2018-2019學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2018-2019 學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷 （理科）一、選擇題：本大題共12 個小題，每小題5 分，共 60 分 .在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .（分）設(shè)集合A xN|5+4xx20 ，集合 B0，2 ，則 A B（）1 5A1 ，2B0，2C ?D0，1，22（ 5 分）已知 i 為虛數(shù)單位，實數(shù) x，y 滿足（ x+2i）i yi，則 |x yi|（）A 1BCD3（5分）如圖，已知 ， ， 4 ，3 ，則 （）A BC D4（5 分）設(shè) alog0.10.2，b log1.10.2，d1.10.2，則（）0.2， c1.2A abdcBcadbC

2、 d cdbD cdab5（5 分）已知命題 p：若 a 2 且 b2，則 a+bab；命題 q： ?x0，使（ x1）?2x1，則下列命題中為真命題的是（）A pqB（ p） qC p（ q）D（ p）（ q）6（5 分）設(shè) an 是公差不為 0 的等差數(shù)列，滿足 a42+a52a62+a72，則 an 的前10 項和 S10（）A 10B5C 0D 57（5 分）某四面體三視圖如圖所示，則該四面體的四個面中，直角三角形的面積和是（）第1頁（共 26頁）A2B4CD8（5 分）過雙曲線 C： 1 的右頂點作 x 軸的垂線，與 C 的一條漸近線相交于點 A若以 C 的右焦點為圓心、半徑為4 的

3、圓經(jīng)過 A，O 兩點（ O為坐標(biāo)原點），則雙曲線 C 的方程為（）A1B1C1D19（5 分）已知過點A（a，0）作曲線 C：yx?ex 的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a 的取值范圍是（）A （， 4）（ 0， +）B（0，+）C（， 1）（ 1， +）D（， 1）10（5 分）已知 f（x）sin（x+），其中 0，（0，1）f（x2），f（x0，|x2 x1 minf（x） f（），將 f（x）的圖象向左平移個單|位得 G（x），則 G（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A k，k+ B k+，k+第2頁（共 26頁）Ck+， k+D k+，k+11（ 5 分）焦點為 F 的拋物線 C：y2 8x 的

4、準(zhǔn)線與 x 軸交于點 A，點 M 在拋物線 C 上，則當(dāng)取得最大值時，直線MA 的方程為（）A yx+2 或 y x2Byx+2Cy2x+2 或 y 2x+2D y 2x+212（5 分）已知半徑為 3cm 的球內(nèi)有一個內(nèi)接四棱錐 SABCD，四棱錐 SABCD的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，當(dāng)四棱錐 SABCD 的體積最大時，它的底面邊長等于（）A 2cmB4cmCD 24cm二、填空題（每題5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13（5 分）用 a，b，c 表示空間中三條不同的直線，表示平面，給出下列命題： 若 ab，bc，則 ac； 若 ab，ac，則 bc； 若 a，b，則 ab；

5、 若 a，b，則 ab其中真命題的序號是（請將所有正確命題的序號都填上）14（ 5 分）公元 263 年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖，則輸出n的值為（參考數(shù)據(jù)： sin15 0.2588，sin7.5 0.1305）第3頁（共 26頁）15（ 5 分）已知實數(shù) x， y 滿足，若 z3x+y 的最大值為 5，則正數(shù)m 的值為16（ 5 分）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小

6、的點當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為120根據(jù)以上性質(zhì)， 函數(shù)f（ x）+的最小值為三、解答題（本大題共5 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .）17已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列，首項a1 1，公差 d0若， ， 成等比數(shù)列，且b1 1， b22，b35（ 1）求數(shù)列 bn 的通項公式 bn；（ 2）設(shè) cnlog3（ 2bn1），求和 Tn c1 c2 c2c3+c3c4c4c5+ +c2n 1c2nc2nc2n+118如圖，在 ABC 中， BC 邊上的中線 AD 長為 3，且 BD

7、2，sinB（ 1）求 sinBAD 的值；（ 2）求 cosADC 及 ABC 外接圓的面積第4頁（共 26頁）19如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形， 已知 PAAC2，PAD DAC60， CEAD 于 E（ 1）求證： AD PC；（ 2）若平面 PAD平面 ABCD，且 AD3，求二面角 C PD A 的余弦值20已知橢圓 C：的左、右焦點分別是 E、F，離心率，過點 F 的直線交橢圓 C 于 A、B 兩點， ABE 的周長為 16（ 1）求橢圓 C 的方程；（ 2）已知 O 為原點，圓 D：（x3）2+y2 r2（ r 0）與橢圓 C 交于 M、N 兩點，

