高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動(dòng)觀感

1、對“新課程”的憂思高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動(dòng)觀感 11月19日，本人有幸作為評委參加了2009年江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動(dòng)。我參加了高一組的“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”（第一課時(shí)）的聽課和評課的工作，共聽了7節(jié)課，感想良多。其中最大的憂慮是：新課程在高中推進(jìn)已經(jīng)超四年了，可我們的教師對新課程的理念（當(dāng)然并不是新理念，因?yàn)槠渌珜?dǎo)的很多理念大多有著超過50年的歷史，應(yīng)該說成“正確理念”更為恰當(dāng)）還沒有能力落實(shí)，對教學(xué)內(nèi)容、體系、要求的變化還沒有了解。下面從幾個(gè)片斷談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)想法，供參考。1從問題情境的創(chuàng)設(shè)看對學(xué)生認(rèn)知與教學(xué)目標(biāo)的定位 7名教師中有6人是從指定角的三角函數(shù)值

2、的求法開始的，如提出問題“如何求sin390o？”有些是直接提出求這個(gè)三角函數(shù)值的要求，有的要求學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為某個(gè)銳角的三角函數(shù)，還有個(gè)別教師更是提出了幾個(gè)絕對很大的角的三角函數(shù)求值問題。 對于第一種提出問題的方法，其實(shí)沒有任何“問題”存在，因?yàn)橹灰糜?jì)算器，無論是正角還是負(fù)角、無論絕對值多大的角，都能夠在很短的時(shí)間內(nèi)解決；第二種提問方式同樣沒有“問題”存在，因?yàn)榭梢灾苯佑糜?jì)算器得到結(jié)果，何需“轉(zhuǎn)化”？對第三種方式，設(shè)計(jì)者的意圖顯然是為了“難住”學(xué)生，然后來個(gè)“你不會(huì)，聽我道來”的說書式開場白。如果真能難住學(xué)生，那一定是學(xué)生沒有使用計(jì)算器的習(xí)慣，這與目前江蘇考試不準(zhǔn)用計(jì)算器是有密切關(guān)系的。正如

3、同放著手機(jī)不準(zhǔn)用，放著汽車不準(zhǔn)開，卻讓所有人都“通訊靠吼，交通靠走”一樣，哪有一點(diǎn)培養(yǎng)現(xiàn)代人的意識(shí)？這從個(gè)別教師印了個(gè)數(shù)學(xué)用表讓學(xué)生查表求sin40o可以看出“教師中心”仍然是那么地頑固，眼里哪有學(xué)生的自主選擇？可見，這樣設(shè)計(jì)根本沒有考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。 當(dāng)然，也有令人欣喜的“亮點(diǎn)”，我們這組有一位教師的問題情境是這樣的： 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)的概念。三角函數(shù)是以圓周運(yùn)動(dòng)為原型，為了刻畫周期性運(yùn)動(dòng)而建立的數(shù)學(xué)模型。那么，周期性是怎樣體現(xiàn)在三角函數(shù)的概念之中的？ 事實(shí)上，無論是哪種課程標(biāo)準(zhǔn)高中數(shù)學(xué)教材，都是將三角函數(shù)作為一種“數(shù)學(xué)模型”來研究的，蘇教版教材更是將三角函數(shù)一章的學(xué)習(xí)定位在

4、“建立刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”這一層面上。在建立了三角函數(shù)的概念后，這樣一個(gè)模型就已經(jīng)建立了，下面要研究的問題理所當(dāng)然就應(yīng)該是“三角函數(shù)是如何刻畫周期性現(xiàn)象的？”“刻畫周期性現(xiàn)象的這一數(shù)學(xué)模型有著怎樣的性質(zhì)？”這是數(shù)學(xué)研究的基本過程。無論是同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，還是誘導(dǎo)公式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，包括后面一章的“三角變換”，其實(shí)都是在研究三角函數(shù)所具有的性質(zhì)。因此，筆者認(rèn)為，這位教師提出的本節(jié)課的“主問題”實(shí)在是對課程目標(biāo)的最好定位！ 另一方面，這樣的問題情境其實(shí)已經(jīng)起到了“先行組織者”的作用，對數(shù)學(xué)元認(rèn)知起點(diǎn)的選擇基于知識(shí)體系的最本源的地方，因?yàn)樽鳛閷W(xué)生，當(dāng)其從全章的整體結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)研

