初三數(shù)學競賽：圓歷屆真題

1、初中數(shù)學競賽圓歷屆考題1D 是 ABC的邊 AB上的一點，使得AB=3AD，P 是 ABC外接圓上一點，使得ADPACB ，求 PB 的值 .PD解：連結(jié) AP，則APBACBADP ，所以， APB ADP， （ 5 分） ABAP ，APAD所以 AP2ABAD3AD2 ， AP3AD ， （ 10 分）所以 PBAP3. （ 15 分）PDAD2、已知點 I 是銳角三角形 ABC的內(nèi)心， A1，B1， C1分別是點 I 關(guān)于邊 BC， CA，AB的對稱點。若點 B 在 A1B1C1的外接 C1 圓上，則 ABC等于（ ）A、30B 、45C 、60D 、90答： C解：因為 IA1 IB

2、1 IC1 2r （r 為 ABC的內(nèi)切圓半徑），所以點 I 同時是 A1B1C1的外接圓的圓心，設(shè)IA1 與 BC的交點為 D，則2ID，所以 IBD 30，同理， IBA30，于是， ABC60BA 1DIACB 1IBIA13正方形 ABCD內(nèi)接于 O，點 P 在劣弧 AB上，連結(jié) DP，交 AC于點 Q若 QP=QO，則 QC 的值為（）DCQA（A）2 31（B） 2 3 （C） 32（D） 3 2O答： DQ解：如圖，設(shè) O的半徑為 r ，QO=m，則 QP=m，QC=rm，ABQA=rm在 O中，根據(jù)相交弦定理，得QAQC=QP QDP（第 3 題圖）即r m r m =mQD

3、，所以r 2m 222(QD=連結(jié) DO，由勾股定理，得 QD DO)()=mr 2m2232， 即r2m2， 解 得 mr 所 以 ，QOm3QCrm3132QArm314如圖，點 P 為 O 外一點，過點 P 作 O的兩條切線，切點分別為A，B過點 A 作 PB 的平行線，交 O于點 C連結(jié) PC，交 O于點 E；連結(jié) AE，并延長AE交 PB于點 K求證： PE AC=CEKBP證明：因為 ACPB，所以 KPE=ACE又 PA是 O的切線，所以 KAP=ACE，故 KPE=KAP，于是KKPE KAP，所以KPKE ，即 KP2KE KAEKAKPB由切割線定理得KB 2KE KAA所

4、以KPKB 10 分O因為 ACPB， KPE ACE，于是PEKP故PEKB ，CCEACCEAC即PE AC=CEKB15 分（第 4 題）5. 已知 ABC 為銳角三角形， O 經(jīng)過點 B，C，且與邊 AB，AC分別相交于點 D，E若 O 的半徑與ADE 的外接圓的半徑相等，則O 一定經(jīng)過ABC 的（）（A）內(nèi)心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）解： 如圖，連接 BE，因為 ABC 為銳角三角形，所以 BAC ， ABE 均為銳角又因為 O 的半徑與 ADE 的外接圓的半徑相等，且 DE 為兩圓的公共弦，所以BACABE 于是，BECBACABE2 BAC （第 3 題答案圖）若

5、ABC 的外心為 O1 ，則BOC12BAC，所以， O 一定過 ABC 的外心故選（ B）6已知 AB為半圓 O的直徑，點 P 為直徑 AB上的任意一點以點 A 為圓心， AP為半徑作 A， A 與半圓 O相交于點 C；以點 B 為圓心， BP 為半徑作 B， B 與半圓 O 相交于點 D，且線段 CD的中點為 M求證： MP分別與 A 和 B 相切證明：如圖，連接 AC，AD，BC，BD，并且分別過點C，D作 AB的垂線，垂足分別為 E, F ，則 CEDF因為 AB是 O的直徑，所以 ACB（第 13A題答案圖）ADB90在Rt ABC和Rt ABD 中 ， 由 射 影 定 理 得 PA