8、點 P 為橢圓 C 上一動點，若直線 PM、PN 與 x 軸分別交于 G、H 兩點，求證：|OG|?|OH|為定值21已知函數(shù) f（x） lnx+（） 若函數(shù) f（x）有零點，求實數(shù) a 的取值范圍；（） 證明：當(dāng) a 時， f（ x） ex請考生在 22、 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 22在平面直角坐標(biāo)系中， 曲線 C1：x2y22，曲線 C2 的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標(biāo)原點 O 為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（）求曲線 C1，C2 的極坐標(biāo)方程；（）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線 C1，C2 分別交于 A，B 兩點（異于

9、極點第5頁（共 26頁）O），定點 M（3，0），求 MAB 的面積選修 4-5：不等式選講 23已知函數(shù) f（x） |2xa|，g（x） |bx+1|（ 1）當(dāng) b1 時，若的最小值為 3，求實數(shù) a 的值；（ 2）當(dāng) b 1 時，若不等式 f（x）+g（x） 1 的解集包含，求實數(shù) a的取值范圍第6頁（共 26頁）2018-2019 學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12 個小題，每小題5 分，共 60 分 .在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5 分）設(shè)集合 A xN|5+4xx20 ，集合 B0，2 ，則 A B（

10、）A1 ，2B0，2C?D0，1，2【分析】 化簡集合 A，根據(jù)交集的定義寫出AB【解答】解：集合 A xN|5+4xx20 xN| 1x5 0 ，1，2，3，4 ，集合 B0，2，則 AB0 ，1，2故選： D【點評】 本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題2（ 5 分）已知 i 為虛數(shù)單位，實數(shù) x，y 滿足（ x+2i）i yi，則 |x yi|（）A1BCD【分析】 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，求出x，y 的值，再由復(fù)數(shù)求模公式計算得答案【解答】 解：（ x+2i）i 2+xiyi， x 1， y 2則 |x yi|故選： D【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模

11、的求法， 是基礎(chǔ)題3（5 分）如圖，已知，4，3，則（）ABCD第7頁（共 26頁）【分析】 根據(jù)向量的三角形法和加減的幾何意義即可求出【解答】 解：4，（）+（）+（），故選： B【點評】 本題考查了向量的三角形法和向量的數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題0.11.10.2，d1.10.2，則（）4（5 分）設(shè) alog0.2，b log0.2， c1.2A abdcBcadbC d cdbD cdab【分析】 利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【解答】 解： 0a1，b0，c1，d 1 yx0.2 在 R 上為增函數(shù)， cd，故選： D【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計

12、算能力，屬于基礎(chǔ)題5（5 分）已知命題 p：若 a 2 且 b2，則 a+bab；命題 q： ?x0，使（ x1）?2x1，則下列命題中為真命題的是（）A pqB（ p） qC p（ q）D（ p）（ q）【分析】利用基本不等式的性質(zhì)判斷p 為真命題，由直線 y x1 與函數(shù) y的圖象在（ 0， +）內(nèi)有唯一交點，可得命題q 為真命題，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案【解答】解：若 a 2 且 b2，則且，得+1，即1，從而a+bab，命題 p 為真直線 y x 1 與函數(shù) y的圖象在（ 0，+）內(nèi)有唯一交點，則方程x1有正數(shù)解，即方程（ x1）?2x 1 有正數(shù)解，命題q 為真， p q 為真命

13、題故選： A第8頁（共 26頁）【點評】本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查基本不等式的應(yīng)用， 考查函數(shù)零點的判定方法，是中檔題6（5 分）設(shè) an 是公差不為0 的等差數(shù)列，滿足 a42+a52a62+a72，則 an 的前10 項和 S10（）A 10B5C 0D 5【分析】 a42 52 a62 72 ，化簡可得：，可得 a5 6+a+a+a0，再利用等差數(shù)列通項公式求和公式及其性質(zhì)即可得出【解答】 解： a42+a52a6272，化簡可得：，+a即 2d（ a6+a4） +2d（a7+a5） 0， d 0 a6+a4+a7+a5 0， a5+a6a4+a7， a5+a60， S105（a5

