度邊界層的外邊緣，那么從這一點到壁面的距離就是邊界層的厚度,?。嚎諝馔饴悠桨?理論關(guān)系式為,u=10m/s,6,材料課件,要使邊界層的厚度遠小于流動方向上的尺度(即 )，也就是所說的邊界層是一個薄層，這就要求雷諾數(shù)必須足夠的大,即,因此，對于流體流過平板，滿足邊界層假設(shè)的條件就是雷諾數(shù)足夠大。由此也就知道，當速度很小、黏性很大時或在平板的前沿，邊界層是難以滿足薄層性條件,7,材料課件,3) 臨界雷諾數(shù),隨著x的增大，（x）也逐步增大，同時黏性力對流場的控制作用也逐步

4、減弱，從而使邊界層內(nèi)的流動變得紊亂,把邊界層從層流過渡到紊流的x值稱為臨界值，記為xc，其所對應(yīng)的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)，即,8,材料課件,流體平行流過平板的臨界雷諾數(shù)大約是,對于管內(nèi)的流動運動，取臨界雷諾數(shù)2300,9,材料課件,粘性底層：在紊流邊界層內(nèi)，由于緊貼壁面處那一層薄層內(nèi)粘滯力甚大，流體仍具有層流的特征,紊流支層：粘性底層上方稱為紊流支層，在該層內(nèi)粘滯力較小，流體具有紊流的特點,邊界層厚度=粘性底層+紊流支層,10,材料課件,由以上兩式可以發(fā)現(xiàn)，流體的主流速度w越大，層流邊界層厚度層以及粘性底層的厚度底越??；x增大時，層流邊界層厚度層隨x0.5成正比增加，而粘性底層則隨x0.1成正比

5、增加，這表明當x增大時，底增加很少,11,材料課件,4) 要點,(1) 邊界層厚度 與壁的定型尺寸L相比極小， L (2) 邊界層內(nèi)存在較大的速度梯度 (3) 邊界層流態(tài)分層流與紊流；紊流邊界層緊靠壁面 處仍有層流特征，粘性底層（層流底層） (4) 流場可以劃分為邊界層區(qū)與主流區(qū)（縱向） 層流邊界段：Re數(shù)很小，粘性力占優(yōu)勢，忽略慣性力 過度邊界段： Re數(shù)處于之間，粘性力和慣性力相當 紊流邊界段：Re數(shù)很大，慣性力主導(dǎo)，忽略粘性力,12,材料課件,慣性力 指當物體加速時，慣性會使物體有保持原有運動狀態(tài)的傾向，若是以該物體為參照物，看起來就仿佛有一股方向相反的力作用在該物體上，因此稱之為慣性力

6、。因為慣性力實際上并不存在，實際存在的只有原本將該物體加速的力，因此慣性力又稱為假想力,慣性系:相對于地球靜止或作勻速直線運動的物體. 非慣性系:相對地面慣性系做加速運動的物體,13,材料課件,2. 熱（溫度）邊界層（Thermal boundary layer,當流體流過平板而平板的溫度tw與來流流體的溫度t不相等時，在壁面上方也能形成溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為熱邊界層,Tw,1）定義,14,材料課件,2）熱邊界層厚度,當壁面與流體之間的溫差達到壁面與來流流體之間的溫差的0.99倍時，即 ，此位置就是邊界層的外邊緣，而該點到壁面之間的距離則是熱邊界層的厚度,記為,湍流：溫度呈冪函數(shù)分布,

7、層流：溫度呈拋物線分布,湍流邊界層貼壁處的溫度梯度明顯大于層流,故：湍流換熱比層流換熱強,15,材料課件,在同一位置上熱邊界層厚度與速度邊界層厚度的相對大小與流體的普朗特數(shù)Pr有關(guān)，也就是與流體的熱擴散特性和動量擴散特性的相對大小有關(guān),由此式可以看出，熱邊界層是否滿足薄層性的條件，除了Re足夠大之外還取決于普朗特數(shù)的大小，當普朗特數(shù)非常小時（Pr1）,熱邊界層相對于速度邊界層就很厚，反之則很薄,普朗特數(shù)Pr 的物理意義: 表征流體的熱擴散特性和動量擴散特性的相對大小,3）速度邊界層厚度與熱邊界層厚度的關(guān)系,16,材料課件,當Pr1時，Pr=/a，a，粘性擴散 熱量擴散，速度邊界層厚度溫度邊界層

