初三奧數(shù)競賽題及答案

1、全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（共 5 小題，每小題 7 分，共 35 分 . 每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的 .請將正確選項的代號填入題后的括號里 ，不填、多填或錯填都得 0 分）1、如果 a22，那么 11的值為【】12a3（A） 2（B） 2（C）2（D）2 2解： B 3 a1121 ， 212121因此原式 =22 a1，3 a3213a2、在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，滿足不等式 x 2y22x2 y 的整數(shù)點坐標(biāo)（ x，y ）的個數(shù)為【】（A）10（ B）9（C）7（D）5解： B 解法一： x2y 22x2 y 化為 x 1 2y 1

2、 22因為 x、 y 均為整數(shù)，因此 x1 2y1 20 或 x1 2y 1 21或 x1 2y 1 22x 1x 0 x 2 x 1 x 1或x 0 x 2 x 0 x 2所以共有 9 個整點分別解得或y 2 y 2 y 0 y 0y 1y 1 y 1 y 0 y 2解法二： x2y 22x2 y 化為 x1 2y1 22 它表示以點（ 1,1 ）為圓心，2 為半徑的圓內(nèi)，畫圖可知，這個圓內(nèi)有9 個（ 0,2 ）、（0,1 ）（ 0,0 ），（1,0 ），（1,1 ），（1,2 ），（ 2,0 ），（2,1 ），（2,2 ）3、如圖，四邊形 ABCD中， AC，BD是對角線， ABC是等邊三

3、角形ADC 30 ，AD = 3，BD = 5 ，則 CD的長為【】（A）3 2（ ）（）25（ ）B 4CD 4.5解：圖，以 BCDCD為邊作等邊 CDE，連接 AE 由于 AC = BC，CD = CE，BCAACDDCEACDACE 所以BCD ACE，BD = AE又因為ADC30 ，所以ADE90 在Rt ADE 中，AE5， AD3，于是 DE= AE2AD24，所以 CD = DE = 44、如果關(guān)于 x 的方程 x2pxq0（ p，q 是正整數(shù)）的正根小于3，那么這樣的方程的個數(shù)是【】（A） 5（B） 6（C） 7（D） 8解： Cp、q 是正整數(shù)p24q 0 ， x1 x2

4、qpp 24q0 正根為23解得 q9 3 p p 1p 1p 1p 1p 1p 2p 2，q 2q 1q 2q 3q 4q 5q 15、黑板上寫有 ，1，1 ， ， 1共 100 個數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2 個數(shù) a， b ，131002然后刪去 a，b ，并在黑板上寫上數(shù)a bab，則經(jīng)過 99 次操作后，黑板上剩下的數(shù)是【】（A）2012（ B） 101（C） 100（D）99解： Ca b ab (a1)(b1)1計算結(jié)果與順序無關(guān)順次計算得： (11)( 11) 12 ， (2 1)(11) 1 3，(3 1)(11) 1 4， 1234100(99 1)(1) 1100二

5、、填空題（共5 小題，每小題7 分，共 35 分）、如果， ， 是正數(shù)，且滿足 ab c 9 ， 11110 ，那么abc6ab ca bb c c a 9b c c a a b的值為解：7 在11110 兩 邊 乘 以 ab c 9 得 3cab10 即a b b c c a9a b b c c acaba bbcc7a7、如圖，O 的半徑為 20， A 是 O 上一點以 OA 為對角線作矩形 OBAC ，且 OC12 延28長 BC ，與 O 分別交于 D，E 兩點，則 CEBD 的值等于5解：如圖，設(shè) DE 的中點為 M ，連接 OM ，則 OMDE 因為 OB202 12216 ，所以

6、 OMOB OC161248 ，BC205CMOC 2OM 236， BM64 55CEBD （EM CM）（DMBM） BMCM643628 5558、設(shè) n 為整數(shù)，且 1 n 2012. 若 ( n2n3)(n2n3)能被 5 整除，則所有 n 的個數(shù)為.解： 1600n2n3n2n3n2322n45n29n因此 5 | n 49 ，所以 n41(mod 5) ，因此 n5k1,或 5k2 2012 5 4022 所以共有2012-402=1600 個數(shù)9、如果正數(shù) x，y，z 可以是一個三角形的三邊長，那么稱（ x， y， z）是三角形數(shù) 若（a，b，c）和（111均為三角形數(shù)，且 a