5、究的基本過程的角度，就應(yīng)該到了提出這樣的問題的時(shí)候了。也就是說，這樣的問題是學(xué)生能夠提出的問題，至少在學(xué)生進(jìn)行反思時(shí)可以感覺到“我應(yīng)該提出這樣的問題”。遺憾的是，我們的教育已經(jīng)將學(xué)生自覺思考學(xué)科內(nèi)容的研究方向、主動(dòng)提出研究課題的意識(shí)已經(jīng)基本喪失了。章建躍老師在其“有效改進(jìn)課堂教學(xué)”（暨第四屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動(dòng)綜述）一文中要求：“數(shù)學(xué)教學(xué)要將知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體?！彼J(rèn)為這是完全可以做到的，“關(guān)鍵是要提高課堂教學(xué)的思想性”（筆者說明：這里并不是指政治思想）、“具體操作時(shí)，要加強(qiáng)先進(jìn)組織者的使用?！睆暮髞淼恼f課比賽中選手們紛紛說明自己是如何滲透數(shù)學(xué)思想方法的情況看，從

6、數(shù)學(xué)思想高度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)已成為廣大教師的自覺行為了。現(xiàn)在的問題是要提高對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和把握的能力，要將教學(xué)設(shè)計(jì)的立意建立在最本質(zhì)的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神之上。2從探究方式的選擇看學(xué)生思維發(fā)展的效能 在三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的探究過程方面，大多數(shù)教師選擇了從特殊到一般的思路，只有一位教師是從一般到特殊進(jìn)行的，這是因?yàn)槌跏紗栴}的不同而出現(xiàn)的必然結(jié)果。 對于從特殊到一般的探究方式，就有一個(gè)將其中的角一般化的問題，因此，最后總要問上一句：這些公式對任意的角a是否都成立呢？ 對于從一般到特殊的探究方式，因?yàn)槠涑跏紗栴}是基于“探究三角函數(shù)所具有的性質(zhì)”的，所以其過程就很自然地針對一般性的情形展開了： 提出問題1

7、：已知任意角a，觀察角a的終邊繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程，在這一過程中，有哪些東西會(huì)周而復(fù)始的重復(fù)出現(xiàn)？ 如果需要，再提出啟發(fā)性問題：角的終邊的位置會(huì)“周而復(fù)始”嗎？三角函數(shù)值會(huì)“周而復(fù)始”嗎？（說明：該校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較差，是一所普通學(xué)校）由此探索出公式一，再提出問題：a角與a+2kp（kz）的同名三角函數(shù)值為什么相等呢？學(xué)生自然地想到用三角函數(shù)的定義進(jìn)行證明。 最后進(jìn)行解決問題的思維線路的小結(jié)：角之間的數(shù)量關(guān)系a與a+2kp(kz（數(shù)量關(guān)系）終邊位置重合（形的關(guān)系）終邊上點(diǎn)和坐標(biāo)p(x,y)和p(x,y)（數(shù)量關(guān)系）三角函數(shù)值間的關(guān)系（公式一）（數(shù)量關(guān)系） 接下去的幾個(gè)主要問題是： 問題2：轉(zhuǎn)整圈

8、，同名三角函數(shù)值周而復(fù)始，那么轉(zhuǎn)半圈呢？（學(xué)生研究后發(fā)現(xiàn)，正切值周而復(fù)始，正弦與余弦值都發(fā)生了變化，并發(fā)現(xiàn)了變化規(guī)律） 問題3：轉(zhuǎn)半圈的實(shí)質(zhì)是關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么是否存在具有其它的對稱關(guān)系時(shí)有三角函數(shù)值周而復(fù)始的性質(zhì)呢？（學(xué)生研究后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)角的終邊分別關(guān)于x軸、y軸對稱時(shí)，分別有余弦值周而復(fù)始、正弦值周而復(fù)始，）很明顯，在接下來的應(yīng)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值時(shí)，當(dāng)然就是將所得到的公式特殊化就可以了。因此，從思維過程看，后者顯然少了一個(gè)環(huán)節(jié)，而其對數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟卻一點(diǎn)也沒有少。更為重要的是，如果在前兩個(gè)公式用上述過程解決后，對后面的兩個(gè)公式完全可以“倒”過來提要求：讓學(xué)生按照上述路線圖進(jìn)行獨(dú)立的探索，

