模糊數學在數學建模中的應用

1、模糊數學在數學建模中的應用,作業(yè)：,我國公務員制度已實施多年，1993年10月1日頒布施行的國家公務員暫行條例規(guī)定：“國家行政機關錄用擔任主任科員以下的非領導職務的國家公務員，采用公開考試、嚴格考核的辦法，按照德才兼?zhèn)涞臉藴蕮駜?yōu)錄用”。目前, 我國招聘公務員的程序一般分三步進行：公開考試（筆試）、面試考核、擇優(yōu)錄取。 現(xiàn)有某市直屬單位因工作需要，擬向社會公開招聘8名公務員，具體的招聘辦法和程序如下：,（一）公開考試：凡是年齡不超過30周歲，大學專科以上學歷，身體健康者均可報名參加考試，考試科目有：綜合基礎知識、專業(yè)知識和“行政職業(yè)能力測驗”三個部分，每科滿分為100分。根據考試總分的高低排序按

2、1:2的比例（共16人）選擇進入第二階段的面試考核。 （二）面試考核：面試考核主要考核應聘人員的知識面、對問題的理解能力、應變能力、表達能力等綜合素質。按照一定的標準，面試專家組對每個應聘人員的各個方面都給出一個等級評分，從高到低分成A/B/C/D四個等級，具體結果見表所示。 （三）由招聘領導小組綜合專家組的意見、筆初試成績以及各用人部門需求確定錄用名單,并分配到各用人部門。,該單位擬將錄用的8名公務員安排到所屬的7個部門，并且要求每個部門至少安排一名公務員。這7個部門按工作性質可分為四類：(1)行政管理、 (2)技術管理、(3)行政執(zhí)法、(4)公共事業(yè)。見表2所示。 招聘領導小組在確定錄用名

3、單的過程中，本著公平、公開的原則，同時考慮錄用人員的合理分配和使用，有利于發(fā)揮個人的特長和能力。招聘領導小組將7個用人單位的基本情況（包括福利待遇、工作條件、勞動強度、晉升機會和學習深造機會等）和四類工作對聘用公務員的具體條件的希望達到的要求都向所有應聘人員公布（見表2）。每一位參加面試人員都可以申報兩個自己的工作類別志愿（見表1）。請研究下列問題：,（1）如果不考慮應聘人員的意愿，擇優(yōu)按需錄用，試幫助招聘領導小組設計一種錄用分配方案； （2）在考慮應聘人員意愿和用人部門的希望要求的情況下，請你幫助招聘領導小組設計一種分配方案； （3）你的方法對于一般情況，即N個應聘人員M個用人單位時，是否可

4、行？ (4) 你對上述招聘公務員過程認為還有哪些地方值得改進，給出你的建議。,表：招聘公務員筆試成績，專家面試評分及個人志愿,表 2:用人部門的基本情況及對公務員的期望要求,模糊數學知識準備,模糊數學的誕生 模糊集合的基本概念 模式識別 一. 最大隸屬原則. 二. 貼近度與擇近原則. 模糊綜合評判,模糊數學的誕生,當我們討論一個具體問題時，總是把自己的議題限制在一定的范圍內。例如討論“男子”這一概念，可以把議題限制在“人”這個范圍內，從人的集合X中挑選出所有男子，構成X的一個子集A，A 便是“男子”這個概念的外延，即“男子”這個概念的集合表現(xiàn)。對于由“男子”構成集合，某個人是要么是“男子”，要

5、么不是“男子”，也就是說，對任何一個由“人”構成的元素x，要么屬于A,要么不屬于A.用數學語言描述就是或者，但當我們去討論“禿頭”這一概念時，我們也可以把議題限制在“人”這個范圍內，從人的集合X中挑選出所有的“禿頭”， 構成X的一個子集B，B便是“男子”這個概念的外延,比如我們約定某個人頭發(fā)少于1根我們就說他（她）是“禿頭”，那么按照經典的數學理論.若某甲只有99999根頭發(fā)，那么甲就是“禿頭”，而若某乙有100001根頭發(fā)，那么乙就不屬于“禿頭”，根據實際情況我們會發(fā)現(xiàn)有經典的集合論來討論這種問題不太合適。,在自然科學或社會科學研究中,存在著許多定義像以上這種不很嚴格或者說具有模糊性的概念。

