(2021年整理)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略

1、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來(lái)便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺(jué)得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略的全部?jī)?nèi)容。導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中可謂“神通廣大”,是解決函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、不等式證明

2、等問(wèn)題的“利器”。因而近幾年來(lái)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往成為高考函數(shù)壓軸題.在面對(duì)這些壓軸題時(shí),我們經(jīng)常會(huì)碰到導(dǎo)函數(shù)具有零點(diǎn)但求解相對(duì)比較繁雜甚至無(wú)法求解的問(wèn)題.此時(shí)，我們不必正面強(qiáng)求，可以采用將這個(gè)零點(diǎn)只設(shè)出來(lái)而不必求出來(lái),然后謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過(guò)渡，再結(jié)合其他條件，從而最終獲得問(wèn)題的解決。我們稱這種解題方法為“虛設(shè)零點(diǎn)法.下面筆者就一些高考題，來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中“虛設(shè)零點(diǎn)”法的具體解題方法和策略。策略1整體代換將超越式化簡(jiǎn)為普通式如果f(x）是超越形式（對(duì)字母進(jìn)行了有限次初等超越運(yùn)算包括無(wú)理數(shù)次乘方、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角、反三角等運(yùn)算的解析式,稱為初等超越式,簡(jiǎn)稱超越式)，并且f（x）的零點(diǎn)是存

3、在的，但我們無(wú)法求出其零點(diǎn)，這時(shí)采用虛設(shè)零點(diǎn)法，逐步分析出“零點(diǎn)所在的范圍和滿足的關(guān)系式,然后分析出相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,最后通過(guò)恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的極值與零點(diǎn)所滿足的“關(guān)系”推演出所要求的結(jié)果.通過(guò)這種形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過(guò)渡,從而將超越式化簡(jiǎn)為普通式,有效破解求解或推理證明中的難點(diǎn).例1（2015年全國(guó)高考新課標(biāo)卷文21）設(shè)函數(shù)f（x)=e2xalnx。（1）討論f（x)的導(dǎo)函數(shù)f(x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2)證明：當(dāng)a0時(shí)，f（x）2a+aln2a。解（1）f(x）的定義域?yàn)椋?，+）,f（x)=2e2xax(x0).由f(x）=0，得2xe2x=a.令g（x）=2xe2x，g

4、（x）=（4x+2)e2x0（x0），從而g（x）在(0，+)單調(diào)遞增，所以g（x）g(0）=0.當(dāng)a0時(shí)，方程g（x）=a有一個(gè)根，即f(x）存在唯一零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí)，方程g（x）=a沒(méi)有根，即f（x）沒(méi)有零點(diǎn).（2)由（1)，可設(shè)f（x）在（0,+)的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x（0，x0）時(shí)，f(x)0時(shí),f（x）2a+aln2a.評(píng)析本題第（2)問(wèn)要證明f(x)2a+aln2a，只需要f(x）min2a+aln2a,f（x）min在f（x）的零點(diǎn)取到.但f（x）=0是超越方程，無(wú)法求出其解,我們沒(méi)有直接求解x0，而是在形式上虛設(shè)。這樣處理的好處在于，通過(guò)對(duì)x0滿足的等式e2x0=a2x0，lnx

5、0=lna22x0的合理代換使用，快速將超越式e2x0alnx0化簡(jiǎn)為普通的代數(shù)式a2x0+2ax0+aln2a，然后使用均值不等式求出最小值，同時(shí)消掉了x0。在求解的過(guò)程中，不要急于消掉x0,而應(yīng)該著眼于將超越式化簡(jiǎn)為普通的代數(shù)式。借助f（x0）=0作整體代換,竟能使天塹變通途！其實(shí)，這種做法早已出現(xiàn)在以下兩道試題中.我們一起來(lái)體會(huì)一下如出一轍的解法帶給我們的便捷.例2（2013年全國(guó)高考新課標(biāo)卷理21）已知函數(shù)f（x）=ex-ln(x+m）。(1)設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m并討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)m2時(shí)，證明f（x）0。解（1）m=1，f（x）增區(qū)間為（0，+），減區(qū)間為（-

6、1，0）。（2）當(dāng)m2時(shí)，x+mx+2，ln（x+m）ln（x+2），ln（x+m）-ln（x+2),所以f（x）exln（x+2),令g（x）=ex-ln(x+2）,則g（x）=ex-1x+2，g（x）=ex+1（x+2）20,所以g（x)在（-2，+）上單調(diào)遞增.又g（-1）=e-110，所以存在唯一的x0（1,0），使g（x0)=0.所以當(dāng)2x0，g（x）單調(diào)遞增。評(píng)析在本題中，在確定出函數(shù)g(x）=ex1x+2在（2,+）上存在唯一的零點(diǎn)x0后,無(wú)法直接求解x0,在形式上虛設(shè)后，通過(guò)對(duì)x0滿足的等式條件ex0=1x0+2，x0=-ln（x0+2）的合理代換使用，快速將超越式g（x0)=

7、ex0ln（x0+2）化簡(jiǎn)為普通的代數(shù)式g（x0）=1x0+2+x0，為證貌似不可能證的不等式g(x0）0掃除了障礙。例3(2012年全國(guó)新課標(biāo)卷文21第2問(wèn)）設(shè)函數(shù)f（x)=ex-ax-2。若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，(x-k)f（x）+x+10，求k的最大值.解由于a=1,所以（x-k）f(x）+x+1=（x-k）（ex1)+x+10k0恒成立。令g（x)=x+1ex1+x，原命題k評(píng)析本題中，在確定出h（x）=exx2在（0,+）上存在唯一零點(diǎn)的情形下，通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn)x0,并借助ex0=x0+2來(lái)簡(jiǎn)化g（x0)=x0+1ex01+x0，為估計(jì)g(x0）的范圍創(chuàng)造了條件.虛設(shè)零點(diǎn)，讓我們

