卡方分布及其它分布

1、(2)代入 （2）便證明 了第二條結(jié)論、若卡方分布的定義：號n個相互獨立的隨機變量E 1，E 2,，E n，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（也稱獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布），則這n個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的平方和XE iA2構(gòu)成一新的隨機變量，其分布規(guī)律稱為 x 2（ n）分布（chi-squaredistribution），其中參數(shù) n稱為自由度。、卡方分布的性質(zhì)：(1)（可加性）設(shè)Yi 2ni,i,i1,k,且相互獨立，貝V這里nnj ,i .(2)E( ) n ,Var(；,)2n 4 .證明（1）根據(jù)定義易得。設(shè)丫 n,則依定義，y可表示為其中XjN（0,1）,i1, ,n 1, XnN（、.,

2、1）,且相互獨立，于是因為代入（1），第一條結(jié)論可得證。直接計算可得于是三、卡方分布的概率密度函數(shù)：其中Dx為n維x空間內(nèi)由不等式x12xn2 z所定的區(qū)域z為半徑的球面所圍成的區(qū)域（邊界即，Dz為n維x空間內(nèi)以坐標(biāo)原點為球心、不在內(nèi)）可以利用極坐標(biāo)來計算這積分。令與這變換相應(yīng)的函數(shù)行列式為:其中括號和都表示1, , n1的函數(shù)。因此。當(dāng) Z0時,C是常數(shù)。為了定出C,在上述等式的兩端令從而,1在分母內(nèi)的積分中令r2即，用r12 2作代換，那么，這個積分等于n-120n 122?212dn22nd因此,2 1 n22 -2從而，當(dāng)z0時，即，2的密度函數(shù)為稱這個密度函數(shù)所定的分布為自由度為2分

3、布，記作（n）2。它的圖像如下:圖（一）2分布密度函數(shù)圖四、卡方分布的累積分布函數(shù)為：Fkk 2,x 2k 2，其中yKz）為不完全Gamm函數(shù)。其圖像如下:圖（二）2分布的分布函數(shù)圖五、卡方分布的特征函數(shù)及其推導(dǎo)：特征函數(shù):書(t) = E (?)+ OOf(x)dx?- ?- 2(?+ ?) ? 2 dx?(1- 2?)之六、論證過程中的心得體會：首先通過對卡方的研究和證明，提高了我們對數(shù)學(xué)的興趣。其次，通過這次的推 導(dǎo)和搜索資料進行分析，大大提高了我們的獨立思考的能力，我們當(dāng)中很多同學(xué)之前都 很害怕類似的證明題，這一次的合力解決難題使我們信心倍增。當(dāng)然同時，這個合作鍛煉了我們團隊合作的能

4、力，分工合作解決問題，有的人負責(zé)收集 資料，有點人負責(zé)推導(dǎo)公式，有的人負責(zé)輸入文章，整理公式，等等。這讓大家明白了 團結(jié)的力量。做出合理的時間安排，做任何事情，合理的時間安排非常重要，多元課程設(shè)計也是一樣，事先要做好一個規(guī) 戈課程設(shè)計一共分5個板塊(定義，性質(zhì)，特征函 數(shù)，密度函數(shù)，分布函數(shù)，心得體會)。你每 天要做完哪幾個板塊事先要確定好，這樣 做才會使自己游刃有余，保證在 2周時間內(nèi)內(nèi)完成論文，以避免由于時間上的不妥，以 致于最后無法完成論文。另外，寫論文的過程中也使我們對論文的格式有了一個了解，更規(guī)范更具體，為以后的學(xué)業(yè)報告做了一次很好的準(zhǔn)備。論文屬于科學(xué)性的文章，它有嚴格的書寫格式規(guī)范

5、， 因此一篇好的論文一定 要有正確的格式，論文格式錯誤就不能得到好成績，因此我們寫 論文時要端正態(tài)度，注意書寫格式。多元課程的設(shè)計更加是豐富了我們的業(yè)余生活，讓大家聚在一起討論題目，其樂融 融。這樣的課程設(shè)計也能使我們找到志同道合的朋友，發(fā)現(xiàn)生活中的點滴數(shù)學(xué)趣事，從 實際出發(fā)思考題目，同時我們對計算機的知識也有了一定的加深，matlab的使用等等。t分布的有關(guān)知識t分布的概述及其歷史在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，學(xué)生 t -分布(Students t -distribution )應(yīng)用在當(dāng)對呈正態(tài)分布的母群體的均值進行估計。它是對兩個樣本均值差異進行顯著性測試的學(xué)生 t測定的基礎(chǔ)。t檢定改進了 Z檢定，