6、這里所謂的模糊性，主要是指客觀事物的差異在中間過渡中的不分明性，如某一生態(tài)條件對某種害蟲、某種作物的存活或適應性可以評價為“有利、比較有利、不那么有利、不利”；災害性霜凍氣候對農業(yè)產量的影響程度為“較重、嚴重、很嚴重”，等等。這些通常是本來就屬于模糊的概念，為處理分析這些“模糊”概念的數據，便產生了模糊集合論。 根據集合論的要求，一個對象對應于一個集合，要么屬于，要么不屬于，二者必居其一，且僅居其一。這樣的集合論本身并無法處理具體的模糊概念。為處理這些模糊概念而進行的種種努力，催生了模糊數學。模糊數學的理論基礎是模糊集。模糊集的理論是1965年美國自動控制專家查德(L. A. Zadeh)教授

7、首先提出來的，近10多年來發(fā)展很快。,模糊集合論的提出雖然較晚，但目前在各個領域的應用十分廣泛。實踐證明，模糊數學在農業(yè)中主要用于病蟲測報、種植區(qū)劃、品種選育等方面，在圖像識別、天氣預報、地質地震、交通運輸、醫(yī)療診斷、信息控制、人工智能等諸多領域的應用也已初見成效。從該學科的發(fā)展趨勢來看，它具有極其強大的生命力和滲透力。在側重于應用的模糊數學分析中，經常應用到聚類分析、模式識別和綜合評判等方法。 模糊數學與系統(tǒng)之一學科,自1965年美國著名控制論專家(Zadeh)教授創(chuàng)立以來，就以強大的生命力扎根于世界角落，吸引著各國的優(yōu)秀學者為之奮斗。偉大的中華民族，有自立于世界民族之林的能力。憶往昔，我們

8、的祖先在豐富世界寶庫方面，譜寫了光輝的篇章。看今朝，向模糊領域進軍，在突破模糊數學信息處理難關的進程中，中國學者必將取得更加輝煌的成果。模糊數學在模糊工程系統(tǒng)，模糊計算機代數，模糊管理決策系統(tǒng)，模糊經濟系統(tǒng)，模糊社會和人文系統(tǒng)等研究領域捷報頻傳。在除同數學很少問津的領地，模糊數學開除了絢麗的花朵。,模糊集合的基本概念,1. 模糊集的概念 A(x)即為集合A的特征函數。將特征函數推廣到模糊集，在普通集合中只取0、1兩值推廣到模糊集中為0, 1區(qū)間。,對于一個普通的集合A，空間中任一元素x，要么xA，要么xA，二者必居其一。這一特征可用一個函數表示為：,定義1 設X為全域，若A為X上取值0, 1的

9、一個函數，則稱A為模糊集。 如給5個同學的性格穩(wěn)重程度打分，按百分制給分，再除以100，這樣給定了一個從域X=x1 , x2 , x3 , x4, x5到0, 1閉區(qū)間的映射。 x1：85分，即A(x1)=0.85 x2：75分， A(x2)=0.75 x3：98分， A(x3)=0.98 x4：30分， A(x4)=0.30 x5：60分， A(x5)=0.60 這樣確定出一個模糊子集A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。,定義2： 給出映射 ，我們說 確定X一個的模糊子集A。 稱為 的隸屬函數， 稱為 對A的隸屬度。 當 的值域事0，1時，A就是經典子集，而 就

10、是它的特征函數。所以經典子集就是特殊的模糊子集。,定義3：設A，B是模糊子集，定義運算,如下：,分別成為,得并集，交集和,的余集。,例題1：以人的年齡作為論域X，可以給出“年老” Q 與“年輕”Y兩個模糊子集，它們的隸屬函數分別是：,則由此顯然可知60歲的年齡屬于”年輕”的隸屬度為0.8，80歲的年齡屬于“年老”的隸屬度為0.97。 而“年輕或年老”的隸屬函數為,這里51是方程,的近似解。 而“有年輕又年老”的隸屬函數為：,“不年輕”的隸屬函數為：,模式識別,1. 方法簡介 “模式”一詞來源于英文Pattern，原意是典范、式樣、樣品，在不同場合有其不同的含義。在此我們講的模式是指具有一定結構

11、的信息集合。 模式識別就是識別給定的事物以及與它相同或類似的事物，也可以理解為模式的分類，即把樣品分成若干類，判斷給定事物屬于哪一類，這與我們前面介紹的判別分析很相似。 模式識別的方法大致可以分為兩種，即根據最大隸屬原則進行識別的直接法和根據擇近原則進行歸類的間接法，分別簡介如下：,1.最大隸屬原則 最大隸屬原則：設,為n個標準模型，,，如果存在,，使得隸屬度,，那么我們就認為,相對地隸屬于,。,例題2：在機器自動識別染色體或白血球分類等課題中，常常把問題歸結為幾何圖形又常常劃分為若干三角形，我們把三角形分別分成等腰三角形I，直角三角形R，那么直角三角形,，正三角形E及非典型三角形,，設三角形

