整除的性質(zhì)和特征

1、整除的性質(zhì)和特征整除問題是整數(shù)內(nèi)容最基本的問題。理解掌握整除的概念、性質(zhì)及某些特殊數(shù)的整除特征，可以簡單快捷地解決許多整除問題，增強孩子的數(shù)感。一、整除的概念：如果整數(shù)a除以非0整數(shù)b，除得的商正好是整數(shù)而且余數(shù)是零，我們就說a能被b整除（或b能整除a），記作b/a，讀作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的約數(shù)（或因數(shù)）。整除屬于除盡的一種特殊情況。二、整除的五條基本性質(zhì)：（1）如果a與b都能被c整除，則a+b與a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整數(shù)，則積ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，則積a也能被c整除；（4）如果a能同時被b、

2、c整除，且b與c互質(zhì)，那么a一定能被積bc整除，反之也成立；（5）任意整數(shù)都能被1整除，即1是任意整數(shù)的約數(shù)；0能被任意非0整數(shù)整除，即0是任意非0整數(shù)的倍數(shù)。三、一些特殊數(shù)的整除特征：根據(jù)整除的基本性質(zhì)，可以推導出某些特殊數(shù)的整除特征，為解決整除問題帶來方便。（1）如果一個數(shù)是整十數(shù)、整百數(shù)、整千數(shù)、的因數(shù)，可以通過被除數(shù)末尾幾位數(shù)字確定這個數(shù)的整除特征。若一個整數(shù)的個位數(shù)字是2的倍數(shù)（0、2、4、6或8）或5的倍數(shù)（0、5），則這個數(shù)能被2或5整除；若一個整數(shù)的十位和個位數(shù)字組成的兩位數(shù)是4或25的倍數(shù)，則這個數(shù)能被4或25整除；若一個整數(shù)的百位、十位和個位數(shù)字組成的三位數(shù)是8或125的倍

3、數(shù)，則這個數(shù)能被8或125整除。【推理過程】：2、5都是10的因數(shù)，根據(jù)整除的基本性質(zhì)（2），可知所有整十數(shù)都能被10、2、5整除。任意一個整數(shù)都可以看作一個整十數(shù)和它的個位數(shù)的和，如果一個數(shù)的個位數(shù)字也能被2或5整除，根據(jù)整除的基本性質(zhì)（1），則這個數(shù)能被2或5整除。又因為4、25都是100的因數(shù)，8、125都是1000的因數(shù)，根據(jù)整除的基本性質(zhì)（2），可知任意整百數(shù)都能被4、25整除，任意整千數(shù)都能被8、125整除。同時，任意一個多位數(shù)都可以看作一個整百數(shù)和它末兩位數(shù)的和或一個整千數(shù)和它的末三位數(shù)的和，根據(jù)整除的基本性質(zhì)（1），可以推導出上面第條、第條整除特征。同理可證，若一個數(shù)的末四位數(shù)

4、能被16或625整除，則這個數(shù)能被16或625整除，依此類推。（2）若一個整數(shù)各位上數(shù)字和能被3或9整除，則這個數(shù)能被3或9整除?！就评磉^程】：因為10、100、1000除以9都余1，所以幾十、幾百、幾千除以9就余幾。因此，對于任意整數(shù)ABCDE(_)都可以寫成下面的形式（n為任意整數(shù)）：9n（ABCDE）9n一定能被3或9整除，根據(jù)整除的基本性質(zhì)（1），只要這個數(shù)各位上的數(shù)字和（ABCDE）能被3或9整除，這個數(shù)就能被3或9整除。（3）用“截尾法”判斷整除性。截尾減2法：若一個整數(shù)截去個位數(shù)字后，再從所得的數(shù)中，減去個位數(shù)字的2倍，差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除；截尾減1法：若一個整數(shù)截去個

5、位數(shù)字后，再從所得的數(shù)中，減去個位數(shù)字的1倍，差是11的倍數(shù)，則原數(shù)能被11整除；截尾加4法：若一個整數(shù)截去個位數(shù)字后，再從所得的數(shù)中，加上個位數(shù)字的4倍，差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除；截尾減5法：若一個整數(shù)截去個位數(shù)字后，再從所得的數(shù)中，減去個位數(shù)字的5倍，差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除；截尾加2法：若一個整數(shù)截去個位數(shù)字后，再從所得的數(shù)中，加上個位數(shù)字的2倍，差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。根據(jù)整除的基本性質(zhì)（3），以上5條整除特征中，如果差太大，可以繼續(xù)前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相減”的過程，直到能直接判斷為止?！就评磉^程】：設任意一個整數(shù)的個位數(shù)字為y，這個數(shù)可以

