2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)試題(文科)解析版

1、絕密啟用前試卷類型： B2012 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 34i1. 設(shè) i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)iA.4 3iB.43iC. 4 3iD. 4 3i34i(34i )( i )43i .1. D.ii(i)2. 設(shè)集合 U1,2,3,4,5,6 ， M1,3,5 ，則 eU MA.2,4,6B. 1,3,5C. 1,2, 4D. U2. A.eU M2,4,6 .3. 若向量 AB(1,2) ， BC(3,4) ，則 ACA.(4,6)B. (4,

2、6)C.(2,2)D. (2, 2)3. A.AC ABBC (4,6).4. 下列函數(shù)為偶函數(shù)的是A.ysin xB.yx3C.yexD.ylnx214. D.選項(xiàng)A、 B為奇函數(shù)，選項(xiàng)C 為非奇非偶函數(shù).xy15. 已知變量 x， y 滿足約束條件 xy1 ，則 zx2y 的最小值為x10yA. 3B. 1C.5D.6x y 15. C. 不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，zxxy 12 y可化為直線 y1 x1 z ，則當(dāng)該直線過點(diǎn)A(1,2)Ox時，22Ax 1 0z 取得最小值，zmin12( 2)5 .6. 在 ABC 中，若A60， B45 ，BC3 2，則 ACA.4

3、3B.23C.3D.3232BCACBCsin B26. B. 根據(jù)正弦定理，22 3 .sin A，則 ACsin A3sin B27. 某幾何體的三視圖如圖1 所示，它的體積為66A.72B. 4833C.30D. 2455557. C. 該幾何體是圓錐和半球體的組合體，則它的體積V V圓錐V半球體132 41433正視圖側(cè)視圖30 .3238. 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，直線 3x4 y5 0 與圓 x2y24俯視圖相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，則弦 AB 的長等于圖 1A.33B.23C.3D . 18. B. 圓心 (0,0) 到直線 3x 4 y 5 00 051，則AB2r22的距

4、離 d42( )d 3 ，322即AB2 3.9. 執(zhí)行如圖2 所示的程序框圖，若輸入n 的值為 6，則輸出 s 的值為開始A. 105B. 16C. 15D. 1輸入 n9. C. s 13515i1,s 110. 對任意兩個非零的平面向量和，定義若兩個非零的平面向量a ， b 滿足 a與 b 的夾角,42否in.是輸出 sss i結(jié)束，ii2圖 2且 ab 和 ba 都在集合nnZ中，則 ab2A.5B.3C. 1D.122210. D.aba bab cosa cos，同理有 bab cosb bb2baab 和 ba都在集合nnZ中，即2 a cos和2 b cos是整數(shù)，2ba取，則

5、 a 和 b 是整數(shù)，則ab1 ，則 ab1.3baba2二、填空題：本大題共5 小題，考生作答 4 小題，每小題5 分，滿分20 分（一）必做題（1113題）11.函數(shù) yx 1.的定義域?yàn)閤11.1,00,.x10x且x0，即函數(shù)yx 1的定義域?yàn)閤01x1, 00,.12.若等比數(shù)列an滿足 a2a41，則 a1a32a5.212.1a2a421241.a32，則 a1a3 a5a34413.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1, x2 , x3, x4 ，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為.（從小到大排列）13.1,1,3,3 .不妨設(shè) x1x2x3x4 ， x1 , x2 ,

6、 x3 , x4N* ，依題意得 x1 x2 x3x48 ，s1 ( x12)2( x22)2( x32)2(x42)2 1，4即 ( x12)2( x22)2( x32)2( x42)24，所以 x43則只能 x1x2 1， x3x43 ，則這組數(shù)據(jù)為 1,1,3,3（二）選做題（ 14 15題，考生只能從中選做一題）14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線 C1 和 C2 的參數(shù)方程分別x5 cosx12 t2t 為參數(shù)），則曲線 C1和C2的為y（ 為參數(shù)， 0）和2（5 sin2yt2交點(diǎn)坐標(biāo)為.14.(2,1) . 曲線 C1 的方程為 x2y25（ 0x5

