第11周相似三角形知識點及典型例題

1、相似三角形知識點及典型例題知識點歸納：1、三角形相似的判定方法(1) 定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似。(2) 平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。(3) 判定定理1:如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。(4) 判定定理2:如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。(5) 判定定理3:如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個

2、三角形相似。簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。(6) 判定直角三角形相似的方法： 以上各種判定均適用。 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。#直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。 每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。如圖，Rt ABC 中，/ BAC=90 ,AD是斜邊 BC上的高，則有射影定理如下：(1) ( AD) 2=BD- DC( 2)( AB) 2=BD BC ,22 2(AB) + ( AC) = ( B

3、C)(3)( AC) =CD BC。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。即11典型例題：例1 如圖，已知等腰 ABC中，AB = AC, AD丄BC于D, CG II AB , BG分別交AD , AC于E、 F,求證：BE2 =EF EG【解題技巧點撥】FB FD例2 已知：如圖，AD是Rt ABC斜BC上的高，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于 F，求證：BA = AC【解題技巧點撥】一、如何證明三角形相似例1、如圖：點G在平行四邊形 ABCD的邊DC的延長線上，AG交BC、BD于點E、F,則厶AGD s s 例2、已知 ABC中，AB=AC，/ A=36 , BD是角平分線, 求

4、證： ABC BCD例3 :已知，如圖，D ABC內(nèi)一點連結(jié) ED、AD，以BC為邊在 ABC外作/ CBE= / ABD，/ BCE= / BAD求證： DBE ABC二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例5、 ABC中，在 AC上截取 AD，在CB延長線上截取 BE，使AD=BE，求證：DF AC=BCFEDM丄BC于點E,交BA的延長線于點 D。例6:已知：如圖，在 ABC中，/ BAC=90 , M是BC的中點,求證:2(1) MA =MD *ME;AE2 MEAD2 MD例7 :如圖 ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E,交AB于F,求證：AE: ED=2AF :

5、 FB。D、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8 :已知：如圖E、F分別是正方形 ABCD的邊AB和AD上的點，且EBABAFAD1。求證：/ AEF= / FBD39、在平行四邊形 ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線,求證:SQ / AB , RP / BC例10、已知A、C、E和B、F、D分別是/ O的兩邊上的點，且AB / ED, BC / FE,例11、直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , BCDE是正方形，AE交BC于F, FG / AC交AB于G,求證：FC=FGE例12、Rt ABC銳角C的平分線交 AB于E,交斜邊上的高 AD于O,過O引

6、BC的平行線交 AB于F,求證：AE=BFD課后作業(yè)一、填空題21已知：在 ABC中，P是AB上一點，連結(jié) CP,當(dāng)滿足條件/ ACP=或/ APC= 或 AC2=時, ACPABC .2兩個相似三角形周長之比為4 : 9,面積之和為291，則面積分別是 。3如圖，DEFG是Rt ABC的內(nèi)接正方形，若 CF= 8, DG = 4 2，貝V BE =4.如圖，直角梯形ABCD 中，AD | BC , AD 丄 CD , AC 丄 AB，已知 AD = 4, BC = 9，貝U AC =5.A ABC中，AB = 15, AC = 9，點D是AC上的點，且 AD=3 , E在AB 上, ADE與

7、厶ABC相似，則 AE的長等 于。6.如圖，在正方形網(wǎng)格上畫有梯形ABCD，則/ BDC的度數(shù)為第3）題圖第M）題圖A DB第（6）題圖14 ABC 中，AB = AC，/ A = 36 BC = 1, BD 平分/ ABC 交于 D，貝U BD =, AD =，設(shè) AB = x,則關(guān)于x的方程是.&如圖，已知D是等邊 ABC的BC邊上一點，把 ABC向下折疊，折痕為 MN，使點A落在點D處，若BD : DC=2 : 3AM : MN=。、選擇題9如圖，在正 ABC中，D、E分別在 AC、AB上，且1,AE=BE，則有（）3A . AED BEDB . AEDCBDADAC AED ABDD

8、. BAD BCDA.111.如圖,A . 3對10 .如圖,在厶誓.4.對C .C延長線C . 5對山越烈AC 3,則CD的長為（）5D.2交于點E,與DC交于點F,則圖中相似三角形共有（）D . 6對12. P是Rt ABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點這樣條件的直線共有()B.2條C. 3條D . 4條P作直線截厶ABC ,13. 如圖，在直角梯形 ABCD中，AB = 7, AD = 2, BC=3，若在 AB上取一點 P,使以點占QB點出發(fā)，經(jīng)過多少時間，P、A、D為頂點的三角形和以 P、B、C為頂點的三角形相似，這樣的A . 1個B. 2個C. 3個D . 4個三、解答下列各題

9、14. 如圖，長方形 ABCD中，AB=5 , BC = 10 ,點P從A點出發(fā)，沿AB作勻速運動， 從B點出發(fā)，沿BC作勻速直線運動，1分鐘可到C點，現(xiàn)在點P點Q同時分別從A點、DEFG內(nèi)接于Rt AABC , EF在斜邊線段PQ恰與線段BD垂直?15 .已知：如圖，正方形(2) EF2= BE-FC(答案)例1分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角/ G外，由BC / AD可得/仁/ 2,所以 AGD EGC。再/仁/ 2 (對頂角)，由 AB / DG 可得/ 4= / G,所以 EGCs

