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1、考點(diǎn)三十二空間幾何體的三視圖與直觀圖 知識(shí)梳理1簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征棱柱:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊也都互相 平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱棱錐:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面圍成的多面體 叫做棱錐正棱錐:如果一個(gè)棱錐的底面是多邊形,并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心,這樣的棱錐 叫做正棱錐棱臺(tái):用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐,在截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)多面體的結(jié)構(gòu)特征:底面:互相平行(1)棱柱側(cè)面:都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)面的交線都平行且相等底面:是多邊形(2)棱錐側(cè)面:都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形(3)棱臺(tái) 棱錐

2、被平行于棱錐底面的平面所截,截面與底面之間的部分側(cè)棱:相等(4)正棱錐:側(cè)面:都是全等的等腰三角形(5)正四面體:一個(gè)特殊的正三棱錐,它的各個(gè)面都是全等的正三角形2.簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體(1) 圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到(2) 圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到(3) 圓臺(tái)可以由直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉(zhuǎn)得到,也可由平行于底面的平面截 圓錐得到(4) 球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.3三視圖及其特征(1) 空間幾何體的三視圖包括正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖,分別是從幾何體的正前方、 正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線(2) 三視圖的畫法1 基本要求:長(zhǎng)對(duì)

3、正,高平齊,寬相等2 畫法規(guī)則:正側(cè)一樣高,正俯一樣長(zhǎng),側(cè)俯一樣寬.3 看不到的線畫虛線,看的到的線畫實(shí)線(3)由三視圖換原實(shí)物圖時(shí),一般從最能反映物體特征的視圖出發(fā),然后結(jié)合另兩個(gè)視圖進(jìn) 行換原4斜二測(cè)畫法與物體的直觀圖(1)基本幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法,規(guī)則是:1 在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系 xoy.畫直觀圖時(shí),它們分別對(duì)應(yīng) x軸和 y軸,兩軸交于 點(diǎn) o,使xoy45,它們確定的平面表示水平平面;2 已知圖形中平行于 x 軸或 y 軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于 x軸和 y軸的線段; 已知圖形中平行于 x 軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變;平行于 y 軸的線段,長(zhǎng)度為原1來(lái)的 .2

4、(2)用斜二測(cè)畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積 s與原平面圖形的面積 s 之間的關(guān)系是s2s 4題型一 簡(jiǎn)單幾何體的概念 例 1 下列結(jié)論正確的是_ 叫圓錐棱錐可能是正六棱錐是母線典例剖析各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐以正方形的一條對(duì)角線旋轉(zhuǎn)一周圍成的幾何體棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)都相等,則此圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都答案 解析 三棱錐的側(cè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形,選項(xiàng)錯(cuò);由正方形的一條對(duì)角線旋轉(zhuǎn)一周圍成的幾何體為兩個(gè)圓錐形成的一個(gè)組合體,選項(xiàng)錯(cuò);六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)大于底面多邊形的邊 長(zhǎng),選項(xiàng)錯(cuò);選項(xiàng)正確故選.變式訓(xùn)練 下列命題中,正確的是_1234有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱

5、柱 側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐 側(cè)面都是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體 底面為正多邊形,且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱答案 解析 對(duì)于,兩個(gè)側(cè)面是矩形并不能保證側(cè)棱與底面垂直,故錯(cuò)誤;對(duì)于,側(cè)面都是 等腰三角形,不能確保此棱錐頂點(diǎn)在底面在底面的射影在底面正多邊形的中心上,且也不能 保證底面是正多邊形,故錯(cuò)誤;對(duì)于,側(cè)面是矩形不能保證底面也是矩形,因而錯(cuò)誤解題要點(diǎn) 準(zhǔn)確弄懂簡(jiǎn)單幾何體的概念是解題的關(guān)鍵題型二 簡(jiǎn)單幾何體的三視圖例 2 一幾何體的直觀圖如圖,下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是_ 答案 解析 該幾何體是組合體,上面的幾何體是一個(gè)五面體,下面是一個(gè)長(zhǎng)方體,且五面體的一 個(gè)面即為長(zhǎng)方體

