22量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

1、第二十二章,量子力學(xué)基礎(chǔ)知識,22,1,波粒二象性,思想方法,自然界在許多方,面都是明顯地對稱的，他采用類,比的方法提出物質(zhì)波的假設(shè),整個世紀(jì)以來，在輻射理論上，比起波動的研,究方法來，是過于忽略了粒子的研究方法,在實物,理論上，是否發(fā)生了相反的錯誤呢,是不是我們關(guān),于粒子的圖象想得太多,而過分地忽略了波的,圖象呢,法國物理學(xué)家德布羅意,Louis,Victor de Broglie 1892,1987,一,德布羅意假設(shè),德布羅意假設(shè)：實物粒子具有波粒二象性,h,E,h,p,h,mc,h,E,2,h,h,p,m,v,德布羅意公式,2,宏觀物體的德布羅意波長小到實驗難以測,量的程度，因此宏觀物體

2、僅表現(xiàn)出粒子性,注,意,0,m,m,c,v,1,若,則,若,則,c,v,0,m,m,經(jīng)電壓為,U,的電場加速后，動能為,eU,E,k,0,2,2,0,2,2,2,2,E,E,E,E,E,p,c,k,k,c,E,E,E,p,k,k,2,0,2,2,2,2,0,2,2,2,c,eUm,U,e,hc,E,E,E,hc,p,h,e,k,k,得到動量,根據(jù)相對論的動量與能量的關(guān)系,電子的德布羅意波長,若電子加速后速度遠(yuǎn)小于光速，則,e,k,m,p,eU,E,2,2,nm,U,eUm,h,p,h,e,225,1,2,設(shè),U,150,V,則有,0.1,nm,這和,X,射線波長接近，能在晶體上發(fā)生強烈的衍射效

3、應(yīng),例,1,在一束電子中，電子的動能為,求,此電子的德布羅意波長,eV,200,解,2,0,k,2,1,v,v,m,E,c,0,k,2,m,E,v,1,6,1,31,19,s,m,10,4,8,s,m,10,1,9,10,6,1,200,2,v,nm,10,67,8,2,nm,10,4,8,10,1,9,10,63,6,6,31,34,0,v,m,h,c,v,此波長的數(shù)量級與,X,射線波長的數(shù)量級相當(dāng),例,2,如飛行的子彈,m,10,2,Kg,速度,v,5.0,10,2,m/s,求對應(yīng)的德布羅意波長,h,p,太小測不到,h,mv,25,1.3,10,2,k,h,nm,mE,由于電子波長比可見光

4、波長小,10,3,10,5,數(shù)量級,從而可大大提高電子顯微鏡的分辨率,我國已制成,80,萬倍的電子顯微鏡，分辨率為,0.14nm,能分辨大個分子，有著廣泛的應(yīng)用前景,這是一張果蠅,的照片，是用電子,顯微鏡拍攝的。電,子顯微鏡的最基本,原理是利用電子的,波動性,二,物質(zhì)波的實驗驗證,戴維孫,革末電子衍射實驗,nm,U,225,1,k,d,sin,2,3,2,1,sin,2,225,1,k,d,k,U,實驗原理,K,D,U,M,鎳單晶,B,G,湯姆遜電子衍射實驗,約恩遜,1961,單縫衍射,雙縫衍射,三縫衍射,四縫衍射,多晶,鋁,箔,三,物質(zhì)波的統(tǒng)計詮釋,概率波,經(jīng)典,粒子,不被分割的整體，有確定

