二次函數(shù)與一元二次方程典例解析

1、二次函數(shù)與一元二次方程典例解析安徽 李慶社涉x0一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根，它是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。利用作一元二次函數(shù)的圖象可以求出一元二次方程的近似解。例1作出二次函數(shù)y=x2-x-6的圖象，觀察圖象回答，x分別為何值時(shí)（1）y0，(2)y=0，(3)y0?思路與技巧先作出二次函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象回答問(wèn)題.解對(duì)應(yīng)值表與圖象如下由對(duì)應(yīng)值表與圖象可以知道，當(dāng)x=-2，或x=3時(shí)，y=0，即x2-x-6=0；當(dāng)x-2，或x3時(shí)，y0，即x2-x-60；當(dāng)-2x3時(shí)，y0，即x2-x-60這就是說(shuō)，如果拋物線y=x2-x-6與x軸的交點(diǎn)是(-2，0)

2、與(3，0)，那么，一元二次方程x2-x-6=0的解就是x1=-2，x2=3點(diǎn)評(píng)我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，設(shè)=b2-4ac，它的解按照0，=0，0分為三種情況相應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的相關(guān)位置也分為三種情況(如圖)，因此，分這三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c0的解.例2利用圖象解方程x2+2x-100。思路與技巧二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖像與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)在-5與-4之間，另一個(gè)在2于3之間，所以方程x2+2x-10=0的一個(gè)根在-5與-4之間，另一個(gè)在2與3之間.這只是大概范圍，究竟更近于哪一個(gè)數(shù)呢?先求-5與-4之間

3、的根，列表如下，作出函數(shù)的圖象：x-4.1-4.2-4.3-4.4y -1.39-0.76-0.110.56x=-4.3是方程的一個(gè)近似根。再求2與3之間的根x2.12.22.32.4y-1.39-0.76-0.110.56x=2.3是方程的另一個(gè)近似根確定方程x2+2x-10=0的解，用求根公式求是多少由此可知，方程x2+2x-10=0的近似根為:x1-4.3，x22.3.點(diǎn)評(píng)如何利用二次函數(shù)的圖象估計(jì)一元二次方程的兩根的值？基本步驟是什么？(1)畫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象；(2)根據(jù)圖象確定拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間(1)如果0，此時(shí)拋

4、物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(圖23.43(1)，即方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1x2)(2)如果=0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（圖23.43（2），即方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=-.(3)如果0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)(圖23.43(3)，即方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)數(shù)根例3二次函數(shù)yx2+2x，y=x2-2x+1，yx2-2x+2的圖象如圖4所示(1)每個(gè)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)?(2)一元二次方程x2+2x0，x2-2x+10有幾個(gè)根?解方程驗(yàn)證一下：一元二次方程x2-2x+2

5、=0有根嗎?(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c0的根有什么關(guān)系?思路與技巧(1)二次函數(shù)y=x2+2x，y=x2-2x+1y=x2-2x+2的圖象與x軸分別有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)，(2)一元二次方程x2+2x=0有兩個(gè)根0，-2；方程x2-2x+1=0有兩個(gè)相等的根1或一個(gè)根1；方程x2-2x+2=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根(3)從觀察圖象和討論中可知，二次函數(shù)yx2+2x的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，0)，(-2，0)，方程x2+2x=0有兩個(gè)根0，-2；解二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，方

6、程x2-2x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(或一個(gè)根)1；二次函數(shù)y=x2-2x+2的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，方程x2-2x+20沒(méi)有實(shí)數(shù)根由此可知，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根點(diǎn)評(píng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)當(dāng)二次函數(shù)yax2+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根例4用圖象法求一元二次方程2x2-4x-1=0的近似解思路與技巧（1）設(shè)y=2x2-4x-1，使y=0的x值即方程2x2-4x-1=0的解（2）化簡(jiǎn)2x2-4x-1=0，得x22x+設(shè)y1=x2，y2=2x+，它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程x2=2x+的解.解法一：設(shè)y=2x2-4x-1.畫出拋物線y=2x2-4x-1.由圖象知，當(dāng)x2.2或x-0.2時(shí)，y=0. 即方程2x2-4x-1=0的近似解為x12.2，x2-0.2.解法二：將2x2-4x-1=0化簡(jiǎn)，得2x2=4x+1，x2=2x+.在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=x2和y=2x+的圖象如圖所示.拋物線y=x2與直線y=2x+交于a、b，過(guò)a、b分別作x軸的垂線，垂足橫坐標(biāo)約為2