10、 EAB。例2分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然/C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計算也是一種常用的方法。證明：/ A=36 , ABC 是等腰三角形，/ ABC= / C=72。又 BD 平分/ ABC，則/ DBC=36 在厶 ABC 和厶 BCD 中，/ C 為公共角，/ A= / DBC=36 ABC BCD例3分析： 由已知條件/ ABD= / CBE，/ DBC公用。所以/ DBE= / ABC，要證的厶DBE和厶ABC，有一對角相 等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。從已知條件中可看到厶 CBE ABD，這樣既

11、有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在厶CBE和厶ABD中，/ CBE= / ABD,/ BCE= / BAD CBEABD BCABBE即：竺=竺BD BE BD DBE 和厶 ABC 中，/ CBE= / ABD, / DBC 公用CBE+ / DBC= / ABD+ / DBC DBE= / ABC 且 匹=JABDBE ABCBE BD例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形: (1)如圖：稱為“平行線型”的相似三角形E如圖：其中/ 1 = / 2，則 ADE ABC稱為“相交線型”的相似三角形。EC(3)

12、如圖：/ 仁/2,/ B= / D，則 ADE ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與厶ECA解：設(shè) AB=a，貝U BE=EF=FC=3a ,由勾股定理可求得 AE= . 2a ,在厶EAF與厶ECA中，/ AEF為公共角，且二竺 =_ 2所以 EAF ECA EF AE例5分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF : FE=BC : AC,再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進行證明：證明：過D點作DK / AB，交BC于K ,/ DK / AB , DF : FE=BK : BE又 AD=BE , DF: FE=

13、BK : AD , 而 BK : AD=BC : AC即 DF: FE= BC : AC , DF AC=BC *FE例 6 證明：（1 ）/ BAC=90 0, M 是 BC 的中點， MA=MC , / 1= / C, / DM 丄 BC , / C= / D=90 0- / B， / 1= / D ,/ 2=/ 2 , MAEMDA , MAMEa MA2=MD ME ,MDMA(2 ) MAEMDA , .AEMAAEME aAE2MAMEAD_ MD，AD 一MAAD2_ MD MA評注：命題1 如圖，如果/ 1= / 2，那么 ABD s ACB , AB2=AD AC。 命題 2

14、 如圖，如果 AB2=AD *AC，那么 ABD ACB，/ 1= / 2。MEMD例7 分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形,察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀AEAE : ED ” 的特征，作 DG / BA 交 CF 于 G，得 AEF DEG ,DEAFODGAE 2 AFAF1與結(jié)論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證 DG FB。EDFB1 ”2BF2證明：過D點作DG / AB交FC于G則厶AEFDEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似）竺=竺 （1 ）DE 一DG/ D為BC的中點，且 DG /

15、 BF /. G為FC的中點則DG CBF的中位線，DG J BF （ 2 ）將（2 ）代入（1 ）得:_2AE _ AF 2AF2例8 分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實現(xiàn)，本題要證的兩個角 分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相似（一個在直角 三角形中，另一個在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作 FG 丄BD，垂足為 G。設(shè) AB=AD=3k 則 BE=AF=k , AE=DF=2k , BD= 3 -2k/ADB=45 0，/ FGD=90 0 a / DFG=45 0 a DG

16、=FG= DF_ 去 /. BG= 3 2k - 2k = 2.2k /.2AFFG1AE BG 2 又/ A= / FGB=90 0 AEF GBF a/ AEF= / FBD例9分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。 利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。 要證明SQ/ AB ,只需證明AR: AS=BR :DS。ARASBRDS證明：在厶ADS和厶ARB中。/ DAR= / RAB= - / DAB，/ DCP=/ PCB= - / ABC / ADSABR2 2Ar br但厶 ADS 也厶 CBQ

17、 , a DS=BQ，貝U, a SQ/ AB，同理可證，RP / BCAS BQ例10分析：要證明AF / CD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進行正確的選擇。其實要證明af CD，只要證明ocpo!即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明： AB / ED, BC / FE aOAOEOB OEOD，OCOFOBa兩式相乘可得:OAOFOC OD例11分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用 比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與 FC、FG相關(guān)的比例線段，圖中與 F

18、C、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到FCFG? ”代表相同的線段或相等的線段），便可完成。證明： FG / AC / BE , ABE AGF 則有=-AL 而 FC/ DE/. AEDAFCBE AECF AF GF CF AF、計曲竹DF GF 剛則有又 BE=DE (正萬形的邊長相等)，即GF=CF。DE AE BE DE AEBE BE例12證明:CO 平分/ C ,Z 2=Z 3,故 Rt CAEs Rt CDO ,AEODACCD又 OF / BC ,BFOD俎 又 Rt ABD s Rt CAD , 吃ADCDABAD，AEODBF AE=BF。OD97.1,1,x 2-x-1=08.7 : 8、/ B、/ ACB、AP AB 2.48,2433.44.65.5 或 56.135二、9.B10.C11.D12.C13.C三、14. 5 分鐘 15.(1)(略)(2)證厶 GFCBE