第11周相似三角形知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、相似三角形知識(shí)點(diǎn)及典型例題知識(shí)點(diǎn)歸納：1、三角形相似的判定方法(1) 定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。(2) 平行法：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。(3) 判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。(4) 判定定理2:如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。(5) 判定定理3:如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)

2、三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。(6) 判定直角三角形相似的方法： 以上各種判定均適用。 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。#直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。 每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，Rt ABC 中，/ BAC=90 ,AD是斜邊 BC上的高，則有射影定理如下：(1) ( AD) 2=BD- DC( 2)( AB) 2=BD BC ,22 2(AB) + ( AC) = ( B

3、C)(3)( AC) =CD BC。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。即11典型例題：例1 如圖，已知等腰 ABC中，AB = AC, AD丄BC于D, CG II AB , BG分別交AD , AC于E、 F,求證：BE2 =EF EG【解題技巧點(diǎn)撥】FB FD例2 已知：如圖，AD是Rt ABC斜BC上的高，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于 F，求證：BA = AC【解題技巧點(diǎn)撥】一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形 ABCD的邊DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AG交BC、BD于點(diǎn)E、F,則厶AGD s s 例2、已知 ABC中，AB=AC，/ A=36 , BD是角平分線(xiàn), 求

4、證： ABC BCD例3 :已知，如圖，D ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié) ED、AD，以BC為邊在 ABC外作/ CBE= / ABD，/ BCE= / BAD求證： DBE ABC二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例5、 ABC中，在 AC上截取 AD，在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上截取 BE，使AD=BE，求證：DF AC=BCFEDM丄BC于點(diǎn)E,交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) D。例6:已知：如圖，在 ABC中，/ BAC=90 , M是BC的中點(diǎn),求證:2(1) MA =MD *ME;AE2 MEAD2 MD例7 :如圖 ABC中，AD為中線(xiàn)，CF為任一直線(xiàn)，CF交AD于E,交AB于F,求證：AE: ED=2AF :

5、 FB。D、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線(xiàn)平行和線(xiàn)段相等。例8 :已知：如圖E、F分別是正方形 ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且EBABAFAD1。求證：/ AEF= / FBD39、在平行四邊形 ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線(xiàn),求證:SQ / AB , RP / BC例10、已知A、C、E和B、F、D分別是/ O的兩邊上的點(diǎn)，且AB / ED, BC / FE,例11、直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , BCDE是正方形，AE交BC于F, FG / AC交AB于G,求證：FC=FGE例12、Rt ABC銳角C的平分線(xiàn)交 AB于E,交斜邊上的高 AD于O,過(guò)O引

6、BC的平行線(xiàn)交 AB于F,求證：AE=BFD課后作業(yè)一、填空題21已知：在 ABC中，P是AB上一點(diǎn)，連結(jié) CP,當(dāng)滿(mǎn)足條件/ ACP=或/ APC= 或 AC2=時(shí), ACPABC .2兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)之比為4 : 9,面積之和為291，則面積分別是 。3如圖，DEFG是Rt ABC的內(nèi)接正方形，若 CF= 8, DG = 4 2，貝V BE =4.如圖，直角梯形ABCD 中，AD | BC , AD 丄 CD , AC 丄 AB，已知 AD = 4, BC = 9，貝U AC =5.A ABC中，AB = 15, AC = 9，點(diǎn)D是AC上的點(diǎn)，且 AD=3 , E在AB 上, ADE與

7、厶ABC相似，則 AE的長(zhǎng)等 于。6.如圖，在正方形網(wǎng)格上畫(huà)有梯形ABCD，則/ BDC的度數(shù)為第3）題圖第M）題圖A DB第（6）題圖14 ABC 中，AB = AC，/ A = 36 BC = 1, BD 平分/ ABC 交于 D，貝U BD =, AD =，設(shè) AB = x,則關(guān)于x的方程是.&如圖，已知D是等邊 ABC的BC邊上一點(diǎn)，把 ABC向下折疊，折痕為 MN，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，若BD : DC=2 : 3AM : MN=。、選擇題9如圖，在正 ABC中，D、E分別在 AC、AB上，且1,AE=BE，則有（）3A . AED BEDB . AEDCBDADAC AED ABDD