9、亦即從已有的研究過程中發(fā)現(xiàn)思維規(guī)律，并用以指導(dǎo)進(jìn)一步的探究性思維活動(dòng)。有了這樣的過程，在整個(gè)探索過程中既有前者所具有的對客體（客觀事物）進(jìn)行思維（即將客觀事物作為思維的對象），更有了對自己的思維過程或操作過程進(jìn)行思維（對自我活動(dòng)，包括思維活動(dòng)）的再思維（即反思性思維），還具有了將思維成果進(jìn)行運(yùn)用（用以指導(dǎo)新的思維活動(dòng)）的過程，這樣的思維訓(xùn)練無疑具有很高價(jià)值的。（當(dāng)然，上課者并未進(jìn)行這樣的處理，這只是本人的設(shè)想。）正如上節(jié)所說，上述案例是基于對數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)進(jìn)行探索，從模型的幾何特征與代數(shù)表征之間的統(tǒng)一性的角度進(jìn)行研究的，因此，這樣的“有意義的學(xué)習(xí)”過程對促進(jìn)學(xué)生對思維規(guī)律的把握、數(shù)學(xué)研究方法的

10、認(rèn)識(shí)等方面都是有著巨大的促進(jìn)作用的。同樣，思維訓(xùn)練的效能的高低也是由對教學(xué)內(nèi)容的理解深度而確定的教學(xué)定位、立意決定的。3從是由功能目標(biāo)定位探究方向，還是先探究性質(zhì)，再研究（或發(fā)現(xiàn)）所具有的功能看對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的影響 有些教師是從“轉(zhuǎn)化”的角度（向第一象限的角轉(zhuǎn)化）進(jìn)行思維導(dǎo)向的，也就是通過功能目標(biāo)明確探究的方向，另一些教師則抓住探索三角函數(shù)的性質(zhì)這一主線，不斷地從終邊的位置關(guān)系、角間的關(guān)系、角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系、三角函數(shù)值的關(guān)系進(jìn)行探索的。表面上看，前者目標(biāo)明確，指向明顯，更利于學(xué)生探究性活動(dòng)的開展，但后者則能在更高層次上促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)感悟和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因?yàn)榍罢咚哂械摹?/p>

11、轉(zhuǎn)化”的策略已經(jīng)為后者所包括，而后者則是基于從整體上認(rèn)識(shí)三角函數(shù)這一刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型而展開的，是對數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)的研究。 由數(shù)學(xué)發(fā)展史我們可以看到，在數(shù)學(xué)發(fā)展到?jīng)]有絕對真理的階段后，構(gòu)建模式成為數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要方式（向）。有些數(shù)學(xué)模式在建立時(shí)人們并不知道其有何作用，有些甚至到目前為止還不知道它們有何作用，但有些卻為后續(xù)的研究者提供了思想的載體、數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)。如非歐幾何對相對論的創(chuàng)立的作用就是典型的例證（黎曼幾何成為愛因斯坦相對論理論的數(shù)學(xué)模型）。因此，這種構(gòu)建模式而不知何用的過程其實(shí)是數(shù)學(xué)的理性精神與審美追求的過程，更何況這種構(gòu)建并非毫無目的的，而是在主問題的引導(dǎo)下的自然發(fā)展。就本節(jié)課