6、不論 樣本數(shù)量大或小皆可應(yīng)用。在樣本數(shù)量大(超過120等)時，可以應(yīng)用Z檢定，但Z檢定用在小的樣本會產(chǎn)生很大的誤差，因此樣本很小的情 況下得改用學(xué)生t檢定。在數(shù)據(jù)有三組以上時，因為誤差無法壓低，此 時可以用變異數(shù)分析代替學(xué)生 t檢定。當(dāng)母群體的標(biāo)準(zhǔn)差是未知的但卻又需要估計時，我們可以運用學(xué)生t -分布。學(xué)生t-分布可簡稱為t分布。其推導(dǎo)由威廉戈塞于1908年首先發(fā)表，當(dāng) 時他還在都柏林的健力士釀酒廠工作。因為不能以他本人的名義發(fā)表，所以 論文使用了學(xué)生(Student )這一筆名。之后t檢驗以及相關(guān)理論經(jīng)由羅納 德費雪的工作發(fā)揚光大，而正是他將此分布稱為學(xué)生分布由于在實際工作中，往往彷是未知的

7、，常用s作為(T的估計值，為了與u變換區(qū)別，稱為t變換t=，統(tǒng)計量t值的分布稱為t分布。sxt分布的分布函數(shù)及證明用T(x; n)表示tn分布的分布函數(shù)，則證明 根據(jù)分布函數(shù)的定義有當(dāng)x 0時，上式為由于t(y; n)dy 1，故立即可得A 1/2，為了計算A，我們做變換t y2 /(n y2) 則一 13dy (n y2)2 /(2ny) ? dt 三t 2 (1 t) 2dt，因此1 1 1 1故 T(X； n) A12 /(n x2)(_22n)而當(dāng)x 0時，我們有然后利用剛剛的討論可知綜上所述便得我們所要的結(jié)論。t分布的密度函數(shù)及證明設(shè),z為相互獨立隨機變量，服從正態(tài)N(0,1), z

8、服從自由度為n的2 分布，則t= /(久的密度函數(shù)為稱ft（x）是自由度為n的t 分布（或Student分布）的密度函數(shù),證：首先，易知 與二門相互獨立，事實上， 故得證 與習(xí)久是相互獨立的.（其實，由商的密度函數(shù)為 證明過程用到公式t分布的w特征函為:t分布有如下特征:1、t分布是對稱分布，且其均值為02. t分布是一簇曲線，其形態(tài)變化與n （確切地說與自由度v ）大小有關(guān)。自由度v越 小，t分布曲線越低平；自由度v越大，t分布曲線越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（U分布）曲線， 如圖10。3、t分布是一個分布族，對于不同的樣本容量都對應(yīng)不同的分布，且其均值都為4、與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比,t分布的中心部分較低

9、,2個尾部較高。5、變量t的取值范圍在之間圖1自由度為1、5、s的t分布t分布有如下性質(zhì):性質(zhì)1令 g(x) (12X ) (nn1)/2則 g (x)g (x)2 2 X ) (n 5)/2 (1 x n2)故 g (x) 0 的解為 x . n/(n 2)，即分布密度在x,n/（n 2）處有拐點。性質(zhì) 2 limt(x;n) -en寸2x22性質(zhì)3設(shè)X tn，若r n,則E（Xr）存在；若r n,則E（Xr）不存在。此點由微積分中判別積分收斂的法則很容易看出若r n,且r為奇數(shù)，由于函數(shù)xr (1 x2 / n) (n 1)/2是x的奇函數(shù)，因此，r 0 ；若r n且r為偶數(shù)，可以算得 r

10、 nr/21?3?5 (r 1) 特別(n 2)( n 4) (n r)n6E(X) O,Var(X),n 3,4, 口 0仇，n 5,6,n 2n 4性質(zhì)4 tn分布由于只有n 1階矩存在，故沒有矩母函數(shù)存在。性質(zhì) 5如X1和X2獨立同分布于則隨機變量1(X 22X1)/ X1X2 tn。t分布的分位數(shù)t分布的 分位數(shù)記作t n .如圖所示，當(dāng)Xt n時，P X t n二.給出概率 和 自由度n,可從t分布的分為表中查出t n .與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相類似，根據(jù)t分布 密度曲線的對稱性，也有t n卜n ,論述同u U1 .如果在t分布的分為表中 沒有負的分位，則先查出t1 n ,然后得到t n t

11、1 n .例如，2.13210.95 42.132,10.975 42.776,t0-99544.604,t0-00544.604,t0-02542.776,t0-025 4另外，當(dāng)n 30時,在比較簡略的表中查不到tn,可用u作為t n的近似值.t分布的分位數(shù)t分布表n12345678910111314151617181920212223242526272829304060120廣義非中心t分布定義：1設(shè) xX；ECn1( , In 1,),其中X：n 1 且 (，0,0)。(* ) tnX1!的X宀節(jié)分布稱為廣義非中心t分布，記為tGtn(,)或tGtn( , f)。定理1：設(shè)tGtn(

