分式的運(yùn)算及題型講解

1、分式的運(yùn)算及題型講解 17.2分式的運(yùn)算一、分式的乘除法1法則:（1）乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母 的積作為積的分母。（意思就是，分式相乘，分子與分子相乘，分母 與分母相乘）。a c ac用式子表示：b，d bd（2）除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置 后，再與被除式相乘。a . ca dad = =用式子表示:b db cbc2、應(yīng)用法則時(shí)要注意：（1）分式中的符號(hào)法則與有理數(shù)乘除法 中的符號(hào)法則相同，即“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，多個(gè)負(fù)號(hào)出現(xiàn)看個(gè)數(shù), 奇負(fù)偶正” ；（2）當(dāng)分子分母是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行因式分解，以便 約分；（3）分式乘除法的結(jié)果要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)的

2、形式。二、分式的乘方1法則：根據(jù)乘方的意義和分式乘法法則，分式的乘方就是把 將分子、分母分別乘方，然后再相除。/-nna a 1 =用式子表示:lb丿bn （其中n為正整數(shù)，aM 0）2、注意事項(xiàng)：（1）乘方時(shí)，一定要把分式加上括號(hào)；（2）在一個(gè)算式中同時(shí)含有乘方、乘法、除法時(shí)，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先因式分解，再約分；（3）最后結(jié)果要化到最簡(jiǎn)三、分式的加減法（一）同分母分式的加減法1法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減用式子表示:2、注意事項(xiàng)：（1） “分子相加減”是所有的“分子的整體”相加 減，各個(gè)分子都應(yīng)有括號(hào)；當(dāng)分子是單項(xiàng)式時(shí)括號(hào)可以省略， 但分母 是多項(xiàng)式時(shí)，括

3、號(hào)不能省略；（2）分式加減運(yùn)算的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn) 分式或整式。（二）異分母分式的加減法1、法則：異分母分式相加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式后，a c ad bc ad - bc土 =土 再加減。用式子表示：b d bd bd bd 。2、注意事項(xiàng)：（1）在異分母分式加減法中，要先通分，這是關(guān)鍵，把異分母分式的加減法變成同分母分式的加減法。（2）若分式加減運(yùn)算中含有整式，應(yīng)視其分母為 1然后進(jìn)行通分。（3）當(dāng)分子的 次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)時(shí)，應(yīng)將其分離為整式與真分式之和的形 式參與運(yùn)算，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。四、分式的混合運(yùn)算1、運(yùn)算規(guī)則：分式的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算，先乘方， 再乘除，最后算加

4、減。遇到括號(hào)時(shí)，要先算括號(hào)里面的。2、注意事項(xiàng)：（1）分式的混合運(yùn)算關(guān)鍵是弄清運(yùn)算順序；（2）有理數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算規(guī)律對(duì)分式運(yùn)算同樣適用，要靈活運(yùn)用交換 律、結(jié)合律和分配律；（3）分式運(yùn)算結(jié)果必須化到最簡(jiǎn)，能約分的要 約分，保證運(yùn)算結(jié)果是最簡(jiǎn)分式或整式。(2)X2例計(jì)算：（1）TO2 士a +2a 2(3)i 2一二x x-2x -2x【分類解析】一、分式運(yùn)算的幾種技巧1、先約分后通分技巧例計(jì)算x +蛋分析：不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)分式均能約分，故先約分后再計(jì)算解:原式=X 1(x 1)(x 2)x(x-2)(x-2)(x 2) = x 2x+ T22、分離整數(shù)技巧例計(jì)算x2 -3x 3x2 -3x

5、2x2 -5x 7x2 -5x 61x2-4x 3分析：兩個(gè)分式的分子、分母不能約分，如把分子突出分母，分離整數(shù)方法可使計(jì)算化簡(jiǎn)。解:原式=2(x -3x 2) 1x2-3x 22(x -5x 6) 1x2 -5x 61x2-4x 31 1 1= 1 + x2 -3x 2 -1- x2-5x 6- x2-4x 31 1(x1)(x2) - (x 2)(x3)-1 (x-1)(x-3)x-3_(x_1)_(x_2)- x=(x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x-2)(x-3) =- (xT)(x-2)(x-3)1233、裂項(xiàng)相消技巧例計(jì)算 x(x+1) + (x+1)(x+3) +