14、+a6） 0，故選： C【點評】本題考查了等差數(shù)列通項公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題7（5 分）某四面體三視圖如圖所示，則該四面體的四個面中，直角三角形的面積和是（）第9頁（共 26頁）A2B4CD【分析】根據(jù)三視圖還原得到原幾何體，分析原幾何體可知四個面中直角三角形的個數(shù)，求出直角三角形的面積求和即可【解答】 解：由三視圖可得原幾何體如圖， PO底面 ABC，平面 PAC底面 ABC，而 BCAC， BC平面 PAC， BCAC該幾何體的高 PO 2，底面 ABC 為邊長為 2 的等腰直角三角形， ACB 為直角所以該幾何體中，直角三角形是底面ABC 和側(cè)面 PB

15、CPC，該四面體的四個面中，直角三角形的面積和故選： C【點評】本題考查了由三視圖還原原圖形， 考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力8（5 分）過雙曲線 C： 1 的右頂點作 x 軸的垂線，與 C 的一條漸近線相交于點 A若以 C 的右焦點為圓心、半徑為4 的圓經(jīng)過 A，O 兩點（ O為坐標(biāo)原點），則雙曲線 C 的方程為（）A1B1C1D1第 10 頁（共 26 頁）【分析】 根據(jù)圓的性質(zhì)，求出圓心坐標(biāo)，即c4 求出 A 的坐標(biāo)，代入圓的方程進(jìn)行求解即可【解答】解：以 C 的右焦點為圓心、半徑為4 的圓經(jīng)過 A，O 兩點（ O 為坐標(biāo)原點），半徑 R c 4，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ x4）2+y2

16、16，A（a，0），y b，即 B（a，b），則（ a4）2+b216，即 a28a+16+b216，即 c28a0，即 8a16，則 a2，b216412，則雙曲線 C 的方程為 1，故選： D【點評】 本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)圓的性質(zhì)先求出半徑c4 是解決本題的關(guān)鍵9（5 分）已知過點A（a，0）作曲線 C：yx?ex 的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a 的取值范圍是（）A （， 4）（ 0， +）B（0，+）C（， 1）（ 1， +）D（， 1）【分析】 設(shè)切點為（ m，mem），求得 yx?ex 的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求出切線方程，代入 A 的坐標(biāo)，整理為 m 的二次方程，由判別

17、式大于 0，解不等式即可得到所求范圍【解答】 解：設(shè)切點為（ m，mem），yx?ex 的導(dǎo)數(shù)為 y（ x+1） ex，可得切線的斜率為（ m+1） em，則切線方程為 ymem（ m+1）em（xm），切線過點 A（a，0）代入得 mem（ m+1） em（am），可得 a ，即方程 m2ma a 0 有兩個解，則有 a2+4a0 可得 a0 或 a 4即 a 的取值范圍是（，4）（ 0，+）第 11 頁（共 26 頁），f（ x1）f（x2）故選： A【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，以及運算能力，屬于中檔題10（5 分）已知 f（x）sin（x+），其中 0

18、，（0，1）f（x2），f（x0，|x2 x1 minf（x） f（），將 f（x）的圖象向左平移個單|位得 G（x），則 G（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A k，k+ B k+，k+Ck+ ， k+D k+，k+【分析】利用正弦函數(shù)的周期性以及圖象的對稱性求得f（ x）的解析式，利用函數(shù) yAsin（x+）的圖象變換規(guī)律求得 G（x）的解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得則 G（x） 的單調(diào)遞減區(qū)間【解答】解： f（x）sin（x+），其中 0，（ 0，0，|x2x1 |min， 2， f（x） sin（2x+）又 f（ x） f（）， f（x）的圖象的對稱軸為 x，2?+k+ ，kZ ， ， f

19、（x） sin（2x+）將 f（ x）的圖象向左平移個單位得 G（ x） sin（ 2x+） cos2x 的圖象，令 2k2x2k+，求得 k xk+，則 G（ x） cos2x 的單調(diào)遞減區(qū)間是k，k+ ，故選： A【點評】 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性以及圖象的對稱性，函數(shù)y Asin（x+）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題11（ 5 分）焦點為 F 的拋物線 C：y2 8x 的準(zhǔn)線與 x 軸交于點 A，點 M 在拋物第 12 頁（共 26 頁）線 C 上，則當(dāng)取得最大值時，直線MA 的方程為（）A yx+2 或 y x2Byx+2Cy2x+2 或 y 2x+2D y 2x+2