5、位置和運,動軌道,經(jīng)典,的波,某種實際的物理量的空間分,布作周期性的變化，波具有相干疊加性,二象性,要求將波和粒子兩種對立的屬性統(tǒng)一到同一物體上,1926,年玻恩提出,德布羅意波是,概率,波,統(tǒng)計解釋,在某處德布羅意波的強度是與粒子在,該處鄰近出現(xiàn)的概率成正比的,概率概念的哲學(xué)意義,在已知給定條件下，不,可能精確地預(yù)知結(jié)果，只能預(yù)言某些可能的結(jié)果的,概率,22,2,波函數(shù),波函數(shù),量子力學(xué)中用以描述粒子運動狀,態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式,r,t,r,單色平面波,0,2,cos(2,x,t,t,x,復(fù)數(shù)形式,2,2,2,0,0,x,i,x,t,i,t,x,t,e,e,一個沿,x,方向作勻速直線運動的自由粒子

6、,能量為,E,動量為,p,x,具有波粒二象性,由德布羅意關(guān)系式,x,h,p,E,h,代入上式,2,0,0,x,x,i,p,x,Et,i,p,x,Et,h,x,t,e,e,h,三維）自由粒子波函數(shù),0,i,p,r,Et,r,t,e,v,v,h,v,ip,r,Ce,v,v,h,N=7,N=100,N=3000,N=20000,電子數(shù),N=70000,單個粒子,在哪一處出現(xiàn)是,偶然事件,大量粒子,的分布有確定的,統(tǒng)計規(guī)律,出現(xiàn)概率小,出現(xiàn)概率大,電,子,雙,縫,干,涉,圖,樣,某一時刻出現(xiàn)在某點附近在體積元,中的粒子,的,概率為,V,d,2,d,d,d,V,V,1,d,2,V,歸一化條件,束縛態(tài),某

7、一時刻在整個空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的,概率為,波函數(shù)的統(tǒng)計意義,2,概率密度,表示在某處,單位,體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的,概率,正實數(shù),結(jié)論,d,d,dP,2,粒子在體積元,d,內(nèi)出現(xiàn)的概率,2,d,dP,P,粒子在單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率,波函數(shù)的性質(zhì),1,單值,2,連續(xù),3,有限,4,歸一,例,2-4,已知一微觀粒子在一維空間運動，其波函數(shù)數(shù),exp,2,1,exp,2,2,t,i,x,C,t,x,其中,為已知常數(shù),C,為待定常數(shù),C,均為,實數(shù)）。求,1,C,2,粒子在,0,1,之間出現(xiàn)的概率,3,粒子位置坐標(biāo),x,的平均值,4,2,x,的平均值,解：,1,1,exp,exp,2,2,1,0,2,2,2,2

8、,2,2,2,C,dt,t,t,C,dx,x,C,dx,t,x,令,C,4,1,2,1,2,9,32,329,0,exp,2,1,exp,2,1,1,0,1,0,2,2,2,1,0,2,2,dt,t,t,dx,x,dx,P,t,x,令,3,0,ex,p,2,2,2,dx,x,x,xdx,x,4,2,2,1,0,2,2,2,2,2,2,2,2,1,exp,1,exp,2,2,dt,t,t,dx,x,x,dx,x,x,t,x,令,22,3,不確定關(guān)系,一、不確定關(guān)系的表述和含義,2,2,x,P,x,t,E,h,h,第,1,個式子說明,粒子在客觀上不能,同時具有確定的坐,標(biāo)位置,和相應(yīng)的動,量,海森

9、堡,Heisenberg,在,1927,年提出微觀粒子運動的基,本規(guī)律，包含多種表達(dá)式，其中兩個是,第,2,個式子說明,粒子在客觀上不能,同時在確定的時間,具有相應(yīng)確定的能,量,1901-1976,創(chuàng)立量子力學(xué),獲得,1932,年諾貝爾物理學(xué)獎,嚴(yán)格的理論給出的,不確定性關(guān)系,為,它的物理意義是，微觀粒子不可能同時具有確定的位置和動,量。粒子位置的不確定量,越小，動量的不確定量,就越大，反之亦然。因此不可能用某一時刻的位置和動量描,述其運動狀態(tài)。軌道的概念已失去意義，經(jīng)典力學(xué)規(guī)律也不,再適用,x,x,首先由海森堡給出,1927,海森堡不確定性關(guān)系,海森堡測不準(zhǔn)關(guān)系,2,2,2,z,y,x,p,