8、厚度,當Pr1時，Pr=/a，a，粘性擴散 熱量擴散，速度邊界層厚度溫度邊界層厚度,也可以從公式得出,17,材料課件,要點,熱邊界層的邊界線將流體的溫度場劃分為兩個區(qū)域，只有在熱邊界層中才有溫度變化，而在熱邊界層以外可以認為溫度梯度為零，當做等溫流動區(qū)。 對于層流，壁面法線方向熱量傳遞靠導(dǎo)熱方式，邊界層內(nèi)溫度分布為拋物線；對于紊流，粘性底層的熱量傳遞靠導(dǎo)熱，而在底層以外的紊流支層，除導(dǎo)熱外，主要靠速度脈動引起的對流混合作用。 對于導(dǎo)熱系數(shù)不高的流體，紊流換熱熱阻主要取決于粘性底層的導(dǎo)熱過程，邊界層的溫度梯度在粘性底層最大，而在紊流支層變化平緩,18,材料課件,流型：層流和紊流,19,材料課件,

9、3.引入邊界層概念的意義,縮小計算區(qū)域。對對流換熱問題的研究可集中在邊界層區(qū)域內(nèi) 邊界層內(nèi)的流動與換熱可以利用邊界層的特點進一步簡化,20,材料課件,二、數(shù)量級分析與邊界層微分方程,1.數(shù)量級分析(order of magnitude,1)定義:比較方程中各量或各項的量級的相對大?。槐Ａ袅考壿^大的量或項；舍去那些量級小的項，方程大大簡化,21,材料課件,例：二維、穩(wěn)態(tài)、強制對流、層流、忽略重力的對流換熱為例,2)實例分析,22,材料課件,主流速度,溫度,壁面特征長度,邊界層厚度,x 與 l 相當，即,a.定義5個基本量的數(shù)量級,b.其他量的數(shù)量級導(dǎo)出,u沿邊界層厚度由0到u,由連續(xù)性方程,23

10、,材料課件,24,材料課件,25,材料課件,表明：邊界層內(nèi)的壓力梯度僅沿 x 方向變化，而邊界層內(nèi)法向的壓力梯度極小,邊界層內(nèi)任一截面壓力與 y 無關(guān)而等于主流壓力,可視為邊界層的又一特性,26,材料課件,層流邊界層對流換熱微分方程組： 3個方程、3個未知量：u、v、t，方程封閉 如果配上相應(yīng)的定解條件，則可以求解,27,材料課件,邊界條件,三、外掠平板層流換熱邊界層微分方程式分析解簡述,微分方程,28,材料課件,結(jié)果為,式中,Nux=x/為局部努賽爾數(shù)，無量綱，其大小反映了局部換熱的程度,29,材料課件,1) 建立邊界層積分方程 針對包括固體邊界及邊界層外邊界在內(nèi)的有限大小的控制容積； (2

11、) 對邊界層內(nèi)的速度和溫度分布作出假設(shè)，常用的函數(shù)形式為多項式； (3) 利用邊界條件確定速度和溫度分布中的常數(shù)，然后將速度分布和溫度分布帶入積分方程，解出 和 的計算式； (4) 根據(jù)求得的速度分布和溫度分布計算固體邊界上的,5-4 邊界層積分方程組及其求解,一.用邊界層積分方程求解對流換熱問題的基本思想,30,材料課件,課后作業(yè),常物性、不可壓縮流體沿平壁穩(wěn)定流動邊界層動量積分方程的推導(dǎo)。 常物性、不可壓縮流體沿平壁穩(wěn)定流動邊界層能量積分方程的推導(dǎo),31,材料課件,二、邊界層動量積分方程,邊界層動量積分方程是把動量定律應(yīng)用于一個控制容積導(dǎo)出的。取常物性、不可壓縮流體的二維穩(wěn)態(tài)強制對流為對象

12、作分析,u w,在流體中劃出如圖的控制容積，包括dx一段邊界層，而z方向為單位長度。控制容積左側(cè)面為ab，右側(cè)面為cd，頂面為bd，底面為壁面的ac部分，即取 ac為dx,32,材料課件,u u w,由于在邊界層內(nèi)y方向上的流速很小，因此推導(dǎo)中只考慮x方向上的動量變化，不引入流速v,圖中給出了速度的分布曲線。 在距壁面y處流速為u，在y處u=u,先計算單位時間內(nèi)出入控制容積的動量之差。為此計算以下各項,1）穿過控制面ab進入控制容積的動量為,33,材料課件,u u w,而同時穿過cd面流出的動量為,凈流出的動量為,2）沒有流體穿過固體表面ac。但有流體質(zhì)點穿過bd面。根據(jù)質(zhì)量守恒，穿過bd面流

13、入控制容積的質(zhì)量流量等于流出cd面與流入ab面的質(zhì)量流量之差,流入ab面的質(zhì)量流量為,流出cd面的質(zhì)量流量,于是穿過bd面流入控制容積的質(zhì)量流量為,34,材料課件,u u w,相應(yīng)帶入控制體的動量（略去u沿x變化引入的高階導(dǎo)數(shù)項）為,根據(jù)動量定律，在x方向上的動量變化必須等于x方向上作用在控制體表面上外力的代數(shù)和,作用在控制體表面上x方向上的外力，有作用于ac面上的切應(yīng)力wdx以及ab和cd兩面壓力之差,35,材料課件,u u w,于是動量定律可表達為,由于存在以下關(guān)系,于是式(c)可改寫成為,重新組合可得,36,材料課件,由伯努利方程知 ,而,代入(e)式，得,根據(jù)邊界層理論，在邊界層外的主