20、【分析】由題意可知則當(dāng)取得最大值，則 MAF 必須取得最大值， 此時 AM與拋物線相切，設(shè)直線l 的方程，代入拋物線方程，由0，考慮求得MA的方程【解答】解：過 M 做 MP 與準(zhǔn)線垂足，垂足為P，則，則當(dāng)取得最大值，則 MAF 必須取得最大值，此時AM 與拋物線相切，設(shè)切線方程為 yk（x+2），則，ky28y+16k0，22 64 64k 0，k 1，則 k1，則直線方程 yx+2 或 y x2，【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)， 直線與拋物線的位置關(guān)系， 考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題12（5 分）已知半徑為 3cm 的球內(nèi)有一個內(nèi)接四棱錐 SABCD，四棱錐 SABCD的側(cè)棱長都相等，底面是

21、正方形，當(dāng)四棱錐 SABCD 的體積最大時，它的底第 13 頁（共 26 頁）面邊長等于（）A 2cmB4cmCD 24cm【分析】由題意畫出圖形，設(shè)四棱錐的底面邊長為2a，高為 h（ 0 h 6），可得2a2+h26h，寫出棱錐體積，把a(bǔ) 用 h 表示，再由導(dǎo)數(shù)求解得答案【解答】 解：如圖，設(shè)四棱錐的底面邊長為2a，高為 h（0h6），則底面正方形外接圓的半徑為a，側(cè)棱長 SA，由射影定理可得： 2a2+h2 6h，則四棱錐 SABCD 的體積 V4a2h（ 12h 2h2） hh3+4h2（0h6），則 V 2h2+8h，可得當(dāng) h4 時， V 有最大值，此時 2a224168，a2，則底

22、面邊長等于 4cm故選： B【點評】本題考查球內(nèi)接多面體體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了導(dǎo)數(shù)在求最值問題中的應(yīng)用，是中檔題二、填空題（每題5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13（5 分）用 a，b，c 表示空間中三條不同的直線，表示平面，給出下列命題： 若 ab，bc，則 ac； 若 ab，ac，則 bc； 若 a，b，則 ab； 若 a，b，則 ab其中真命題的序號是（請將所有正確命題的序號都填上）第 14 頁（共 26 頁）【分析】 可利用長方體來觀察； 由空間平行線的傳遞性可得； 垂直同一平面的兩直線互相平行【解答】 解： 若 ab，bc，則 a c， a c，

23、a 與 c 異面都有可能； 若 ab，ac，由公理 4 得 bc； 若 a，b，則 ab，ab，a 與 b 異面都有可能； 若 a，b，則 ab，由課本例題可知故答案為： 【點評】本題考查空間線線和線面的位置關(guān)系，考查空間想象力，注意課本例題，有的可當(dāng)結(jié)論用，屬于基礎(chǔ)題和易錯題14（ 5 分）公元 263 年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)” 利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖，則輸出 n 的值為 24 （參考數(shù)據(jù)： sin

24、15 0.2588， sin7.5 0.1305）【分析】 列出循環(huán)過程中 S 與 n 的數(shù)值，滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得n6，S3sin60，第 15 頁（共 26 頁）不滿足條件 S3.10， n 12，S6sin30 3，不滿足條件 S3.10， n 24，S12sin15 120.25883.1056，滿足條件 S3.10，退出循環(huán)，輸出 n 的值為 24故答案為： 24【點評】本題考查循環(huán)框圖的應(yīng)用， 考查了計算能力， 注意判斷框的條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題15（ 5 分）已知實數(shù) x， y 滿足，若 z3x+y 的最大值為 5，則正數(shù)m 的值為2【分析

25、】由題意作出其平面區(qū)域，將 z3x+y 化為 y 3x+z，z 相當(dāng)于直線 y3x+z 的縱截距，從而解方程可求出 m，即可【解答】 解：由題意作出實數(shù)x， y 滿足的平面區(qū)域，將 z 3x+y 化為 y 3x+z， z 相當(dāng)于直線 y 3x+z 的縱截距，故結(jié)合圖象可得，解得， x1，y2；故 m2；故答案為： 2第 16 頁（共 26 頁）【點評】 本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，屬于中檔題16（ 5 分）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為120根據(jù)以

26、上性質(zhì)， 函數(shù)f（ x）+的最小值為2+【分析】 由兩點距離公式可得f （x）表示點（ x，y）到點（ 1，0），（ 1， 0），（0，2）的距離之和，由新定義可得f（x）的最小值點即為費馬點，由解三角形可得所求最小值【解答】 解：由兩點間的距離公式得f（x）+為點（ x，y）到點 B（1，0）， A（ 1，0）， C（0，2）的距離之和，即求點（ x，y）到點（ 1，0），（ 1， 0），（0，2）的距離之和的最小值，取最小值時的這個點即為這三個點構(gòu)成的三角形的費馬點，如右圖，在等腰三角形 AMB 中， AMB 120，可得 AMBM，CM2MO2，容易求得最小值為+22+故答案為： 2+【