12、,f)，則t的密度是c/、1(*1)2 t2) (n1) 0 f(y2 2 1y2)yndy,t ，(?n)其中 1 t /(n t2)2。證：設(shè) xECn1( ,in1,f)，其中 (，0, ,0)且 h(?)是 Borel 函 數(shù)使得E(h(t)mf(x2）dx1m,dxm t1mf (y)dy1 1 1(尹)I1(f2m)X2,Xn 1，則我們有E(h(t)因此,2_（如1h(n2X1/r)f(X1)D)rn 1drdx1（*2）1n2 21 ；(2n)n1h(t) f (tr / n)2 r2)rndrdt的密度是1n2 2-1 0 n2 (2n)f (t2 n)r2n12t rn2)

13、rndr，(t21n）/n）2r，我們立得（*）。0時，（*1 ）成為我們熟悉的密度t。推論1：設(shè) tGtn( , f),Eh(t)則(*3) E(h(t)1n2 2 T 0nf( 2)d ,其(*4) M(1x0h(n2(cos)/( sin)sinn 1 d 。證：做變換X1sin則由（*2）結(jié)論得證。推論2:設(shè)Etk-kn2，則(*5 ) E(tk)1(n k)k!【k2】21(n) j 021k 2j *k 2j)22j j!(k 2j)!cn k 2j 1其中x表示x的整數(shù)部分，且c由G12l l 12、，2 o r f(r )dr定義。特別（注意E(t)2Cn 1 1)( *6 )

14、E(t )var(t)1 1(n )2 H(n 1) 21(n)Cn2七匚n 2 Cn 1n 2(如211121)/( (2n)Cm)由( *3), (*4) 和 Legendre 倍量公式(2a)?2a 12(a)(a 2)，結(jié)論得證?(?,?)分布、定義如果隨機變量F的密度函數(shù)為?5? 0? ? ?(?) ?(?)(?+ ?)P則稱隨機變量F服從第一自由度為m第二自由度為n的F分布，記為FF(mn)。二、性質(zhì)1、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X x禽,Y x 2n)，則隨機變量FX/mY7F(mn)。證明：因為隨機變量X與Y分別F分布，所以其密度函數(shù)分別為 ? ? ?- -?(?) = ?(

15、習(xí))?, ? ?(?)=?77?-?(巧)? ?由商的密度函數(shù)公式，故得? o(?)?(?)二？ ?(?) ?(?)?盯?- ?(?) ?(?)? ?(?) (?)?令?=?(?+ ?)? ?得?(?)=? ?(?廠(?)門?(?) ?(?)? ? ? ? ?j ?- ? ?- ? ?芻？- ? ? ?oo?+ ?j ?-r- ? ?- ?.?(?+?) ?-?( )?+ ?丿?+ ?-?o? + ?j ?- ?- ? ? ?+ ?/?( )? 1 甘中?=?+ ?+ ? - _?- ? (?+ ?) ?QQ? ? ? ? ? ? ?(咅)(莎)?(?) ?(厲)? + ?(?) ? ? ?(

16、?) ?(?)?刃-?+ ?(? + ?)?y y所以，隨機變量F F(nn)。2、設(shè)隨機變量F F(n,n)，則E (F)=解：？?(？?)= ?為含nx，得n丄=2n2(n+n- 2)n- 2， D 丿 m(n- 2) 2(n- 4)。?- ?+ ?o ?(需) ?-?+? ?(?+?) ? ? ?-?(?+?) ?+? ?(?)?-?(?)?(?)?(?)=y，得? ?coj? + ?(?+?-) ? ?+? ?(?) ?(?)(? + ?)? ?，?+?)? ?(?) ?(?)?- ?同理可得,3、設(shè)隨機變量T t(n)?/(?+ ?- ?) rv )-?(?- ?)?(?- ?),貝

17、JT2F(1,n)。證明：因為隨機變量Tt(n)，所以其密度函數(shù)為?+ ?(?)=略(?+ ?)V?(帀)?+ ? ?。則T2的密度函數(shù)為?(?)=?(V?) + ?(- V?),x2vX? + ?(?) 宀礦？?- V?(?)?(?+ ?)?+ ? -?+ ? ?(?) ? ? ? ?(?) =?/?刃-?(?-?)? ?(?) ?(?) ? + ? ?( ? )?(?) ?(?)? ?(?- ?)?(?+?)所以，? ?(?,?)。14、若隨機變量F F(m n)，則fF( n,m。證明：因為隨機變量F F(mn)，所以其密度函數(shù)為?5? ? + ?(?)? ?- ?(?)?(?) (?+