12、論域,其中A，B，C為三頂角數，,又設隸屬函數為：,=,給定三角形,，計算,隸屬度：,按最大隸屬度原則，,相對隸屬于直角三角形。,2.貼近度與擇近原則 在現(xiàn)實生活中，存在大量的優(yōu)化和多決策問題，比如說，已知某個理想化的決策，現(xiàn)有多種可供選擇的方案，要你決定那種方案最合適，在解決這種問題時，我們往往選擇根標準方案最接近的方案，像這類問題用模糊數學中的貼近度來解決，往往能得到很好的效果，并且也很合理。,定義4：用來刻劃兩個模糊集的貼近程度的量叫做貼近度。 以下幾種是常用的貼近度的計算公式： 設,為模糊集 （1）最大最小法：,（2）算術平均最小法：,（3）夾角余弦法：,（4）相關系數法：,其中：,例

13、題3：每個數字可用黑白不同的五個條碼來確定，其中三條黑條，二條白條，若黑條記為1，白條記為0，則數字0，1，2，9對應的條碼為：,對每一條碼，將其分為4段，于是黑條對應的碼為（1，1，1，1）T，白條對應的碼是（0，0，0，0）T，一個數字k(k=0,1,2,9)就對應于,矩陣Mk,稱為k的模板矩陣，例數字1的模板矩陣為:,，,由于條碼印刷過程會產生污點，飛白點，顏色深度不夠或背景灰度不一致等干擾，因此待識別的數字條碼的對應矩陣R變成0，1上,矩陣：,其中,表示第i段的第j個條碼的灰度。當,=1表示黑色，當,=0表示白色。0,1表示灰色， 隨著灰色深淺不同取0，1中相應數值。,令,，R 可看作

14、X的模糊子集，,對R的隸屬度為,為了消除干擾，以便識別數字條碼，對模板矩 陣,與待識別的模板矩陣R定義貼近度,例如待識別的條碼對應的模板矩陣為：,按最大貼近度的擇近原則， R應判決為數字0的條碼。,求得：,模糊綜合評判,綜合評判是在考慮多種因素的影響下對某事物作出做出綜合決斷。比如說，評教，要綜合考慮到教師的科研能力，表達能力，等等；還有比如說服裝，要綜合考慮花色式樣，耐穿程度，以及價格費用等。像這些要考慮多種因素的決斷問題，用模糊綜合評判法能過取到很好的效果。,1. 方法簡介 綜合評判就是對受到多個因素制約的事物或對象作出一個總的評價，這是在日常生活和科研工作中經常遇到的問題，如產品質量評定

15、、科技成果鑒定、某種作物種植適應性的評價等，都屬于綜合評判問題。由于從多方面對事物進行評價難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數學的方法進行綜合評判將使結果盡量客觀從而取得更好的實際效果。 模糊綜合評判的數學模型可分為一級模型和多級模型。采用一級模型進行綜合評判，一般可歸納為以下幾個步驟： (1) 建立評判對象因素集U=u1, u2, , un。因素就是對象的各種屬性或性能，在不同場合，也稱為參數指標或質量指標，它們能綜合地反映出對象的質量，因而可由這些因素來評價對象。就服裝評判為例，可設U=花色式樣，耐穿程度，價格費用 (2) 建立評判集V=v1, v2, , vn。如工業(yè)產品的評價，評判集是等

16、級的集合；農作物種植區(qū)域適應性的評價，評判集是適應程度的集合。就服裝評判為例，可設V=很歡迎，較歡迎，不太歡迎，不歡迎,(3) 建立單因素評判，即建立一個從U到F(V)的模糊映射： 0rij 1, 1 i n, 1 j m 由f可以誘導出模糊關系，得到模糊矩陣： 稱R為單因素評判矩陣，于是(U, V, R)構成了一個綜合評判模型。,對某服裝而言，請若干名專門人員進行但因素評價，但就花色式樣考慮，若有20%的人很受歡迎，有70%的人較歡迎，10%的人不太歡迎，便可得到： 花色式樣 類似地對其它因素也進行但因素評價，得到一個U到V的模糊映射。 耐穿程度 價格費用 聯(lián)合上述單因素決斷，便可得到模糊矩陣：,(4) 綜合評判。由于對U中各個因素有不同的側重，需要對每個因素賦予不同的權重，它可表示為U上的一個模糊子集A=(a1, a2, , an )，且規(guī)定 假設兩類顧客