8、感受到“柳暗花明又一村”的奇妙詩(shī)意.如果f（x）不是超越形式，而是可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，這時(shí)很容易想當(dāng)然,用求根公式把零點(diǎn)求出來(lái)，代入極值中去。但接下來(lái)要么計(jì)算偏繁，要么無(wú)法化簡(jiǎn),復(fù)雜的算式讓人無(wú)處下手，導(dǎo)致后繼工作無(wú)法開(kāi)展。正所謂“思路簡(jiǎn)單，過(guò)程煩人”。這時(shí)有兩個(gè)策略：策略2反代消參構(gòu)造關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)如果問(wèn)題要求解（或求證)的結(jié)論與參數(shù)無(wú)關(guān)，這時(shí)我們一般不要用參數(shù)來(lái)表示零點(diǎn)，而是反過(guò)來(lái)用零點(diǎn)表示參數(shù),然后把極值函數(shù)變成了關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)，再次求導(dǎo)就可解決相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式證明.例4（2014年全國(guó)高考新課標(biāo)卷文21第2問(wèn))已知函數(shù)f（x）=x33x2+x+2，曲線y=f（

9、x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.證明:當(dāng)k1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx2只有一個(gè)交點(diǎn)。解曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn)g（x）=f（x）-kx+2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).g（x）=x3-3x2+（1k)x+4，g（x）=3x26x+1k.(1）當(dāng)=36-12（1-k)=24+12k0,即k-2時(shí)，g（x)0,所以g（x）在r上為增函數(shù).因?yàn)間(1）=k10，所以存在唯一x0（-1,0)使得g（x0)=0，所以g（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).（2）當(dāng)=36-12（1-k）=24+12k0，即2k0，g(1）=-2-k0,所以0x10，g(x)在（x2

10、,+）內(nèi)為增函數(shù)。g（x）的極小值點(diǎn)是x2.所以g(x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),只需要g（x2）0.由g(x2)=3x226x2+1-k=0得1k=3x22+6x2,g(x2)=x32-3x22+(1-k)x2+4=x32-3x22+（3x22+6x2）x2+4=2x32+3x22+4。令x2=t，g（x2）=h(t）=2t3+3t2+4(1th(2）=0，即g（x2）0。所以當(dāng)2k 綜上（1）、(2）可知,當(dāng)k1時(shí)，曲線y=f(x）與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn)。評(píng)析本題當(dāng)2k0。x2是可以求出的（實(shí)際上x(chóng)2=1+6+3k3），但我們證關(guān)于k的不等式g(x2）=g（1+6+3k3）0,讓人

11、無(wú)處下手。于是,我們虛設(shè)零點(diǎn)x2，采用“反代的方法，用零點(diǎn)x2來(lái)表示參數(shù)，有1k=-3x22+6x2。巧妙地回避了這些繁雜的計(jì)算,簡(jiǎn)潔而利索，可謂妙哉.例5（2009年全國(guó)高考卷理22第2問(wèn)）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明:f（x）的極小值大于1-2ln24；證明f（x）=2x+a1+x=2x2+2x+a1+x（x-1）。令g（x）=2x2+2x+a，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)g（x）=2x2+2x+a在（1,+）上有兩個(gè)不等實(shí)根=4-8a0g(-1）=a00a 設(shè)x1、x2是方程g（x）=0的兩個(gè)均大于1的不相等的實(shí)根，且x10，其對(duì)稱軸為x=12，所以-1h(-12

12、）=12ln24.故f（x2)=h(t)1-2ln24。 評(píng)析f（x）=x2+aln1+x的極小值點(diǎn)x2來(lái)自f（x)=2x2+2x+a1+x的零點(diǎn)，按常規(guī)思路，要證明f(x2）1-2ln24，就要將x2=-1+12a2代入f（x)求解，其本質(zhì)就是用參數(shù)a表示零點(diǎn)x2，再證明關(guān)于a的不等式，-1+12a22+aln1+1+1-2a21-2ln24,復(fù)雜的算式讓人無(wú)處下手。于是，我們采用“反代”的方法，用零點(diǎn)x2來(lái)表示參數(shù)a=（2x22+2x2）.事實(shí)證明，這種變通是十分有效的。策略3降次留參建立含參數(shù)的方程（或不等式）如果問(wèn)題要求解（或求證)的結(jié)論與參數(shù)有關(guān)，利用關(guān)系式f（x）=0（大部分情況可

13、轉(zhuǎn)化為二次方程）,在保留參數(shù)的情況下，不斷地把零點(diǎn)的次數(shù)降到不可再降為止，再結(jié)合其他條件，建立含參數(shù)的方程（或不等式），就可求出參數(shù)的值或參數(shù)的范圍.例6（2012年高考全國(guó)大綱卷文科第21題）已知函數(shù)f（x）=13x3+x2+ax.（1)討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)f(x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，若過(guò)兩點(diǎn)（x1，f（x1）,（x2，f（x2)）的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值;（3）(筆者加編）函數(shù)f（x)的圖像與x軸有三個(gè)公共點(diǎn),求a的取值范圍。解（1）略。（2)f（x）=x2+2x+a,由題設(shè)知，x1、x2為方程f（x)=0的兩個(gè)根,故有a0即a1。評(píng)注對(duì)于問(wèn)題(2）,找到極值點(diǎn)橫坐標(biāo)x1、x2與參數(shù)a之間的聯(lián)系（x21=2x1-a，x22=2x2a），利用它不斷地把零點(diǎn)的次數(shù)降到1次為止，再利用設(shè)而不求法求