27、點評】本題考查兩點的距離公式的運用，考查新定義的理解和運用， 以及運算能力，屬于中檔題三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .）n1 1，公差 d0若， ，17已知數(shù)列 a 為等差數(shù)列，首項a， 成等比數(shù)列，且b1 1， b22，b35第 17 頁（共 26 頁）（ 1）求數(shù)列 bn 的通項公式 bn；（ 2）設(shè) cnlog3（ 2bn1），求和 Tn c1 c2 c2c3+c3c4c4c5+ +c2n 1c2nc2nc2n+1【分析】（1）由已知得（ 1+d）21（ 1+4d），從而 d2，q3，由此能求出（ 2）由 cn log3（2bn1）

28、 n1，Tn c2（c1c3） +c4（ c3c5）+c6（c5 c7） + +c2n（ c2n 1c2n+1） 2（ c2+c4+ +c2n），能求出 Tn【解答】 解：（1）數(shù)列 an 為等差數(shù)列，首項a11，公差 d0ab1，ab2，ab3， ， abn， 成等比數(shù)列，且b11，b22，b35，（ 1+d） 2 1（ 1+4d），1+2d+d21+4d，解得 d2 或 d 0（舍）， q 3 （ 3 分）， （6分）（ 2） cn log3（2bn1） n 1 （ 7 分），Tn c2（c1c3） +c4（c3c5） +c6（ c5c7）+c2n（ c2n 1 c2n+1） 2（c2 +

29、c4+c2n） 21+3+5+（ 2n1） 2n2 （ 12 分）【點評】本題考查數(shù)列的通項公式和前n 項和公式的求法， 是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用18如圖，在 ABC 中， BC 邊上的中線 AD 長為 3，且 BD2，sinB（ 1）求 sinBAD 的值；（ 2）求 cosADC 及 ABC 外接圓的面積第 18 頁（共 26 頁）【分析】（1）由正弦定理即可解得sinBAD 的值；（ 2）先求得 cosB， cos BAD，利用兩角和的余弦函數(shù)公式可求 cosADC，由題意可求 DC BD 2，利用余弦定理即可求得 AC 的值，再根據(jù)正弦定理求出

30、外接圓的半徑，面積即可求出【解答】 解：（1）在 ABD 中， BD2，sinB， AD 3，由正弦定理，得 sinBAD；（ 2） sinB， cosB， sinBAD， cosBAD， cos ADC cos（ B+ BAD）， （ 9 分） D 為 BC 中點， DCBD2，在 ACD 中，由余弦定理得： AC2 AD2+DC22AD?DCcosADC9+4+316， AC 4設(shè) ABC 外接圓的半徑為R，2R， R， ABC 外接圓的面積 S（?）2【點評】此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵19如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD

31、為平行四邊形， 已知 PAAC2，PAD DAC60， CEAD 于 E（ 1）求證： AD PC；（ 2）若平面 PAD平面 ABCD，且 AD3，求二面角 C PD A 的余弦值第 19 頁（共 26 頁）【分析】（1）連接 PE，證明 PAE CAE，可得 PEA CEA，由 CEAD，得 PE AD，由線面垂直的判定可得 AD平面 PCE，從而得到 ADPC；（ 2）由 AD平面 PEC，平面 PAD平面 ABCD，可得 EP，EA，EC 兩兩垂直，以 E 為原點， EA，EC，EP 分別為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面 PCD 與平面 PAD 的一個法向

32、量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角 C PD A 的余弦值【解答】（1）證明：連接 PE， PAAC， PAD CAD， AE 是公共邊， PAE CAE， PEA CEA， CE AD， PE AD，又 PE? 平面 PCE，CE? 平面 PCE， PE CE E， AD平面 PCE，又 PC? 平面 PCE， AD PC；（ 2）解：由 AD平面 PEC，平面 PAD平面 ABCD， EP，EA，EC 兩兩垂直，以 E 為原點， EA，EC，EP 分別為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示 PAAC2， PAD CAD 60， AD 3， AE1， DE 2，則 E