6、表示成10xy的形式，其中x為任意整數(shù)。一個數(shù)截尾減2后，所得數(shù)為（x2y）。因為截去這個數(shù)的個位數(shù)字后，所得數(shù)x減去個位數(shù)字y的2倍，實際上是在原數(shù)的十位數(shù)字上減去2個y，即減去了20個y，截尾一個y，總共減去了21個y，剩下了（x2y）個10。如下式：10x20yyy（x2y）10（10xy）21y。根據(jù)整除的基本性質(zhì)，如果（x2y）能被7整除，則（x2y）10就能被7整除，即（10xy）21y能被7整除，21y是7的倍數(shù)，可以推出原數(shù)（10xy）一定能被7整除。“截尾加4”就是原數(shù)截去1個y、加上40個y，總共加了39y（13的倍數(shù)），得到（x4y）個10，“截尾加4”所得（x4y）如果

7、能被13整除，原數(shù)必能被13整除。同理，“截尾減1”就是原數(shù)減去了11個y（11的倍數(shù)），原數(shù)剩下（xy）個10，“截尾減1”所得（xy）能被11整除，原數(shù)必能被11整除；“截尾減5”就是原數(shù)減去了51個y（17的倍數(shù)），原數(shù)剩下（x5y）個10，“截尾減5”所得（x5y）能被17整除，原數(shù)必能被17整除；“截尾加2”就是原數(shù)加了19y（19的倍數(shù)），得到（x2y）個10，“截尾加2” 所得（x2y）如果能被19整除，原數(shù)必能被19整除。依此類推，可以用“截尾加3”判斷一個數(shù)能否被29整除，用“截尾減4”判斷一個數(shù)能否被41整除等等。（4） “截尾法”的推廣使用。若一個數(shù)的末三位數(shù)與末三位之前

8、的數(shù)字組成的數(shù)相減之差（大數(shù)減小數(shù)）能被7、11或13整除，則這個數(shù)一定能被7、11或13整除；若一個整數(shù)的末四位與之前數(shù)字組成數(shù)的5倍相減之差能被23或29整除，則這個數(shù)能被23或29整除。（比較適合對五位數(shù)進行判斷）【推理過程】：設任意一個整數(shù)的末三位數(shù)為y，則這個數(shù)可以表示成1000xy的形式，其中x為任意整數(shù)。當x大于y時，這個數(shù)末三位之前的數(shù)字組成的數(shù)減去末三位數(shù)得到（xy）。這里x減y實際上是在原數(shù)的千位上減去y，即減去了1000y，加上截去末三位數(shù)y，總共減去了1001y，原數(shù)剩下（xy）個1000。如下式：1000x1000yyy1000（xy）（1000xy）1001y711

9、131001，7、11和13都是1001的因數(shù)。綜上所述，如果這個數(shù)末三位之前的數(shù)字組成的數(shù)減去末三位數(shù)得到（xy）能被7、11或13整除，即（1000xy）1001y能被7、11或13整除，則原數(shù)必能被7、11或13整除。當y大于x時，可得1000（yx）1001y（1000xy），如果（yx）能被7、11或13整除，則原數(shù)必能被7、11或13整除。設任意一個整數(shù)的末四位數(shù)為y，則這個數(shù)可以表示成10000xy的形式，其中x為任意整數(shù)。末四位與之前數(shù)字組成數(shù)的5倍相減之差即（y5x）。10000（y5x）1005y5（10000xy）因為1005是23和29的公倍數(shù)，如果一個數(shù)末四位與之前數(shù)字組成數(shù)的5倍相減之差即（y5x）能被23或29整除，即10000（y5x）能被23或29整除，則原數(shù)必能被23或29整除。依此類推，如果一個數(shù)末兩位數(shù)與之前數(shù)字相減之差能被101整除，則這個數(shù)必能被101整除等等。（5）若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被11整除?！就评磉^程】：一個整數(shù)偶數(shù)位上每個計數(shù)單位除以11都余1，如1、100、10000等，除以11都余1，因此每個偶數(shù)位上數(shù)字是幾，它所表示的數(shù)值除以11就余幾，所有偶數(shù)位上數(shù)字之和除以11余幾，所有偶數(shù)位數(shù)字所表示的數(shù)值除以11就余幾。一個整數(shù)奇數(shù)位上每個計數(shù)單位除以11