14、流區(qū)u-u=0。改寫上式積分上限得,這就是卡門在1921年導(dǎo)出的邊界層動量積分方程。由積分方程求出的分析解稱為近似解，以區(qū)別于微分方程的精確解,37,材料課件,二、邊界層能量積分方程,u t,把能量守恒定律應(yīng)用于控制容積可推導(dǎo)出邊界層能量積分方程,x方向上為dx，y方向上大于流動邊界層即熱邊界層厚度，而z方向上為單位長度的一個控制容積如圖所示,在常物性、流速不致引起耗散熱的條件下，考察控制容積的能量守恒。在邊界層數(shù)量級分析中已經(jīng)得出結(jié)論,結(jié)論：推導(dǎo)中僅考慮y方向上的導(dǎo)熱,38,材料課件,u t,1）單位時間內(nèi)穿過ab面進入控制容積的熱量為,單位時間內(nèi)穿過cd面帶出控制容積的熱量為,2）單位時間

15、內(nèi)穿過bd面進入控制容積的質(zhì)量流量為,由它帶入控制容積的熱量為,39,材料課件,u t,3）穿過ac面，因貼壁流體層導(dǎo)熱帶出控制容積的熱量為,在穩(wěn)態(tài)條件下，根據(jù)能量守恒進入與帶出控制容積的熱量相等，于是可得,整理后得,40,材料課件,因為在熱邊界層以外t-t=0，上式積分上限可改為t，得,三、邊界層積分方程組求解示例,作為邊界層積分方程組求解的示例，仍以穩(wěn)態(tài)常物性流體強制掠過平板層流時的換熱作為討論對象。壁面具有定壁溫的邊界條件。在常物性條件下，動量積分方程不受溫度場的影響，可先單獨求解，解出層流邊界層厚度及摩擦系數(shù)，然后求解能量積分方程，解出熱邊界層厚度及換熱系數(shù),41,材料課件,1. 求解

16、流動邊界層厚度及摩擦系數(shù),為求解上式，還需補充邊界層速度分布函數(shù)u=f(y)。選用以下有4個任意常數(shù)的多項式作為速度分布的表達式: u=a+by+cy2+dy3,42,材料課件,式中，4個待定常數(shù)由邊界條件及邊界層特性的推論確定，即,y=0時 u=0 且,y=時u=u 且,由此求得4個待定常數(shù)為,于是速度分布表達式為,43,材料課件,以 ，并按x=0時，=0，將式(6)分離變量，并積分得,將式(4)對y求導(dǎo)，得壁面(y=0)速度梯度,將式(4)和(5)分別代入式(3),積分得,44,材料課件,無量綱表達式為,其中Rex= ux/,其特性尺度為離平板前緣的距離x,在x處的壁面局部切應(yīng)力,45,材

17、料課件,在工程計算中常使用局部切應(yīng)力與流體動壓頭之比，稱為摩擦系數(shù)，亦稱范寧摩擦系數(shù)，其表達式為,2. 求解熱邊界層厚度及換熱系數(shù),先求解熱邊界層厚度。為從式（2）求解熱邊界層厚度，除u=f(y)已由式（4）確定外，還需要補充熱邊界層內(nèi)的溫度分布函數(shù)t=f(y)。對此，亦選用帶4個常數(shù)的多項式,t=e+fy+gy2+hy3,46,材料課件,式中，4個待定常數(shù)由邊界條件及熱邊界層特性的推論確定，即,y=0時 t=tw且,y=時 t= t且,由此求得4個待定常數(shù)為,e=tw g=0,若用以tw為基準點的過余溫度=t-tw來表達，則溫度分布表達式為,47,材料課件,能量積分方程式（2）用過余溫度表示為,進一步求解中，令熱邊界層厚度與流動邊界層厚度之比t/=，并假定1的流體顯然是適用的,最后得到,48,材料課件,其次求解局部換熱系數(shù)x,其無量綱表達形式為,最后求解平均換熱系數(shù)h,計算物性參數(shù)用的定性溫度為邊界層平均溫度,49,材料課件,四、邊界層積分方程組與微分方程組,1. 積分方程的推導(dǎo)與微分方程推導(dǎo)的異同,差別：微分方程是對微元控制容積dxdydz推導(dǎo)的，要求微元體范圍內(nèi)每個流體質(zhì)點都滿足守恒關(guān)系，且對兩個方向上的參量均考慮；而積