二項(xiàng)式知識(shí)點(diǎn)十大問題練習(xí)含答案

1、二項(xiàng)式知識(shí)點(diǎn)+十大問題+練習(xí)（含答案）（a+b）n =cn0an +C：a2b|+C：an七 +|i + Ubn（nW）；2. 基本概念： 二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做（a b）n的二項(xiàng)展開式。 二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù) Cn （二。，1,2，,n）. 項(xiàng)數(shù)：共（r 1）項(xiàng)；是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式 通項(xiàng)：展開式中的第 r 1項(xiàng)叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用二Cy,表示。3. 注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有 （n 1）項(xiàng)。順序：注意正確選擇a, b ,其順序不能更改。（a 川與（b a*是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0 ；是降幕排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n；是升幕排列。各項(xiàng)的次數(shù)和

2、等于 n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)；二項(xiàng)式系數(shù)依次C；,Cn，C；,C；,C：.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）。4常用的結(jié)論:令 a =1,b=x, (1 x)C C：x Cjx2 川 C：xr 川 C：xn(n N )令 a =1,b = -x, (1-x)n-C：x C；x2 -川 C：x(-1)nC：xn(n N )5.性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等；C0nkk _!二 Cn . Cn 二 Cn式系數(shù)和項(xiàng)式系數(shù)的和CO Cn1 Cl CIL Cnn=2n ；;14 / 12變形式 C： +C： +川 +C：+I)|+Cnn =

3、2n 1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 =偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和:項(xiàng) 式 定 理 中；C； Cn1 C2 -C；川(_1)nC： =(1-1)n =0 ；c0 +C； +C：+c；r + _ = cn +C； +1樸 +c：r41 + =丄X2n = 2nJ1從而得到：2奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和:/、n _ 0 n 0 _ 1 nA_ 2 n _2 2_ n 0n12n(a x) Cna xCna x Cna x . Cna xa0 a1xa2xanx(xa)n= C0axn-C：axnn-C；a2xn川 C；anx0二anxn H| a2x2- a1x1 - a0令x =1,則 a0 a1 a2

4、 a；川 an = (a T)n令x = -1,貝卩a0 a2 -a； HI an = (a -1)n 得,a0 a2 a，an =卩（a_ （奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和）2-得,a1 - a； a an =旦止嚴(yán)爼（偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和）n 二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)；則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn取得最大值。如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)；則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)nJn 訃1Cn2 , Cn2同時(shí)取得最大值。 系數(shù)的最大項(xiàng)：求（a bx）展開式中最大的項(xiàng)；一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別Ar 1 丄 A為A*2,乓1 ；設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大；應(yīng)有AA.2 ；從而解出r來。專題一題型一

5、：二項(xiàng)式定理的逆用;例:C1 Cn 6 C3 61 C： 6 解:(1 6)n 二C0 C： 6 Co 62 C； 63 Hl - C： -6n 與已知的有一些差距. 二 cn+c； 6+C； 62 釧+C：嚴(yán)=丄(C： 6+C： 62+|+c： .6n)6111(Cn C1 6 Cn 62 川 Cn 6n -1)二(1 6)n-1(7n-1)666練:C； 3Ci 9C： HI 3nC；二解:設(shè) Sn=C： +3C：+9C：+川+3nC；.則3Sn 二C：3 七語；33 引| -C；3C0 -c03 C：32 C；33 川 C：3n -1 =(1 3)n -1S _(1 3)n -1 _4n

6、 -1n _33n題型二：利用通項(xiàng)公式求 X的系數(shù);例:在二項(xiàng)式*S）“的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45 ；求含有X3的項(xiàng)的系數(shù)?解:由條件知由C： = 45 ；即 Cn =45 ； . n2 - n -90 = 0 ；解得 n = -9(舍去)或 n 勺0 ；1 2 10Tr 1 =C；0(xB10(x3)r 二C；0xF2r3;由題意10 _ r 2r =3,解得 r = 643-練:解:3-p 63則含有x的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6 1二CioX（X2 - 丄）99求2x展開式中x的系數(shù)?= 21x3,系數(shù)為210。2曲嚴(yán)（2心嚴(yán)（-”嚴(yán)；令 I ,則故X9的系數(shù)為喙冷）3 一#。題型三：利用通項(xiàng)

7、公式求常數(shù)項(xiàng);例:（x2 +求二項(xiàng)式10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?解:r 2 10 r 1 rr 1 rTr“C10(x)x)=C10(2)x520 r;令20 -5r =02； 得 r =8 ；所以練:解:練:解:求二項(xiàng)式（2x）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?Trc6(2x)6t1)rG)r33以T4 =(-1) C6 - -20T51、r6_2r；令 6_2r = 0 ； 得 r=3所21、n（X ）X 的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)；則n二4 2n -4442n2(X)弋)X 令 2n-127 得 n = 6利用通項(xiàng)公式；再討論而確定有理數(shù)項(xiàng); 例：求二項(xiàng)式（ x - ： x）9展開式中的有理項(xiàng)?題型四

8、:1 1解: Tr 1 二C；(X2)9(-X3)r27 _=(-1)rc；x 丁27 r；令所以當(dāng)r =3時(shí);27 -r6=4 T4 =(-1)3C；x4；-84 x4 .；3二X。27當(dāng)r =9時(shí)； 6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;例:解:練:解:1、nh/X-=）x2展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為 -256 ；求n .你冷n設(shè)3X2展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a0,a1,an,令X則有a。. a1 .an =0,；令x=d,則有a0 - ai a2 一 a37 -1) an = 2 ,將-得:有題意得;2(ai a3 a5) = -2： . a a3= 2n,-2nJ = -2