10、z,p,y,p,x,微觀粒子的“波粒二象,性的具體體現(xiàn),電子可在縫寬,范圍的任意一點通過狹縫，電子坐標(biāo)不,確定量就是縫寬,電子在,x,方向的動量不確定量,x,x,若考慮次級衍射,只考慮一級衍射,h,P,x,x,一般有,sin,p,p,x,sin,sin,x,d,h,p,x,h,x,p,p,x,h,p,x,x,x,入射電子束,狹縫,照相底版,h,p,x,x,P,P,x,例,1,原子的線度約為,10,10,m,求原子中電子速度的,不確定量,x,x,p,m,v,5,5.8,10,m,s,電子速度的不確定量為,氫原子中電子速率約為,10,6,m/s,速率不確定量與速率本身,的數(shù)量級基本相同，因此原子中

11、電子的位置和速度不能同時,完全確定，也沒有確定的軌道,原子中電子的位置不確定量,10,10,m,由不確定關(guān)系,2,x,x,p,h,解,2,m,x,h,34,31,10,6.63,10,4,3.14,9.1,10,10,二、能量與時間的不確定性關(guān)系,2,E,t,h,2,2,1,4,2,0,2,2,mc,c,m,c,p,E,能量和時間也是一對共軛物理量，有,推導(dǎo)如下,0,2,2,1,m,m,c,v,p,m,v,2,E,mc,2,2,2,4,1,2,2,0,1,2,2,E,p,c,m,c,pc,p,2,2,2,pc,p,pc,p,p,E,mc,t,p,t,E,2,x,p,h,反映了原子能級寬度,E,

12、和原,子在該能級的平均壽命,t,之間,的關(guān)系,基態(tài),8,10,eV,2,E,t,h,輻射光譜線固有寬度,E,h,E,h,2,E,E,2,E,E,激發(fā)態(tài),E,基態(tài),壽命,t,光輻射,2,E,t,h,能級寬度,平均壽命,t,10,8,s,平均壽命,t,能級寬度,E,0,在原子系統(tǒng)中基態(tài)能級寬度最小，所以電子該能級,停留時間最長，也即基態(tài)最穩(wěn)定,設(shè)體系處于某能量狀態(tài)的壽命為,就是體系處于某能量狀態(tài)的時刻的不確定量,則該狀態(tài)能量的不確定程度,E,能級自然寬度）為,16,3.3,10,eV,s,2,2,s,E,t,h,h,假定原子中某一激發(fā)態(tài)的壽命,10,8,s,則其能級寬度為,8,3.3,10,eV,

13、E,由于,根據(jù)不確定性關(guān)系得,s,m,m,kg,s,J,x,m,x,30,10,5,0,01,0,2,10,05,1,2,10,05,1,2,34,x,x,m,p,解,槍口直徑可以當(dāng)作子彈射出槍口時位置的不確定,量,x,和子彈飛行速度每秒幾百米相比,這速度的不確定,性是微不足道的,所以子彈的運動速度是確定的,例,設(shè)子彈的質(zhì)量為,0.01,槍口的直徑為,0.5,試求子彈射出槍口時的橫向速度的不確定量,三、不確定性關(guān)系的應(yīng)用舉例,原子線度為,10,10,m,計算原子中電子速度的不確定度,解,P,m,V,s,m,x,m,m,P,V,x,5,10,8,5,2,例,m,x,10,10,按經(jīng)典力學(xué)計算，氫

14、原子中電子的軌道速度,V 10,6,ms,1,物理量與其不確定度一樣數(shù)量級，物理量沒有意義了,在微觀領(lǐng)域內(nèi)，粒子的軌道概念不適用,2,x,P,x,例,給您一個全新概念,原子中電子運動不存在“軌道,分析,軌道概念不適用,若電子,E,k,10eV,則,5,6,10,m/s,2,P,m,m,r,h,6,2,10,m/s,E,m,原子線度,r,10,10,m,2,P,r,h,代之以電子云概念,由不確定關(guān)系有,即,x,0.0001 m,加速電壓,U,10,2,V,電子準(zhǔn)直直徑為,0.1mm,例,給您以啟示,x,v,電子射線,0.1mm,什么條件下可以使用軌道的概念,如電子在示波管中的運動,電子的橫向彌散