6、 2AC 2AEAB，PB2BD 2BF AB5 分兩式相減可得 PA2PB2AB AEBF ，又 PA2PB2( PAPB)( PAPB)AB PAPB ，于是有AEBF PAPB ，即 PAAE PBBF ，所以 PEPF ，也就是說，點 P 是線段 EF的中點因此， MP是直角梯形 CDFE的中位線，于是有 MPAB ，從而可得 MP分別與 A 和 B 相切7如圖，點 E，F(xiàn) 分別在四邊形 ABCD的邊 AD，BC的延長線上，且滿足 DEAD 若CFBCCD ，F(xiàn)E 的延長線相交于點 G ， DEG 的外接圓與 CFG 的外接圓的另一個交點為點 P ，連接 PA，PB，PC， PD求證：

7、（1） ADPD ；BCPC（2） PAB PDC 證明：（1）連接 PE， PF，PG，因為 PDGPEG ，所以PDCPEF 又因為PCGPFG ，所以 PDC PEF ，于是有PDPE ,CPDFPE ，從而 PDE PCF ，PCPF所以 PDDE 又已知 DEAD ，所以， ADPD PCCFCF BCBCPC10 分（2）由于PDAPGEPCB ，結(jié)合（ 1）知， PDA PCB ，從而有 PAPD ,DPACPB， 所 以，因此PAB PBPCAPBDPCPDC 15 分8、 ABC中，AB7，BC 8，CA9，過 ABC的內(nèi)切圓圓心 l 作 DEBC，分別與 AB、 AC相交于

8、點 D， E，則 DE的長為16。A3解：如圖，設(shè) ABC的三邊長為 a,b, c ，haID內(nèi)切圓 l 的半徑為 r ，BC邊上的高為 ha ，則Er11braBCahaS ABC( ac) r ，所以ab，（第 8題）22hac因為 ADE ABC，所以它們對應(yīng)線段成比例，因此ha rDE ,haBC所以 DEhar(1r(1a)aa(bc)haa)ab ca bchaa故 DE8(79)16 。87969、已知 AB是半徑為 1 的圓 O的一條弦，且 AB a 1，以 AB為一邊在圓 O內(nèi)作正 ABC，點 D 為圓 O上不同于點 A 的一點，且 DBAB a ，DC的延長線交圓 O 于點

9、 E，則 AE的長為（ ）。A、 5 aB 、1C 、 3D 、 a22解：如圖，連接OE，OA，OB，設(shè) D a ，則ECA 120 a EACOEC又因為 ABO 11DABD(60 1802a) 120 a22AB所 ACE ABO，于是 AEOA1（第 9題）10已知線段 AB 的中點為 C，以點 A 為圓心， AB 的長為半徑作圓，在線段 AB 的延長線上取點 D，使得 BDAC；再以點 D為圓心， DA的長為半徑作圓，與 A分別相交于 F，G兩點，連接 FG交 AB于點 H，則AH的值為AB1AD ，AB1解：如圖，延長 AD與 D交于點 E，連接 AF，EF 由題設(shè)知 ACAE

10、，33在FHA和EFA中，EFAFHA90，F(xiàn)AHEAF所以RtFHARtEFA，AHAFAB ，所以AH1AF.而 AFAB.AE3（第 10 題）（）如圖， ABC為等腰三角形， AP是底邊 BC上的高，點 D 是線段 PC上1110的一點，BE和 CF分別是ABD 和 ACD 的外接圓直徑，連接EF求證：.tanPADEF BCED，F(xiàn)D因為 BE和 CF都是直證明：如圖，連接.徑，所以EDBC，F(xiàn)DBC，因此 D，E， F 三點共線 . （ 5 分）連接 AE，AF，則AEFABCACBAFD ，所以，ABC AEF （10分）.作 AHEF，垂足為 H，則 AH=PD. 由 ABC AEF可得（第 11 題）EFAH ，BCAP從而EFPD ，BCAPPDEF .（20 分）所以tanPADAPBC12（11）、如圖，點 H為 ABC的垂心，以 AB為直徑的 O1 和 BCH的外接圓O2 相交于點 D，延長 AD交 CH于點