初中數(shù)學競賽：含絕對值的方程及不等式

1、初中數(shù)學競賽：含絕對值的方程及不等式從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點離開原點的距離但除零以外，任一個絕對值都是表示兩個不同數(shù)的絕對值即一個數(shù)與它相反數(shù)的絕對值是一樣的由于這個性質(zhì)，所以含有絕對值的方程與不等式的求解過程又出現(xiàn)了一些新特點本講主要介紹方程 與不等式中含有絕對值的處理方法一個實數(shù) a 的絕對值記作a，指的是由 a 所唯一確定的非負實數(shù)：含絕對值的不等式的性質(zhì)：(2) a-ba+ba+b；(3) a-ba-ba+b由于絕對值的定義，所以含有絕對值的代數(shù)式無法進行統(tǒng)一的代數(shù)運算通常的手法是分別按照絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負情況，脫去絕時值符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的代數(shù)式

2、進行運算，即含有絕對值的方程與不等式的求解，常用分類討論法在進行分類討論 時，要注意所劃分的類別之間應(yīng)該不重、不漏下面結(jié)合例題予以分析例 1 解方程x-2+2x+1=7分析 解含有絕對值符號的方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，這可用“零掉絕對值符號再求解解(1)當 x2 時，原方程化為 (x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7應(yīng)舍去-(x-2)-(2x+1)=7說明 若在 x 的某個范圍內(nèi)求解方程時，若求出的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則這樣 的解不是方程的解，應(yīng)舍去例 2 求方程x-2x+1=3 的不同的解的個數(shù)為只含有一個絕對值符號的方程然后再去掉外層的絕對值符號求解 x-(2x

3、+1)=3，即 1+x=3，所以 x=2 或 x=-4x+(2x+1)=3，即 3x+1=3，的個數(shù)為 2例 3 若關(guān)于 x 的方程x-2-1=a 有三個整數(shù)解則 a 的值是多少？解 若 a0，原方程無解，所以 a0由絕對值的定義可知x-2-1=a，所以 x-2=1a(1)若 a1，則x-2=1-a0，無解x-2=1a，x 只能有兩個解 x=3+a 和 x=1-a (2)若 0a1，則由x-2=1+a，求得x=1-a 或 x=3+a；由x-2=1-a，求得x=1+a 或 x=3-a原方程的解為 x=3+a，3-a，1+a，1-a，為使方程有三個整數(shù)解，a 必為整數(shù)，所以 a只能取 0 或 1當

4、 a=0 時，原方程的解為 x=3，1，只有兩個解，與題設(shè)不符，所以a0當 a=1 時，原方程的解為 x=4，0，2，有三個解綜上可知，a=1例 4 已知方程x=ax+1 有一負根，且無正根，求 a 的取值范圍解 設(shè) x 為方程的負根，則-x=ax+1，即所以應(yīng)有 a-1反之，a-1 時，原方程有負根 設(shè)方程有正根 x，則 x=ax1，即所以 a1反之，a1 時，原方程有正根綜上可知，若使原方程有一負根且無正根，必須 a1例 5 設(shè)求 x+y分析 從絕對值的意義知兩個非負實數(shù)和為零時，這兩個實數(shù)必須都為零 解 由題設(shè)有把代入得解之得 y=-3，所以 x=4故有 x+y=4-3=1例 6 解方程

5、組分析與解 由得 x-y=1 或 x-y=-1，即 x=y+1 或 x=y-1與結(jié)合有下面兩個方程組解()：把 x=y+1 代入x+2y=3 得 y+1+2y=3組()的解為同理，解()有故原方程組的解為例 7 解方程組解 由得x+y=x-y+2因為x-y0，所以 x+y0，所以x+y=x+y 把代入有x+y=x+2，所以 y=2將之代入有x-2=x，所以x-2=x， 或 x-2=-x 無解，所以只有解得 x=1故為原方程組的解說明 本題若按通常的解法，區(qū)分 x+y0 和 x+y0 兩種情形，把方程分成兩個不同的方程 x+y=x+2 和-(x+y)=x+2，對方程也做類似處理的話，將很麻煩上面

6、的解法充分利用了絕對值的定義和性質(zhì)，從方程中發(fā)現(xiàn)必有 x+y0，因而可以立刻消去方程中的絕 對值符號，從而簡化了解題過程例 8 解不等式x-5-2x+31x5，x5-(x-5)-(2x+3)1，-(x-5)-(2x+3)1，(3)當 x5 時，原不等式化為x-5-(2x+3)1，解之得 x-9，結(jié)合 x5，故 x5 是原不等式的解的解例 9 解不等式 13x-52分析與解 此不等式實際上是解 對3x-51：對3x-52：所以與的公共解應(yīng)為例 10 解不等式x+3-x-33解 從里往外去絕對值符號，將數(shù)軸分為 x-3，-3x3，x3 三段來討論，于是原 不等式化為如下三個不等式組即 x-3即 x

7、3說明 本題也可以由外向內(nèi)去絕對值符號，由絕對值的意義，解下面兩個不等式分別解出和即可，請同學們自己完成這個解法例 11 當 a 取哪些值時，方程x+2+x-1=a 有解？ 解法 1 (1)當 x-2 時，x+2+x-1=-2x-1-2(-2)-1=3(2)當-2x1 時，x+2+x-1=x+2-x+1=3(3)當 x1 時，x+2+x-1=2x+121+1=3所以，只有當 a3 時，原方程有解解法 2 按照絕對值的性質(zhì)a-ba+b，故 x+2+x-1(x+2)-(x-1)=3其中等號當-2x1 時成立，所以當 a3 時，原方程有解【練習】1解下列方程：(1) x+3-x-1=x+1；(2) 1+x-1=3x；(