一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1、教學(xué)設(shè)計(jì)（教案）模板基本信息學(xué) 科數(shù)學(xué)年 級(jí)九年級(jí)教學(xué)形式新授課教 師宋玉龍單 位肥東縣元疃中學(xué)課題名稱一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)情分析分析要點(diǎn)：1.教師主觀分析、師生訪談、學(xué)生作業(yè)或試題分析反饋、問(wèn)卷調(diào)查等；2.學(xué)生認(rèn)知發(fā)展分析：主要分析學(xué)生現(xiàn)在的認(rèn)知基礎(chǔ)（包括知識(shí)基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)），要形成本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該要走的認(rèn)知發(fā)展線；3.學(xué)生認(rèn)知障礙點(diǎn)：學(xué)生形成本節(jié)課知識(shí)時(shí)最主要的障礙點(diǎn)。一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過(guò)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1、x2得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及以數(shù)x1、x2為根的一元二次方程的求方程模型。然

2、后通過(guò)4個(gè)例題介紹了利用根與系數(shù)的關(guān)系簡(jiǎn)化一些計(jì)算的知識(shí)。學(xué)生在前面所學(xué)習(xí)的一元二次方程的求根公式的基礎(chǔ)上，在老師的指引下可以自己推導(dǎo)出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，然后利用教材后面的例題進(jìn)一步鞏固加深學(xué)生對(duì)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系在解決一元二次方程時(shí)的重要作用，進(jìn)而系統(tǒng)的掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。教學(xué)目標(biāo)分析要點(diǎn)：1.知識(shí)目標(biāo)；2.能力目標(biāo)；3.情感態(tài)度與價(jià)值觀。1、知識(shí)目標(biāo)：要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知數(shù)，會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。2、能力目標(biāo)：通過(guò)韋達(dá)定理的教學(xué)過(guò)程，

3、使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。 3、情感目標(biāo)：通過(guò)情境教學(xué)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的成功感，建立自信心。教學(xué)過(guò)程問(wèn)題引探 解下列方程： 2x2 +5x+3=03x2 -2x-8=0并根據(jù)問(wèn)題2和以上的求解，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？ 問(wèn)題4.請(qǐng)根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程ax2 +bx+c=0（a0）的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：_。 問(wèn)題5.你能證明上面的猜想嗎？請(qǐng)證明，并

4、用文字語(yǔ)言敘述說(shuō)明。 分小組討論以上的問(wèn)題，并作出推理證明。 若方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根為 x1=，x2=。則 x1+x2=+=； x1x2= 此得出一元二 次方程的根與系數(shù)的 關(guān)系；還可以讓學(xué)生 用自己的語(yǔ)言表述這種關(guān)系，來(lái)加深理解 和記憶。 這個(gè)關(guān)系是一個(gè)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的，所以也稱之為 韋達(dá)定理。 探索發(fā)現(xiàn) 問(wèn)題6.在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用嗎？（引導(dǎo)學(xué)生反思性小結(jié)） 二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程； 當(dāng)a0時(shí)，b=0，a、c 異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)； 當(dāng)a0時(shí)，=b2-4ac可判定根的情況； 當(dāng)a0，b2 -4ac0時(shí)，x1

5、+x2=，x1x2=。 當(dāng)a0，c=0時(shí)，方程必有一根為0。 學(xué)生交流探討 本設(shè)計(jì)采用“實(shí)踐觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過(guò)程，使學(xué)生既動(dòng)手又動(dòng)腦，且又動(dòng)口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的兩個(gè)根 的（1）平方和，（2）倒數(shù)和。 討論：解上面問(wèn)題的思路是什么？ x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;將平方和、倒數(shù) 和轉(zhuǎn)化為兩根和與積 的代數(shù)式 師生共同歸納小結(jié) 本課主要研究了什么？ 1、方程的根是由系數(shù)決定的。2、a0時(shí)，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。

6、 3、當(dāng)a0，b2-4ac0時(shí)，x1+x2=，x1x2=。4、b2-4ac的值可判定根的情況。5、方程根與系數(shù)關(guān)系的有關(guān)應(yīng)用。 回顧總結(jié)。板書設(shè)計(jì)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果ax2 +bx+c=0（a0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。問(wèn)題6.在方程ax2 +bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用嗎？二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；當(dāng)a0時(shí)，b=0，a、c異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，=b2-4ac可判定根的情況；當(dāng)a0，b2 -4ac0時(shí)，x1+x2=，x1x2=。當(dāng)a0，c=0時(shí)，方程必有一根為0。作業(yè)或預(yù)習(xí)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下 列方程的兩根

7、之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)）（1）2x2-3x+1=0x1+x2=_x1x2=_（2）3x2+5x=0x1+x2=_x1x2=_ （3）5x2+x-2=0x1+x2=_x1x2=_ （4）5x2+kx-6=0x1+x2=_x1x2=_自我評(píng)價(jià)1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行。它深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進(jìn)一步使用打下基礎(chǔ)。 2以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向?qū)W生展示認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學(xué)生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力 3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在中考中多以填空，選擇，解答題的形式出現(xiàn)，考查的頻率較高，也常與幾何、二次函數(shù)等問(wèn)題結(jié)合考查，是考試的熱點(diǎn)，它是方程理論的重要組成部分。 4、使學(xué)生體會(huì)解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化解題方法，增強(qiáng)擇優(yōu)能力。力求讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過(guò)程中進(jìn)行學(xué)習(xí)，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教師應(yīng)注意引