9、56 = -28 ； . n =9。315X2）的展開式中；所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024 ；求它的中間項(xiàng)。Cn c2吧二CC； W =2n n 1；.2n=1024 ；解得 n =11所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n,n=7 ； 口七（3；）6（1 )561T6 1 =462 x 15題型六：最大系數(shù)；最大項(xiàng);例:已知(22x)n;若展開式中第5項(xiàng)；第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列；求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少?解:* Cn Cn - 2Cn n _21n 98 = 0,解出 n = 7或n =14；當(dāng) n = 7時(shí)；展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5-的系數(shù)乂凈八35T5的系數(shù) 乂

10、；（丄）324 =70,T2當(dāng)n =14時(shí)；展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是18 ；-T8的系數(shù)二齢山勺7 =34322練:在（a b）的展開式中；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?也就是的展開式中；只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大；則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大；則-1=5即n =8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于解：二項(xiàng)式的幕指數(shù)是偶數(shù) 2n ；則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；即例：寫出在（a -小了的展開式中；系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)?解：因?yàn)槎?xiàng)式的幕指數(shù) 7是奇數(shù)；所以中間兩項(xiàng)（第4,5項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等；且同時(shí) 取得最大值；從而有 二-的系數(shù)最小；T5 =C7ab系數(shù)最大。例：若展

11、開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79 ；求（2 2X）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?解:= 79,解出n =12,假設(shè)Tr 1項(xiàng)最大;1 12 1 12 12，(-2x)12 = (?)12(1 4x)12A 1 _ A _ C；24r _G4r r rr :1 r 1A 1 - A 2C124 - C12 4；化簡得到 9.4 _ r _ 10.4 ；又：0 _ r _ 12 ；TT1(1)12C112)410x116896x10r -10 ；展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11,有2練：在（1 - 2x）1C 1的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：假設(shè)Tr 1項(xiàng)最大；-Tr 1二C；0 2xr人人= C；o2

12、r_Co：2：解得 2（1一）_A “-A 2C；o2rr 1_2（10-r）；化簡得到6.3乞乞7.3 ；又;0乞心10； r =7 ；展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T8 C7027x7 -15360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；2 5例：求當(dāng)（x 3x 2）的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)?解法：(X2 3x 2)(x2 2) 3x5 ； Tr 1 二 c；(x2 2)5(3x)r ；當(dāng) 且僅當(dāng) 1124時(shí)；Tr 1的展開式中才有X的一次項(xiàng)；此時(shí)TrT2 -C5(x2) 3x ；所以X得一次項(xiàng)為C；C：243x它的系數(shù)為c5c423=24。解法：(x2 3x 2)5 =(x 1)5(x 2)5 NCfx

13、5 C；x4C/)(c5x5 - C；x42C：25)45544故展開式中含x的項(xiàng)為X的系數(shù)為240.C5xC52 C5x2 = 240x ；故展開式中練：求式子(X計(jì)2)3的常數(shù)項(xiàng)?解:rrTr =C6 ( -1)X6 _L 1 r6 r(門)=(-1) C6lXl6_2rX得 6 -2r =0, r =3,(x +占-2) =Ti)61 17內(nèi)；設(shè)第r +1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)；則n-1)3C； =-20.題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例:求(1 2x)3(1 -X)4展開式中x2的系數(shù).解：(1 2x)3的展開式的通項(xiàng)是cm (2x) cm 2m xm,(1-x)4的展開式的通項(xiàng)是 C4 (-x)n=C

14、4 -1n xn,其中 m =0,123, n =0,123,4,令m n =2,則 m = 0且 n = 2,m =1且門=1,=2且n = 0,因此(12x)3(1-x)4求(13 x)6(1)10展開式中的常數(shù)項(xiàng)的展開式中 x2的系數(shù)等于 c0 2 c2 (-1)2+c3 -21 c4 2、4n(3.5 j )23、5 的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第 項(xiàng).4、(2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和是4、 (2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對值之和實(shí)為(2x+1) 5展開式系數(shù)之和；故令 x=1;則 所求和為35*5、 求(1+x+x 2)(1-x) 10展開式中x4的系數(shù)+210

15、39x4的項(xiàng)；必須第一個(gè)因式中的1與(1-x)9展開式中的項(xiàng)44C9(-X)作積；第一個(gè)因式中的x3與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)1C9(-X)作5、(1+x+x )(1x) =(1x)(1x),要得到含18 / 1214積；故x4的系數(shù)是C9 C9 =135”6、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x) 10展開式中x3的系數(shù)+(1 X)(1 x)2(1X )10x)1-(1 x)10 (x fx 1-(1 X)原式中x3實(shí)為這分子中的x4;則所求系數(shù)為C117、若 f (x) =(1 x)m2時(shí)；x的系數(shù)最小？(1 - x)n(m n N)展開式中;x的系數(shù)為21 ；n為何值7、由條件得m+

16、n=21;2 2 2 2x2的項(xiàng)為CmXCnx ；則cm-C2弋-)2399+4故當(dāng)n=10或11時(shí)上式有最小值；也就是 m=11和 小.自然數(shù)n為偶數(shù)時(shí)；求證：n=10;或m=10 和 n=11時(shí)；x因 n N;2的系數(shù)最9、原式=(c0 cc一cncn)(cc3 v11求80被9除的余數(shù). - Cnj2nnJn2=3.2= 81k _1(k Z)11 11 0 11 1 10 10 . .9、80(81 -1)Cn 81C1181“C1181-111/ k 乙 9k-1 Z;.81 被 9 除余 &10、在(x 2+3x+2)5的展開式中；求 x的系數(shù).10、(x2 3x 2)5 =(x 1)5(x 2)51在(x+1) 5展開式中；常數(shù)項(xiàng)為 1 ;含x的項(xiàng)為C5 = 5x ；在(2+x) 5展開式中；