6、的一個(gè)面,五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等, 因此選.變式訓(xùn)練 (1)某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是_四面體圓柱 圓錐 三棱柱(2) 已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,分析此幾何體的組成為_(kāi)1234答案 (1) (2) 上面為棱臺(tái),下面為棱柱 上面為圓臺(tái),下面為棱柱 上面為圓臺(tái),下面為圓柱 上面為棱臺(tái),下面為圓柱解析 (1)由三視圖知識(shí)知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形,而圓柱 的正視圖不可能為三角形,故選.(2) 由俯視圖可知,該幾何體的上面與下面都不可能是棱臺(tái)或棱柱,故排除選項(xiàng)、. 故選.解題要點(diǎn) 1. 注意空間幾何體的不同放置對(duì)三

7、視圖的影響2. 由實(shí)物圖畫三視圖或判斷、選擇三視圖,此時(shí)需要注意“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的 原則;3. 由三視圖還原實(shí)物圖,解題時(shí)首先對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉,再?gòu)?fù)雜的幾何體也是由這些簡(jiǎn)單的幾何體組合而成的;其次,要遵循以下三步:看視圖,明關(guān)系;分部 分,想整體;綜合起來(lái),定整體題型三 空間幾何體的直觀圖例 3 如 abc abc 的直觀圖,那 abc 是_1234等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形 鈍角三角形答案 解析 由斜二測(cè)畫法知正確變式訓(xùn)練 一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形,且該梯形的面積為 2,則原梯形 的面積為_(kāi)答案 4解析 設(shè)原梯形的面積為 s,則2 2 ,s4

8、. s 4解題要點(diǎn) 直觀圖的面積 s與原平面圖形的面積 s 之間的關(guān)系是 s當(dāng)堂練習(xí)24s 1有下列四個(gè)命題:底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體;棱長(zhǎng)相等的直四棱柱是正方體;有兩條側(cè)棱都垂 直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體;對(duì)角線相等的平行六面體是直平行六面體 其中真命題的個(gè)數(shù)是_答案 1 個(gè)解析 命題不是真命題,因?yàn)榈酌媸蔷匦?,但?cè)棱不垂直于底面的平行六面體不是長(zhǎng)方體; 命題不是真命題,因?yàn)榈酌媸橇庑?非正方形),底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等的直四棱柱不是正 方體;命題也不是真命題,因?yàn)橛袃蓷l側(cè)棱都垂直于底面一邊不能推出側(cè)棱與底面垂直; 命題是真命題,由對(duì)角線相等,可知平行六面體的對(duì)角面是矩形,從

9、而推得側(cè)棱與底面垂 直,故平行六面體是直平行六面體2以下關(guān)于幾何體的三視圖的敘述中,正確的是_1 球的三視圖總是三個(gè)全等的圓2 正方體的三視圖總是三個(gè)全等的正方形3 水平放置的正四面體的三視圖都是正方形4 水平面放置的圓臺(tái)的俯視圖是一個(gè)圓答案 解析 由于中的正視方向不明確,故不正確;中的三視圖不全是正方形;中的俯視圖 是兩個(gè)同心圓故選.3. 在棱柱中_1 只有兩個(gè)面平行2 所有的棱都平行3 所有的面都是平行四邊形4 兩底面平行,且各側(cè)棱也互相平行答案 解析 由棱柱定義可知正確4一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是_ 答案 解析 由三視圖可知該幾何體為一個(gè)上部為圓臺(tái)、下部為圓柱的

10、組合體,故選項(xiàng) 5一個(gè)幾何體的三視圖均為等腰直角三角形(如圖),則該幾何體的直觀圖為_(kāi) 答案 解析 、的正視圖都應(yīng)是圖(1),的側(cè)視圖應(yīng)為圖(1)均不符合,故選課后作業(yè)一、 填空題1下列說(shuō)法正確的命題的序號(hào)是_1 圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線2 連接圓柱上、下底面圓周上的兩點(diǎn)的線段是圓柱的母線在圓臺(tái)的上下兩底面圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線 圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的答案 解析 由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的母線的概念知,正確,錯(cuò)誤. 2下列幾何體各自的三視圖中,有且僅有兩個(gè)視圖相同的是_答案 解析 根據(jù)題目要求三視圖中有且僅有兩個(gè)視圖相同,其中的三個(gè)視圖可