6、(x+3)(x+6)分析：此類題可利用1 _丄 n(n m) = m(n - m )裂項(xiàng)相消計(jì)算解:原式=（2 -的）+2 （靑131x 3 ) +3 ( x 3 - x 6 )1 6x 6 = x( x 6)x2 +3x+6 _ x2 + 5x+2練習(xí)：.一一一 .4、分組計(jì)算技巧例 計(jì)算土 +無-右-壯 分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)原式中第一、四項(xiàng)分母乘積 為a2-4，第二項(xiàng)、第三項(xiàng)分母乘積為a2-1，采取 分組計(jì)算簡(jiǎn)捷。解：原式=（花-壯）+（詐-呂）4-412=a2-4 + a2 -1 = （a2 -4）（a2 -1）1111練習(xí)：+ 7? + x+ 2X+1 F+3x+2 F +5、分式求值問

7、題全解1) 字母代入法例 1.b=a+1,c=a+2,d=a+3, 求九丘十詵的值【解析】仔細(xì)觀察已知條件，雖然出現(xiàn)的字母很多，但都可以用一個(gè)字母代替:a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一個(gè)字母代替其它字母來實(shí)現(xiàn)代 數(shù)式的化簡(jiǎn)b cLa d a b c b c d a d= 2 a a 3 a a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a a 3=a a 1 a 2 a 32a 3 3a 3 3a 6 2a 3=a a 3 a 1 a 2=2a 33(a 1)3(a 2)=1 1 13353【探討】 當(dāng)已知條件中不同的字母都可以用 一個(gè)字母表示時(shí)，第一個(gè)要想到的方法就是字母 帶

8、入法，因?yàn)樽詈蟮慕Y(jié)果一定是由有理數(shù)或者某 個(gè)字母表示，所以用這種方法能不能得到正確結(jié) 果就在于自己的分式化簡(jiǎn)能力了。2) 設(shè)值代入法例2.已知=-ya b二，求證:cxy yz zx ab bc ca2 x2 a【解析】這道題也可以用字母代入法，可以得y=bx, z = x代入后分式的分子分母中有分式， aa化簡(jiǎn)麻煩。我們用一種新的代入方式，考慮到上ay、z連等，讓它們都等于k貝V x=ak y=bkb cz=ck代入得xy yz zx = akbk bkck ckakab bc caab bc caab be ca 2 =kab bc ca2 =k2 二a【探討】當(dāng)遇到連等式，可以采用以下三

9、種方式來運(yùn)用這個(gè)條件則(1) y = ax, z = cx(2) 設(shè)-= k 貝y x=ak y=bk z=cka b c(3) 設(shè)-y=Z=k則十二k其中a b0a b ca十b十c3）整式代入法例3.已知：丄-丄弋，求分式竺仝口的值.a baab b【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本 來就比較復(fù)雜，會(huì)增加我們化簡(jiǎn)的負(fù)擔(dān)。將條件化簡(jiǎn)成乘積形式，得呼=3，再將分式ab稍化簡(jiǎn)變?yōu)?(a-b) 3ab，可以發(fā)現(xiàn)分子分母中只有(a _b) _ab(a-b)和ab這兩項(xiàng)，所以可以用ab代替b-ab -a = 3ab2a 3ab -2b _ 2(a -b) 3ab _ - 6ab 3ab _ 3a

10、-ab-b(a-b)-ab -3ab-ab 4【探討】用整式代入法，能夠很大程度地化簡(jiǎn) 代數(shù)式，比字母代入法更優(yōu)越，但要善于觀察代 數(shù)式的組成部分，比如這題，代數(shù)式就含有ab和a-b這兩項(xiàng)，剛好條件也適當(dāng)變形能得到a-b與ab的關(guān)系，題目很快就解出來了。4) 變形代入法這類題是用代入法最需要技巧的，我們分以 下五類題型來分析怎么變形再代入。例 4(方程變形).已知 a+b+c=O,a+2b+3c=0, 且abc工0,求也戶的值.【解析】對(duì)已知條件作形變往往要比對(duì)代數(shù) 式做形變簡(jiǎn)單得多，因?yàn)榇鷶?shù)式比條件復(fù)雜，而 且給代數(shù)式做形變漫無目的，往往得不到想要的結(jié)果這道題已知條件是兩個(gè)等式，三個(gè)字母，所