8、. BAD BCDA.111.如圖,A . 3對(duì)10 .如圖,在厶誓.4.對(duì)C .C延長(zhǎng)線(xiàn)C . 5對(duì)山越烈AC 3,則CD的長(zhǎng)為（）5D.2交于點(diǎn)E,與DC交于點(diǎn)F,則圖中相似三角形共有（）D . 6對(duì)12. P是Rt ABC的斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)這樣條件的直線(xiàn)共有()B.2條C. 3條D . 4條P作直線(xiàn)截厶ABC ,13. 如圖，在直角梯形 ABCD中，AB = 7, AD = 2, BC=3，若在 AB上取一點(diǎn) P,使以點(diǎn)占QB點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以 P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，這樣的A . 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D . 4個(gè)三、解答下列各題

9、14. 如圖，長(zhǎng)方形 ABCD中，AB=5 , BC = 10 ,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB作勻速運(yùn)動(dòng)， 從B點(diǎn)出發(fā)，沿BC作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到C點(diǎn)，現(xiàn)在點(diǎn)P點(diǎn)Q同時(shí)分別從A點(diǎn)、DEFG內(nèi)接于Rt AABC , EF在斜邊線(xiàn)段PQ恰與線(xiàn)段BD垂直?15 .已知：如圖，正方形(2) EF2= BE-FC(答案)例1分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對(duì)頂角及由平行線(xiàn)產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角/ G外，由BC / AD可得/仁/ 2,所以 AGD EGC。再/仁/ 2 (對(duì)頂角)，由 AB / DG 可得/ 4= / G,所以 EGCs

10、 EAB。例2分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然/C是公共角，而另一組相等的角則可以通過(guò)計(jì)算來(lái)求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明：/ A=36 , ABC 是等腰三角形，/ ABC= / C=72。又 BD 平分/ ABC，則/ DBC=36 在厶 ABC 和厶 BCD 中，/ C 為公共角，/ A= / DBC=36 ABC BCD例3分析： 由已知條件/ ABD= / CBE，/ DBC公用。所以/ DBE= / ABC，要證的厶DBE和厶ABC，有一對(duì)角相 等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對(duì)角相等，或者找?jiàn)A這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。從已知條件中可看到厶 CBE ABD，這樣既

11、有相等的角，又有成比例的線(xiàn)段，問(wèn)題就可以得到解決。證明：在厶CBE和厶ABD中，/ CBE= / ABD,/ BCE= / BAD CBEABD BCABBE即：竺=竺BD BE BD DBE 和厶 ABC 中，/ CBE= / ABD, / DBC 公用CBE+ / DBC= / ABD+ / DBC DBE= / ABC 且 匹=JABDBE ABCBE BD例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形: (1)如圖：稱(chēng)為“平行線(xiàn)型”的相似三角形E如圖：其中/ 1 = / 2，則 ADE ABC稱(chēng)為“相交線(xiàn)型”的相似三角形。EC(3)

12、如圖：/ 仁/2,/ B= / D，則 ADE ABC，稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線(xiàn)型”的相似三角形，及EAF與厶ECA解：設(shè) AB=a，貝U BE=EF=FC=3a ,由勾股定理可求得 AE= . 2a ,在厶EAF與厶ECA中，/ AEF為公共角，且二竺 =_ 2所以 EAF ECA EF AE例5分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF : FE=BC : AC,再利用相似三角形或平行線(xiàn)性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過(guò)D點(diǎn)作DK / AB，交BC于K ,/ DK / AB , DF : FE=BK : BE又 AD=BE , DF: FE=

