拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)課件

1、拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),1,二、拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),例1.過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和 拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則 (1)|AB|=x1+x2+p (2)2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直線AB的傾斜角為,則|AB|=2p/sin2 (5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. (6)F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),2,過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通徑長為2p,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),3,

2、過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則 (5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.,故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),4,過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則 (6)焦點(diǎn)F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),5,過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則 (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;,證明：思路分析：韋達(dá)定理,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),6,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)

3、,7,F,過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;,法3：利用性質(zhì)焦點(diǎn)F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90 。,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),8,代入拋物線得y2ms，,練習(xí) (1).若直線過定點(diǎn)M(s,0)(s0)與拋物線y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求證:x1x2=s2;y1y2=-2ps.,證明：設(shè)AB 的方程為=ms（m）,(2). 若直線與拋物線y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求證：直線過定

4、點(diǎn) (s,0)(s0),證明：,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),9,過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則 (4)若直線AB的傾斜角為,則|AB|=2p/sin2 ,證明: 思路分析|AB|=|AF|+|BF|=,思考：焦點(diǎn)弦何時最短？,過焦點(diǎn)的所有弦中，通徑最短,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),10,過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),11,例2.過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交準(zhǔn)線于

5、C,則直線CB平行于拋線的對稱軸.,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),12,例2.過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (2)過B作BC準(zhǔn)線l,垂足為C,則AC過原點(diǎn)O共線.,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),13,例3. A、B是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且OAOB， 1. 求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積； 2. 求證：直線AB過定點(diǎn)； 3. 求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程； 4. 求AOB面積的最小值； 5. 求O在AB上的射影M軌跡方程.,二、拋物線中的直角三角形問題,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),14,例3. A、B是拋物線 y2 = 2px(p0

6、)上的兩點(diǎn)，且OAOB， (1) 求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；,解答 (1)設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，中點(diǎn)P(x0, y0)，, OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0, y12 = 2px1，y22 = 2px2, y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),15,例3. A、B是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且OAOB， (2) 求證：直線AB過定點(diǎn)；,解答(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2), AB過定點(diǎn)T(2p, 0).,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),1

7、6,同理， 以代k得B(2pk2, -2pk) .,例3. A、B是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且OAOB， (3) 求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程；,即 y02 = px0-2p2， 中點(diǎn)M軌跡方程 y2 = px-2p2,(3)設(shè)OAy = kx，代入y2=2px 得: k 0，,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),17,(4),當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|=2p時，等號成立.,例3. A、B是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且OAOB， (4)求AOB面積的最小值；,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),18,(5)法一：設(shè)M(x3, y3), 則,例3. A、B是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且OAOB， (5)求O在AB上的射影M軌跡方程.,由(1)知，y1y2=-4p2，,整理得：x32+y32 -2px3=0， 點(diǎn)M軌跡方程為x2+y2-2px=0(去掉(0, 0).,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),19, M在以O(shè)T為直徑的圓上 點(diǎn)M軌跡方程為(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 評注：此類問題要充分利用(2)的結(jié)論., OMT=90, 又OT為定線段,法二： AB過定點(diǎn)T(2p, 0).,7. A、B是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且OAOB， (5)求O在AB上的射影M軌跡方程.,拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì),20,小結(jié)：,在求軌跡方程問題中易于出錯是對軌跡方