7、），曲線 C2 的方程為 y x1x2y252或 x1（舍去），則曲線 C1 和 C2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,1) .yxx1A15.（幾何證明選講選做題）如圖3 所示，直線 PB 與圓 O 相切于點(diǎn) B ， PDD 是弦 AC 上的點(diǎn)，PBADBA . 若ADm ， ACn ，則OAB.BCmn . 由弦切角定理得PBACDBA ，則 ABD ACB ，15.ABAD ，則 AB2ACADmn ，即 ABmn .圖 3ACAB三、解答題：本大題共6 小題，滿分80 分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16.（本小題滿分12 分）已知函數(shù) f ( x)A cos x， xR ，且 f2463

8、（ 1）求 A 的值；（ 2）設(shè)0, ， f 4430， f 428 ，求 cos() 的231735值.16. 解：（ 1） fA cos126A cos2 A2，解得 A 2342（2）f 442cos32cos22sin30 ，即 sin15361717f422cos662cos8 ，即 cos4355因?yàn)?,，所以 cos1sin28， sin1cos232175所以 cos()cos cossinsin84153131751758517.（本小題滿分 13 分）某校 100 名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖頻率50,60)， 60,70)組距如圖 4 所示，其中成績分組區(qū)間是：

9、，0.0470,80)， 80,90)， 90,100.（ 1）求圖中 a的值；0.03（ 2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100 名學(xué)生語文成0.02績的平均分；（ 3）若這 100 名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（x ）a05060708090100與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（y ）之比如下表所示，求成績圖 450,90)數(shù)學(xué)成績在之外的人數(shù) .分?jǐn)?shù)段50,60)60,70)70,80)80,90)x : y1 :12 :13: 44 : 517.解：（ 1）依題意得，10(2a0.020.030.04)，解得 a0.0051（2）這100名學(xué)生語文成績的平均分為：550. 0 5650 .

10、475（分）（ 3）數(shù)學(xué)成績在 50,60)數(shù)學(xué)成績在 60,70)數(shù)學(xué)成績在 70,80)數(shù)學(xué)成績在 80,90)的人數(shù)為： 1000.055的人數(shù)為： 1000.41202的人數(shù)為： 1000.34403的人數(shù)為： 1000.25254所以數(shù)學(xué)成績在50,90) 之外的人數(shù)為：10052040251018.（本小題滿分13 分）如圖 5 所示，在四棱錐 PABCD 中， AB平面 PAD ， AB / CD ，PDAD ，E是 PB 的中點(diǎn)， F 是 CD 上的點(diǎn)且 DF1AB，PH 為 PAD 中AD邊上的高 .（ 1）證明： PH平面 ABCD ；2P（ 2）若 PH1， AD2，F(xiàn)C

11、1，求三棱錐 E BCF 的體積；E（ 3）證明： EF平面 PAB .18. 解：（ 1）證明：因?yàn)?AB平面 PAD ，DFH所以 PHABAB因?yàn)?PH 為 PAD 中 AD 邊上的高所以 PHAD圖 5因?yàn)?ABADA所以 PH平面ABCD（2）連結(jié) BH ，取 BH 中點(diǎn) G ，連結(jié) EGP因?yàn)?E 是 PB 的中點(diǎn)，所以 EG / PHC因?yàn)?PH 平面所以 EG 平面則EG 1PH 2VEBCF1S3ABCDABCD M E 12DF112HGBCFEGFC AD EGAB3212C（ 3）證明：取 PA 中點(diǎn) M ，連結(jié) MD ， ME 因?yàn)?E是PB 的中點(diǎn)1所以 ME /A