13、BK : AD , 而 BK : AD=BC : AC即 DF: FE= BC : AC , DF AC=BC *FE例 6 證明：（1 ）/ BAC=90 0, M 是 BC 的中點(diǎn)， MA=MC , / 1= / C, / DM 丄 BC , / C= / D=90 0- / B， / 1= / D ,/ 2=/ 2 , MAEMDA , MAMEa MA2=MD ME ,MDMA(2 ) MAEMDA , .AEMAAEME aAE2MAMEAD_ MD，AD 一MAAD2_ MD MA評(píng)注：命題1 如圖，如果/ 1= / 2，那么 ABD s ACB , AB2=AD AC。 命題 2

14、 如圖，如果 AB2=AD *AC，那么 ABD ACB，/ 1= / 2。MEMD例7 分析：圖中沒(méi)有現(xiàn)成的相似形,察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線(xiàn)構(gòu)造相似形。怎樣作？觀AEAE : ED ” 的特征，作 DG / BA 交 CF 于 G，得 AEF DEG ,DEAFODGAE 2 AFAF1與結(jié)論相比較，顯然問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證 DG FB。EDFB1 ”2BF2證明：過(guò)D點(diǎn)作DG / AB交FC于G則厶AEFDEG。（平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)所得三角形與原三角形相似）竺=竺 （1 ）DE 一DG/ D為BC的中點(diǎn)，且 DG /

15、 BF /. G為FC的中點(diǎn)則DG CBF的中位線(xiàn)，DG J BF （ 2 ）將（2 ）代入（1 ）得:_2AE _ AF 2AF2例8 分析：要證角相等，一般來(lái)說(shuō)可通過(guò)全等三角形、相似三角形，等邊對(duì)等角等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角 分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來(lái)證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角 三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作 FG 丄BD，垂足為 G。設(shè) AB=AD=3k 則 BE=AF=k , AE=DF=2k , BD= 3 -2k/ADB=45 0，/ FGD=90 0 a / DFG=45 0 a DG

16、=FG= DF_ 去 /. BG= 3 2k - 2k = 2.2k /.2AFFG1AE BG 2 又/ A= / FGB=90 0 AEF GBF a/ AEF= / FBD例9分析：要證明兩線(xiàn)平行較多采用平行線(xiàn)的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線(xiàn)段去證明。 利用比例線(xiàn)段證明平行線(xiàn)最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€(xiàn)段。 要證明SQ/ AB ,只需證明AR: AS=BR :DS。ARASBRDS證明：在厶ADS和厶ARB中。/ DAR= / RAB= - / DAB，/ DCP=/ PCB= - / ABC / ADSABR2 2Ar br但厶 ADS 也厶 CBQ

17、 , a DS=BQ，貝U, a SQ/ AB，同理可證，RP / BCAS BQ例10分析：要證明AF / CD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線(xiàn)段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實(shí)要證明af CD，只要證明ocpo!即可，因此只要找出與這四條線(xiàn)段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明： AB / ED, BC / FE aOAOEOB OEOD，OCOFOBa兩式相乘可得:OAOFOC OD例11分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線(xiàn)的條件，因而可用 比例線(xiàn)段來(lái)證明。要證明FC=FG，首先要找出與 FC、FG相關(guān)的比例線(xiàn)段，圖中與 F

18、C、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過(guò)渡，最終必須得到FCFG? ”代表相同的線(xiàn)段或相等的線(xiàn)段），便可完成。證明： FG / AC / BE , ABE AGF 則有=-AL 而 FC/ DE/. AEDAFCBE AECF AF GF CF AF、計(jì)曲竹DF GF 剛則有又 BE=DE (正萬(wàn)形的邊長(zhǎng)相等)，即GF=CF。DE AE BE DE AEBE BE例12證明:CO 平分/ C ,Z 2=Z 3,故 Rt CAEs Rt CDO ,AEODACCD又 OF / BC ,BFOD俎 又 Rt ABD s Rt CAD , 吃ADCDABAD，AEODBF AE=BF。OD97.1,1,x 2-x-1=08.7 : 8、/ B、/ ACB、AP AB 2.48,2433.44.65.5 或 56.135二、9.B10.C11.D12.C13.C三、14. 5 分鐘 15.(1)(略)(2)證厶 GFCBE