11、 以我們可以用一個(gè)字母表示其它字母，對(duì)已知條 件變形得到方程組:a+b+c=0b=-2cJi =a+2b+3c=0a=c用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出 來ab bc ca -2c2 -2c2 c2 _ 3b2=4c2- 4例5 (非負(fù)變形).已知：a2 b2-8a 6b 25 = 0，求2a2 -ab -6b2a2 -4ab 4b2的值.【解析】觀察已知條件，有平方項(xiàng)，所以可以 化成平方的形式2 2 2 2a b -8a 6b 25 =(a-4) (b 3) =0其中(a- 4)2乏0(b+3)2 乏 0 所以(a-4)2=0 (b + 3)2 =0得 a =4,b = -3再帶入原

12、式很容易求出解。例6 (對(duì)應(yīng)變形).證明：若 a+b+c=0,則11+1 2 2 2 2 2 2 2 2 2b c -a c a b a b c【解析】這題可以用整式代入法，比如用 -b-c代替a,但是代數(shù)式a的符號(hào)和位置在三個(gè)分式 中不同，如果用a2=（b，c）2代入得到的分母截然不 同，增大化簡(jiǎn)的難度。如果將代數(shù)式三個(gè)分式的分母化成相同的形式，反而化簡(jiǎn)方便，比如：用a=-b-c代入b2 ca2中的a，得到-2bc用b=-a-c代入+a -b中的b，得到-2ac用c=-a-b代入a2+b2-c2中的c，得到-2ab原式=二 1=艷 = 0-2bc -2ac -2ab -2abc例7 （倒數(shù)變

13、形）.已知旦=玄,旦上“，且abc求證x = 2abcx+yx + zy+zbc + acab【解析】已知條件是 旦的形式，不能化簡(jiǎn), x十y如果顛倒分子分母，將xyx y改寫成=3丄的形式，使得x、y相互獨(dú)立，簡(jiǎn)化 xy x y已知條件寫出變化后的形式1 1 1=r 1 1 1=十-1 =(-)(-丄)-2 c y z x y x z x1 1 2十a(chǎn) b x2 丄 1 1x a b c=be ac - ababc則x = b，得證。例8 （歸類變形）.已知a -；=b -e 1，且a、b、C互不相等，求 b c al證:a2b2c2 = 1【解析】已知條件有三個(gè)字母，兩個(gè)方程，若 用a表示

14、b、c,能不能求出b、c的代數(shù)式都是 問題。因此我們變形不要太過著急，如果從消元 化簡(jiǎn)的方式不能變形，就考慮從結(jié)構(gòu)化簡(jiǎn)的方式 來變形。這道題條件的形式不復(fù)雜，分為整式和分式， 將整式歸類，分式歸類：a_b丄口，可以發(fā)現(xiàn)分式形式大致消失了, c b bc剩下的是加減形式(a-b)、(b-c)和乘積形式bc 將能從已知條件得到的關(guān)系列出來, bc , caabab, b _c,ca 二beacab左邊和左邊相乘，右邊和右邊相乘得(a -b)(b -c)(c - a)=(b -c)(c -a)(a -b)所以 a2b2c2 =1【結(jié)論】給已知條件變形是用代入法的前提， 變形的目的是化簡(jiǎn)已知條件，可以從兩個(gè)角度上 來化簡(jiǎn)：S消元的角度：方程變形、非負(fù)變形減少字母數(shù)量，方便化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)的角度：對(duì)應(yīng)、倒數(shù)、歸類變形 -調(diào)整關(guān)系式結(jié)構(gòu)，方便化簡(jiǎn)代入的方法多種多樣，在此不可能列舉出 來，對(duì)大部分題目，觀察代數(shù)式，對(duì)已知條件適 當(dāng)變形再代入是最適用的方法，當(dāng)然也有例外， 比如習(xí)題4,代數(shù)式并不是最簡(jiǎn)形式，可以先化 簡(jiǎn)代數(shù)式再代用條件，事辦功倍?！揪毩?xí)】1、已