7、 b c，則a的取值范圍是.a，）cbc解： 35a12cabc依題意得：111 ，所以 b ca，代入（ 2）得bca1111a1 ，兩邊乘以 a 得abccc1caa 即 ccaa化簡得 a 23acc20 ，兩邊除以 c 2 得a cc aa23 a0所以 35 a 35 另一方面：abc，所以 a綜合得 35 a111cc2c2c2c10、已知 n 是偶數(shù)，且 1 n 100若有唯一的正整數(shù)對 （ a， b）使得 a2b2n 成立，則這樣的 n 的個數(shù)為解：依題意得 na 2b2a b ab由于 n 是偶數(shù)， a+b、a-b 同奇偶，所以 n 是 4 的倍數(shù)當(dāng) 1 n 100 時， 4

8、 的倍數(shù)共有 25 個但是 422， 2421246，3221648， 402204 10，4822441268，56228414，602 30610， 64232 41672236418612， 80 240420810， 8824442296248424616812這些不符合要求，因此這樣的n 有25-12=13 個三、解答題（共4 題，每題 20 分，共 80 分）11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， AO 8， ABAC ， sin ABC4 CD 與 y 軸交于5點E，且 ADE已知經(jīng)過 B， C， E 三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應(yīng)的S COES二次函數(shù)的解析式解：

9、因為 sin ABC = AO4， AO8，所以 AB = 10 AB5由勾股定理，得 BOAB2AO26易知 ABO ACO ， 因此 CO = BO = 6 于是，6，0)設(shè)點 D 的坐標(biāo)為( m ，n)由 SEOCEDAS，得 SBDCBOASA(0 ， 8) B(6 ，0)C (所以 1BCn1 AO BO， 1 12(n)1 8 6 解得 n4 因此 D為 AB的中點，點2222D 的坐標(biāo)為 (3 ， 4) 因此 CD，AO分別為 AB，BC的兩條中線，點 E 為 ABC的重心，所以點E 的坐標(biāo)為 (0 ，8) 3設(shè)經(jīng)過 B，C，E 三點的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為ya( x6)

10、( x6) 將點 E 的坐標(biāo)代入，解得 a =2 故經(jīng)過 B，C，E 三點的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為 y2 x28 2727312、如圖，O的內(nèi)接四邊形 ABCD中，AC，BD是它的對角線， AC的中點 I 是 ABD的內(nèi)心 .求證：（1）OI 是 IBD 的外接圓的切線；（ 2） ABAD2BD.（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知CIDIADIDA ，CDICDBBDIBACIDAIADIDA所以CIDCDI，CI=CD 同理，CI=CB故點 C是 IBD 的外心連接OA，OC，因為 I 是 AC的中點，且 OA = OC，所以 OIAC，即 OICI 故 OI 是

11、 IBD 外接圓的切線（2）如圖，過點 I 作 IE AD于點因為 CBF =IAE，BC = CI = AIE，設(shè)，所以O(shè)C與 BD交于點 F由 BCRt BCF Rt AIE 所以CD ，知 OC BDBF = AE又 因 為I是 ABD的內(nèi)心，所以ABADBD2 AEBDBD2BFBD 故A BA D 2BD13 、給定一個正整數(shù) n ，凸 n 邊形中最多有多少個內(nèi)角等于150 ？并說明理由解：14、將 2 ， 3 ， ， n （ n2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)a，b，c （可以相同）使得 abc ，求 n 的最小值解：當(dāng) n 2161 時，把 2 ，3， ，n 分成如下兩個數(shù)組：2，3，28 ，281， ，216 1 和 4，5， ，28 1 在數(shù)組2，3，28 ，281， ，216328，（282161 中，由于 3）2 1，所以其中不存在數(shù)a ，b ，c ，使得abc 在數(shù)組4，5， ，281中，由于44281，所以其中不存在數(shù)a ，b ，c ，使得abc 所以， n216 下面證明當(dāng) n 216 時，滿足題設(shè)條件不妨設(shè) 2 在第一組，若 224 也在第一組，則結(jié)論已經(jīng)成立故不妨設(shè)224 在第