11、以都相同,故可 以排除選項(xiàng),.選.3如圖,網(wǎng)絡(luò)紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何 體是_答案三棱柱解析 根據(jù)三視圖的法則:長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等,可得幾何體如下圖所示4正方體的截平面不可能是:鈍角三角形;直角三角形;菱形;正五邊形;正 六邊形下述選項(xiàng)正確的是_答案 解析 正方體的截平面可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形,但不可能是鈍角三角 形、直角三角形;對(duì)四邊形來(lái)講,可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形、矩形,但不 可能是直角梯形;從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)去切可得五邊形但不可能是正五邊形;過(guò)正方體的六 個(gè)面可截得正六邊形;5以下四個(gè)命題:正棱錐的所有側(cè)棱相

12、等;直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形;圓柱的母線垂直于底面;用經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐,所得的截面一定是全等的等腰三角形其 中,真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)答案 3解析 由正棱錐的定義可知所有側(cè)棱相等,故正確;由于直棱柱的底面的各邊不一定相等, 故側(cè)面矩形不一定全等,因此不正確;由圓柱母線的定義可知正確;結(jié)合圓錐軸截面的 作法可知正確綜上,正確的命題有 3 個(gè)6如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖,aby軸,則原圖形 abc 是_答案 直角三角形解析 將斜二測(cè)畫法逆用,即與坐標(biāo)系 xoy中坐標(biāo)軸 y軸平行的線與坐標(biāo)系 xoy 中坐標(biāo)軸 x 軸垂直,且 ab2ab,acac如圖,故為直角三角形7如果一個(gè)水平放置的圖形

13、的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為 45,腰和上底均為 1 的等腰梯 形,那么原平面圖形的面積是_答案 2 2解析 由題意畫出斜二測(cè)直觀圖及還原后原圖,由直觀圖中底角均為 45,腰和上底長(zhǎng)度均 為 1,得下底長(zhǎng)為 1 2,所以原圖上、下底分別為 1,1 2,高為 2 的直角梯形所以1面積 s (1 21)22 228水平放置的矩形 abcd 長(zhǎng) ab4,寬 bc2,以 ab,ad 為軸作出斜二測(cè)直觀圖 abcd, 則四邊形 abcd的面積為_(kāi)答案 2解析 平行線在斜二測(cè)直觀圖中仍為平行線,所以四邊形 abcd為平行四邊形,dab45,ab4,ad1221,de1sin 452 2 ,所以四邊形 abc

14、d的面積為 4 2 22 2.9有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)_答案 四棱臺(tái)10如圖,直三棱柱abca b c 的側(cè)棱長(zhǎng)為 2,底面是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形,正視圖是邊1 1 1長(zhǎng)為 2 的正方形,則其左視圖的面積為_(kāi)答案 2 3解析 左視圖的高與正視圖的高相等,故高為 2,左視圖的寬與俯視圖的寬相等,即為直三棱柱底 abc 的高,故左視圖的寬為 3, 左視圖的面積為 2 32 3.11已知正三角形 abc 的邊長(zhǎng)為 a,那 abc 的平面直觀 abc的面積為_(kāi)答案6a162解析 如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖2 42 822 2 8 16bc 1 3由斜二測(cè)畫法可知,ababa,oc oc a,在圖中作 cdab于 d,則 cd2 6 oc a.1 1 6 6s abcd a a a .二、解答題12如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖(1) 試判斷該幾何體是什么幾何體(2) 畫出其側(cè)視圖,并求該平面圖形(側(cè)視圖)的面積解析 (1)由該幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體是一個(gè)正六棱錐 (2)該幾何體的側(cè)視圖如圖:其中 abac,adbc,且 bc 的長(zhǎng)是俯視圖正六邊形對(duì)邊間的距離,即 bc錯(cuò)誤!未找 到引用源。a,ad 是正棱錐的高,則 ad錯(cuò)誤!未找到引用源。a,所以該平面圖形(側(cè)視圖)的面積

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