12、而言，并不影響在后續(xù)的運(yùn)用過程中體驗(yàn)其在“轉(zhuǎn)化”方面的價(jià)值。我們應(yīng)該明確這樣的觀念：數(shù)學(xué)在育人方面的功能價(jià)值主要還是取決于它的文化價(jià)值，而不是在于它的應(yīng)用功能。因?yàn)橐粋€(gè)人，甚至一個(gè)民族，文化習(xí)慣對其創(chuàng)造意識(shí)與能力有著巨大的影響。曾經(jīng)擔(dān)任過十多年北京大學(xué)校長的蔣夢璘先生深刻剖析了實(shí)用主義對中國的發(fā)展的影響，蔣先生如是說：“在中國，發(fā)明常止于直接的實(shí)際用途，我們不像希臘人那樣在原理原則上探討；也不像現(xiàn)代歐洲人那樣設(shè)法從個(gè)別的發(fā)現(xiàn)中歸納出普遍的規(guī)律，。中國人一旦達(dá)到一件新的發(fā)明的實(shí)用目的，就會(huì)馬上止步不前：因此，中國科學(xué)的發(fā)展是孤立無援的，也沒有科學(xué)思想作為導(dǎo)向明燈。科學(xué)發(fā)展在中國停滯不前，就因?yàn)槲?/p>

13、們太重實(shí)際。（西潮第七部：現(xiàn)代世界中的中國。）”因此，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育當(dāng)然應(yīng)當(dāng)注意“應(yīng)用”（包括實(shí)踐方面，也包括理論方面），但更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的自身特點(diǎn)：理性精神。4從對公式記憶方式的教學(xué)看數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值取向 有些教師花費(fèi)大量時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生研究公式特點(diǎn)，尋找記憶公式的“技巧”：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限。有些教師提出“這些公式有什么特點(diǎn)？”后，很多學(xué)生根本不能明確問題的指向，有的說：反映了終邊對稱的特點(diǎn)，有的說具有轉(zhuǎn)化的特點(diǎn)，就是沒有一個(gè)學(xué)生從公式自身的結(jié)構(gòu)上去分析特點(diǎn)。 我當(dāng)然不反對從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上提高記憶效果，但我認(rèn)為這種花費(fèi)大量時(shí)間進(jìn)行這樣的研究實(shí)在是本未倒置。事實(shí)上，剛開始時(shí)讓學(xué)生在運(yùn)用公式

14、時(shí)在面前放張作了圖的紙通過對稱加定義進(jìn)行操作，然后再撒去紙、圖，在頭腦中通過對稱加定義的方式回憶公式（思維式記憶），更是一種本質(zhì)性的記憶，更能促進(jìn)學(xué)生對誘導(dǎo)公式的理解（圖形的對稱關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的數(shù)量關(guān)系），從而克服“順口溜”式的機(jī)械記憶（無意義記憶）的弊端。實(shí)踐表明，通過不長時(shí)間的“思維式記憶”就可以很好地記住這些公式。 將公式特征作為一種規(guī)律的發(fā)現(xiàn)也不無益處，關(guān)鍵是如何教：不應(yīng)該只是從結(jié)果出發(fā)的一種觀察，而應(yīng)該是對探索過程的提煉，這又是對自我思維過程的再思維（反思性思維）。5從對公式互推教學(xué)看對教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值的合理開發(fā) 因?yàn)榻滩纳嫌幸粋€(gè)思考題：能否用公式二、公式三推導(dǎo)出公式四，

15、不少教師在此又花費(fèi)了大量的時(shí)間。一方面，這反映了很多教師對教材的編寫意圖并不了解：這其實(shí)是給有興趣的學(xué)生留下的問題，是選擇的內(nèi)容，但不是主體內(nèi)容。所以不必花費(fèi)大量時(shí)間作專門研究，更何況“給學(xué)生留下思維的空間”是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對我們提出的明確的要求，所有的你都講了，空間何在呢？另一方面，如果能夠自然地由學(xué)生生成了，不妨讓學(xué)生適當(dāng)?shù)靥骄恳幌?。如學(xué)生在解決求sinp時(shí)有下述不同思路：sinp =sin(p+)=-sin,sinp =sin(p-p)=sin(-)=-sin,這說明：sin(p+)=sinp =sin(p-p)=sin(-)=-sin (公式三) （公式二） （公式四）時(shí)，就不妨讓學(xué)生思考：你能對一般情形，用公式二和公式三推導(dǎo)出公式四嗎？或者先讓學(xué)生從幾何的角度進(jìn)行解釋，最后布置課后思考?；蛘?，實(shí)在要講的話，也可通過對知識(shí)內(nèi)容、形式、結(jié)構(gòu)等簡單化的追求提出問