15、可以忽略，軌道有意義,宏觀現(xiàn)象中,x,h,x,P,P,可看成經(jīng)典粒子，從而可使用軌道概念,2,1,2,eU,m,分析,由,2,eU,m,7,10,m/s,2,x,m,x,h,34,31,4,10,10,10,10,1,從量子過渡到經(jīng)典的物理條件,討論,0,h,如粒子的活動線度,h,如例,2,所示的電子在示波管中的運動,這時將電子看做經(jīng)典粒子,2,微觀粒子的力學(xué)量的不確定性,意味著物理量與其不確定量的數(shù)量級相同,即,P,與,P,量級相同,r,與,r,量級相同,如例,1,所示的原子中運動的電子,例,不確定關(guān)系在理論上的一個歷史作用,判斷電子不是原子核的基本成分,電子不可能穩(wěn)定在原子核內(nèi),分析,原子

16、核線度,15,10,m,x,2,x,P,x,h,由測不準(zhǔn)關(guān)系,20,10,kg,m/s,m/s,kg,10,20,x,x,P,P,這樣的動量對應(yīng)的電子能量有多大,2,2,2,2,0,E,mc,m,c,Pc,20,8,12,10,3,10,3,10,J,Pc,MeV,20,2,2,27,0,10,m,c,2,23,10,Pc,20,10,kg,m/s,x,P,20MeV,E,什么樣的核可以把它束縛住呢,目前最穩(wěn)定核的能量,最大的能量,是,8MeV,結(jié)論：電子不是原子核的組成部分,這就是說,目前還沒有能量是,20MeV,的核,例,估算一些物理量的量級,估算,H,原子的軌道半徑,r,H,原子最穩(wěn)定的

17、半徑,玻爾半徑,解,設(shè),H,原子半徑為,r,則電子活動范圍,由不確定關(guān)系,r,r,P,r,r,P,P,P,r,r,h,h,2,2,0,2,4,P,e,E,m,r,P,r,r,h,h,假設(shè)核靜止,按非相對論,電子能量為,2,2,2,0,2,4,e,E,mr,r,h,P,r,h,代入,得,最穩(wěn)定，即能量最低,0,E,r,令,d,d,2,0,0,2,4,0.53,r,me,h,得,r,e,r,e,mr,E,0,2,0,2,2,2,m,in,8,4,2,13.6eV,一張有趣的圖片,少女還是老婦,兩種圖象不會同,時出現(xiàn)在你的視,覺中,冬蟲夏草,是蟲還是草,看到“冬蟲夏草”這,個名字，許多人都會感到,奇

18、怪；冬天還是動物，怎,么夏天又變成了植物呢,自然界的變化，奧妙無窮,世界上就有這種一身兼動,物、植物的奇特生物。冬,天的形狀完全是蟲，夏天,的形狀又象是草，所以取,了這么一個形象生動的名,字,冬蟲夏草,22,4,薛定諤方程,1,薛定諤方程的引入,一維自由粒子的波函數(shù)為,0,i,px,x,t,e,h,Et,2,2,2,2,p,x,E,i,t,又因為,代入上兩式得到,2,2,E,p,m,顯然,1933,諾貝爾物理學(xué)獎,奧地利物理學(xué)家,t,i,x,m,2,2,2,2,一維,自由粒子,的含,時薛定諤方程,2,2,2,2,p,x,E,i,t,有勢力場中粒子的總能量為,2,1,2,t,x,V,p,m,E,