33、（0，0，0），D（2，0，0），設(shè)平面 PCD 的法向量為，第 20 頁（共 26 頁）則，即，令，則，又平面 PAD 的一個法向量為，設(shè)二面角 CPDA 所成的平面角為，則，由圖可知二面角CPDA 是銳角，故二面角 CPDA 的余弦值為【點評】本題考查空間中線面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的大小，是中檔題20已知橢圓 C：的左、右焦點分別是 E、F，離心率，過點 F 的直線交橢圓 C 于 A、B 兩點， ABE 的周長為 16（ 1）求橢圓 C 的方程；（ 2）已知 O 為原點，圓 D：（x3）2+y2 r2（ r 0）與橢圓 C 交于 M、N 兩點

34、，點 P 為橢圓 C 上一動點，若直線 PM、PN 與 x 軸分別交于 G、H 兩點，求證：|OG|?|OH|為定值【分析】（1）利用橢圓的定義可求出a 的值，再利用離心率求出c，從而得出 b的值，從而求出橢圓方程；（ 2）先設(shè) M、P 兩點的坐標(biāo)，再表示處N 點的坐標(biāo)，根據(jù)橢圓方程用M、P 的縱坐標(biāo)表示處它們的橫坐標(biāo)，之后利用直線PM 和 PN的方程求出 G和 H 的橫坐標(biāo)，最后即可求得 |OG|?|OH|為定值【解答】 解：（1）由題意和橢圓的定義得第 21 頁（共 26 頁）|AF|+|AE|+|BF|+|BE|4a16，則 a4，由，解得，則 b2a2 c29，所以橢圓 C 的方程為；

35、（ 2）證明：由條件可知， M， N 兩點關(guān)于 x 軸對稱，設(shè) M（x1， y1）， P（ x0，y0），則 N（x1， y1），由題可知，所以，又直線 PM 的方程為，令 y0 得點 G 的橫坐標(biāo)，同理可得 H 點的橫坐標(biāo)，所以 |OG|?|OH| |?|16，即 |OG|?|OH|為定值【點評】本題考查了橢圓的定義和性質(zhì)，證明題關(guān)鍵在于正確設(shè)出點的坐標(biāo)，利用橢圓方程和直線方程正確表示出點的坐標(biāo)，屬于中檔題21已知函數(shù) f（x） lnx+（）若函數(shù) f（x）有零點，求實數(shù)a 的取值范圍；（）證明：當(dāng) a時， f（ x） ex第 22 頁（共 26 頁）【分析】（）法一：求出函數(shù) f（x）的導(dǎo)

36、數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 a 的范圍即可；法二：求出 a xlnx，令 g（x） xlnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 a 的范圍即可；（）問題轉(zhuǎn)化為 xlnx+axe x，令 h（ x） xlnx+a，令 （x）xe x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可【解答】 解：（）法 1：函數(shù)的定義域為（ 0， +）由，得 （ 1 分）因為 a0，則 x（ 0， a）時， f（x） 0；x（a，+）時， f（ x） 0所以函數(shù) f（ x）在（ 0，a）上單調(diào)遞減，在（ a，+）上單調(diào)遞增 （ 2 分）當(dāng) xa 時， f（ x） min lna+1 （ 3 分）當(dāng) lna+10，即 0 a 時，又 f（1）ln1+a

37、a0，則函數(shù) f（ x）有零點 （4 分）所以實數(shù) a 的取值范圍為 （ 5 分）法 2：函數(shù)的定義域為（ 0，+）由，得 a xlnx （ 1 分）令 g（x） xlnx，則 g（ x）（ lnx+1）當(dāng)時， g（x） 0； 當(dāng)時， g（x） 0所以函數(shù) g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 （ 2 分）故時，函數(shù) g（ x）取得最大值 （ 3 分）因而函數(shù)有零點，則 （ 4 分）所以實數(shù) a 的取值范圍為 （ 5 分）（） 要證明當(dāng)時， f（ x） e x，即證明當(dāng) x 0，時， x分），即 xlnx+a xe （ 6令 h（x） xlnx+a，則 h（x） lnx+1當(dāng)時， f（x） 0；當(dāng)時， f（ x） 0第 23 頁（共 26 頁）所以函數(shù) h（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時， （ 7 分）于是，當(dāng)時， （8分）xx x x（ 1 x）令 （x） xe，則 （x） exe e當(dāng) 0x 1 時， f（x） 0；當(dāng) x1 時， f（ x） 0所以函數(shù) （x）在（ 0， 1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減當(dāng) x1 時， （ 9 分）于是，當(dāng) x 0 時， （ 10 分）顯然，不等式 、 中的等號不能同時成立 （ 11