12、B1因?yàn)?DF /AB所以 ME / DF所以四邊形MEDF 是平行四邊形所以 EF / MD因?yàn)?PDAD所以 MDPA因?yàn)?AB平面 PAD ，所以 MDAB因?yàn)镻AABA所以 MD平面 PAB所以 EF平面 PAB19. （本小題滿分 14 分）設(shè)數(shù)列an 前 n 項(xiàng)和為 Sn ，數(shù)列Sn 的前 n 項(xiàng)和為 Tn ，滿足 Tn2Snn2 ， nN* .（ 1）求 a1 的值；（ 2）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 .19. 解：（ 1）當(dāng) n1時， T12S11因?yàn)?T1S1a1 ，所以 a12a11，求得 a11（2）當(dāng) n 2 時， STT2Sn2 2 S( n 1)2 2S2S2n 1n

13、nn 1nn 1nn 1所以 Sn2Sn 12n1所以 Sn12Sn2n1 得 an12an2所以 an22(an2)an122)1，即2 ( nan2求得 a12 3 ， a22 6，則a22a122所以 an2是以 3 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列所以 an23 2n 1所以 an3 2n 12， n N *20.14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：x2y21b 0 ）（本小題滿分（ aa2b2的左焦點(diǎn)為F1 ( 1,0) ，且點(diǎn)P(0,1) 在 C1 上 .（ 1）求橢圓 C1 的方程；（ 2）設(shè)直線l同時與橢圓C1 和拋物線C2 ：y24x 相切，求直線l的方程.20.

14、解：（ 1）因?yàn)闄E圓C1 的左焦點(diǎn)為F1(1,0) ，所以c1 ，點(diǎn) P(0,1) 代入橢圓 x2y21，得11 ，即 b1，a2b2b2所以 a2b2c22所以橢圓 C1 的方程為 x2y21.2（2）直線 l 的斜率顯然存在，設(shè)直線l 的方程為 ykxm ，x2y21 ，消去 y 并整理得 (12k 2 )x24kmx 2m2202ykxm因?yàn)橹本€ l 與橢圓 C 相切，所以16k 2m24(12k 2 )(2m22) 01整理得 2k 2m210y24xm，消去 y 并整理得 k 2 x2(2km4)xm20ykx因?yàn)橹本€ l與拋物線 C2 相切，所以(2km4)24k 2 m20整理得

15、 km1 k2k2綜合，解得2或2m2m2所以直線 l 的方程為 y22 或 y22xx2221.（本小題滿分14 分）設(shè) 0 a1 ， 集 合 A x R | x0 ， B x R | 2x2 3(1 a)x 6a0 ，D A B .（ 1）求集合 D （用區(qū)間表示）（ 2）求函數(shù)21. 解：（ 1）令f ( x)2x33(1a) x26ax 在 D 內(nèi)的極值點(diǎn) .g( x)2x23(1a) x6a9(1a)248a9a230a93(3a1)(a3) 當(dāng) 0a1時，0 ，3方 程 g( x )的0兩個根分別為x13a39a230a94，x23a39a230a94所以g( x的解集為(, 3a

16、39a230a9 )( 3a39a230a9 ,)44因?yàn)閤1, x20，所以D(0, 3a39a230a9 )(3a39a230a9 ,)44 當(dāng) 1a1時，0 ，則 g ( x)0 恒成立，所以 DAB(0,)31綜上所述，當(dāng)0a時，3D(0, 3a39a230a 9 )( 3a39a230a9 ,) ；44當(dāng) 1a1時， D(0,)3（2） f ( x)6x26(1a) x6a6( xa)( x1) ，令 f ( x)0 ，得 xa 或 x 1 當(dāng) 0a1時，由（ 1）知 D(0, x1)( x2,)3因?yàn)?g(a)2a23(1a)a6aa(3a)0， g(1)23(1a) 6a3a1 0所以 0ax11x2 ，所以 f ( x),f ( x) 隨 x 的變化情況如下表：x(0,