對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈的幾何解釋及應用

1、.對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈的幾何解釋及應用中學數(shù)學教育專家安振平先生在剖析2014年陜西高考數(shù)學試題時指出，其壓軸題的理論背景是：設則，其中被稱之為對數(shù)平均數(shù).童永奇老師構造函數(shù)，借助于導數(shù)證明了對數(shù)平均數(shù)的上述不等式，難度較大，為此，我作了深入地探討，給出對數(shù)平均數(shù)的不等關系的幾何解釋，形象直觀，易于理解.1 對數(shù)平均數(shù)的不等關系的幾何解釋反比例函數(shù)的圖象，如圖所示，軸， ,作在點處的切線分別與交于，根據(jù)左圖可知，因為，所以 又，根據(jù)右圖可知， ，所以， 另外，可得： 綜上，結合重要不等式可知：，即. 2 不等式鏈的應用對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈，提供了多種巧妙放縮的途徑，可以用來證明含自然對數(shù)的不等

2、式問題對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈包含多個不等式，我們可以根據(jù)證題需要合理選取其中一個達到不等式證明的目的2.1 的應用例1 （2014年陜西）設函數(shù)，其中是的導函數(shù)（1）（2）（略）（3）設，比較與的大小，并加以證明解析 （3）因為，所以，而，因此，比較與的大小，即只需比較與的大小即可根據(jù)時， ，即令則所以，將以上各不等式左右兩邊相加得：，故.評注 本題是高考試題的壓軸題，難度較大，為了降低試題的難度采取多步設問，層層遞進，上問結論，用于下問，其第二問是為第三問做鋪墊的“梯子”，盡管如此，步驟依然繁瑣，求解過程復雜，但我們這里應用對數(shù)平均數(shù)不等式鏈來證明，思路簡捷，別具新意，易于學生理解、掌握當時，

3、即令則可得：.例2 （2012年天津）已知函數(shù)的最小值為0（1）（2）（略）（3）證明：解析 （3）易求，待證不等式等價于根據(jù)時， ，即令則 將以上各不等式左右兩邊分別相加得：，.得證.2.2 的應用例3 設數(shù)列的通項，其前項的和為，證明：解析 根據(jù)時，即，令則，易證2.3 的應用例4 設數(shù)列的通項，證明：解析 根據(jù)時，即，令則，易證2.4 的應用例5 （2010年湖北）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（1）用表示出；（2）（略）（3）證明：解析 （1）；（3）當時，即， 令則所以，將以上各不等式左右兩邊分別相加得：即故例6 （2013年新課標）已知函數(shù)（1）若時, 求的最小值；（2）設數(shù)列的

4、通項，證明：解析 （1）易得令則若，則當時，是增函數(shù)，不符合題意；若，則當時，是增函數(shù)，不符合題意；若，則當時，是減函數(shù)，符合題意；綜上，的最小值是（2) 當時，即，令則所以將以上各不等式左右兩邊分別相加得：即故評注 本題提供標準答案是借助于第一問的的最小值時，加以賦值，并進行變形，令，有，亦即達到放縮的目的.兩者相比較，自然是運用對數(shù)平均值的不等式鏈的方法簡捷.2.5 的應用例7 （2014福建預賽）已知（1）（略）（2）求證：對一切正整數(shù)均成立 解析 （2）根據(jù)時， ，即令則變形可得：則將以上各不等式左右兩邊相加得：對一切正整數(shù)均成立評注 本題提供標準答案是借助于第一問的的最小值時，,即，結合待證不等式的特征，令，得，整理得：，即,借此作為放縮的途徑達到證明的目的你能注意到兩種方法的區(qū)別嗎？對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈的運用是近幾年數(shù)學競賽、名校模擬數(shù)學試題、高考數(shù)學真題的理論背景，正如羅增儒教授指出：通過有限的典型考題的學習去領悟那種解無限道題的數(shù)學機智.這里的領悟解題的數(shù)學機智從某種意義上說就是對問題本