19、1,2,1,2,t,x,V,p,m,E,將,和,代入,1,式得,t,i,t,x,V,x,m,2,2,2,2,和,勢場中,一維運動粒,子的薛定諤方程,在勢場中，作三維運動粒子薛定諤方程為,t,i,t,z,y,x,V,m,2,2,2,拉普拉斯算符,2,2,2,t,z,y,x,V,m,H,哈密頓算符,2,2,2,2,2,2,2,sin,r,1,sin,sin,r,1,r,r,r,r,1,2,2,2,2,2,2,2,z,y,x,或記成,x,y,z,t,i,x,y,z,t,h,H,t,其中,t,i,t,z,y,x,V,m,2,2,2,2,定態(tài)薛定諤方程,t,f,z,y,x,z,y,x,如勢函數(shù)不是時間的

20、函數(shù)，即,z,y,x,V,V,代入薛定諤方程得,t,d,t,f,d,t,f,i,z,y,x,V,m,1,2,1,2,2,用分離變量法將波函數(shù)寫為,則,Et,i,Ce,t,f,E,t,t,f,t,f,i,1,E,t,t,f,t,f,i,z,y,x,V,m,1,2,1,2,2,2,2,2,z,y,x,E,z,y,x,z,y,x,V,m,和,這就是定態(tài)薛定諤方程,定態(tài),能量取確定值的狀態(tài),Et,i,e,z,y,x,c,t,z,y,x,2,2,z,y,x,c,與時間無關(guān),定態(tài)波函數(shù),對自由粒子波函數(shù),2,2,2,z,y,x,E,z,y,x,m,則,0,r,p,Et,i,e,t,f,r,t,r,海森伯和

21、玻爾、泡利在一起,1927,年第五屆索爾威會議,愛,因,斯,坦,洛,侖,茲,居,里,夫,人,普,朗,克,德,拜,泡,利,康,普,頓,薛,定,諤,狄,拉,克,布,喇,格,玻,爾,海,森,伯,玻,恩,朗,之,萬,德,布,羅,意,本次課完,22,5,一維無限深勢阱中的粒子,若質(zhì)量為,m,的粒子，在保守力場的作用下，被限,制在一定的范圍內(nèi)運動，其勢函數(shù)稱為勢阱,為了簡化計算，提出理想模型,無限深勢阱,一維無限深勢阱,0,x,U,a,x,0,a,x,x,0,a,x,o,保守力與勢能之間的關(guān)系,在勢阱邊界處，粒子要受到無限大、指向阱內(nèi)的力，表明,粒子不能越出勢阱,即粒子在勢阱外的概率為,0,F,U,x,x

22、,一、勢阱,勢阱內(nèi)的一維定態(tài)薛定諤方程為,i,i,E,x,m,2,2,d,d,2,2,2,2,2,mE,k,解為,sin,kx,C,x,i,二、一維無限深勢阱中運動粒子的波函數(shù),由邊界條件得,據(jù)歸一化條件，得,得波函數(shù)表達(dá)式,0,sin,0,sin,0,ka,C,a,C,i,i,3,2,1,0,n,n,ka,1,d,sin,d,2,0,2,0,x,a,x,n,C,x,t,x,a,a,a,C,2,Et,i,i,xe,a,n,a,t,x,sin,2,1,粒子能量不能取連續(xù)值,3,2,1,2,2,2,2,2,n,n,ma,E,n,得,能量取分立值（能級），能量量子化是粒,子處于束縛態(tài)的所具有的性質(zhì),a,n,K,mE,K,n,2,2,2,由,三、能量量子化,概率密度函數(shù),2,粒子的最小能量不等于零,最小能量,2,2,2,1,2,ma,n,E,也稱為基態(tài)能或零點能,零點能的存在與不確定度關(guān)系協(xié)調(diào)一致,3,粒子在勢阱內(nèi)出現(xiàn)概率密度分布,不受外力的粒子在,0,到,a,范圍內(nèi)出現(xiàn)概率處處相等,量子論觀點,sin,2,2,2,x,a,n,a,x,0,a,1,2