18、?)?- 7?- ?+ ?T?-?二)7?(?) ?(?)? +?(二? ?+ ?(? + ?) y?1所以，ff(n,m。三、非中心？?分布設(shè)xx 2(m 8 ), Y x 2(n)，且X與Y相互獨立，令F=誑，則稱F服從自由 ?n度為m,n,非中心參數(shù)為8的非中心F分布，記為FF(mn, 8 )。隨機變量F的密度函數(shù)為?(?； ?, ?, ?)? ? ? ?- ?- ? X?oo?(?)? ? ? + ?(?) ?(? + ?)?+ ? ?I QQ?= ? ?! ?(?+ ?) (? + ?) ? + ?證明：(XY)的聯(lián)合分布為?5? 0? 2Ip2i函數(shù)為 TIp2i2iTm, 。n-

19、1的wishart分布，即:WP n 1,1II,由 H2 H 和 rk(H ) n nA為n n對稱陣，且A2 A ,且,W相互獨立，可知其特征函數(shù)分別為m2T，又由W,W2相互獨立,m?+ mh，由定理1之逆可知,可推之W汁W2的特征Wj+ WI2 WP n+ “2,成立。性質(zhì)3:設(shè) WWPn,對任意p階常數(shù)矩陣 C,有CWCWmn,C C,特別的有,aWW= n, a（a0，為常數(shù)）證明：由WW n,，可知WX X ,其中X 1 ,L ,X N相互獨立，且iX Np u 0,1,L , N, M1 iNu ,L ,uNp eu ,e e，且 cx 1 ,l ,cx N 也相互獨立,N故

20、CWCex ex ,而 ex1則 ewe wm n,e e。同理得：aWW= n, a( a0，為常數(shù))關(guān)于p階wishart分布密度函數(shù)有以下說明：(1) 、W是P階對稱陣，(3)式是W的p(p 1)/2個變量，11,K , 1p, 22,K , 2p,K , pp的密度函數(shù)，而積分區(qū)域是使得W0的這些變量所構(gòu)成的 區(qū)域。(2) 、為了使得P階wishart分布有密度函數(shù)，除了 0,為什么還要求n p?這是 因為p階矩陣W以概率1為正定矩陣的充要條件是n p。證：由于W XX , X是n p階矩陣，所以n p時，p階矩陣W不可能是正定矩陣。此np外，在n p時，W XXXiX；kx,所以欲證

21、 W以概率1為正定矩陣的充要條件i 1i 1是n p，僅需要證明在n p時，p(W 0) 1。在n p時，由于W XX，所以W不是正定矩陣X 0。令 x (X1,K ,Xip),i 1,K , p。顯然 G Xj,i,j 1K,p：|X 0 是 p2 維歐式空間中一個沒 有內(nèi)點的集合。由此可見，p x 0 0。從而有p w 0 1.故W以概率1為正定矩陣 的充要條件是n p得到證明。五.非中心 wishart分布的定義非中心wishart分布是非中心2分布的推廣。若x1,K ,xn相互獨立，XN( i,1),i 1,K , n,則稱Yx2服從非中心2分布，其自由度為n。它的分布除了與i1nn有

22、關(guān)外，還與a 2有關(guān)，a稱為非中心參數(shù)。非中心2分布記為2 n,a。顯然,i1nn在Xi N ( i,2)時， (x /)2服從非中心2(n,a)分布，其中，a(xi /)2。這時i 1i1n22 2Yxi22 2(n,a)。i1下面將非中 心 2 分 布推廣到非中 心 wishart 分布 。 若 x1,K ,xn 相互獨立，nX Np( i, ),0,i1,K ,n，則稱W xx服從非中心wishart分布，顯然 W勺分布與1/2 i yi N p p 0, I P Hi1由此看來，W的分布僅與p,n,和H有關(guān)。三 Wishart 分布設(shè)X1,K ,Xn相互獨立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0,1)分布，

23、令X (x1,K ,xn)，則i1p, n 和有關(guān)。下面證明其分布與H1/2(ii)i11/2 有關(guān)。令 yi1/2xii Np(0,Ip),i1,K , n，則因 xi1/2y i, i 1,K , n,所以nW=i1xixinn1/2 yi yiyii 1i 1 1/2in1/2ii1 1/2 yiH，其中：ni1yi yiWp n,I pnyi 1/2i N p p 0, HIpni1nnY XX xi2 2 (n)其密度函數(shù)為：2“2n n/2 1 y2 y exp ，y 0,y而在Xi，K , Xn相互獨立同正態(tài)N(0, 2)分布時，丫n，其密度函數(shù)為:12n/2n2F面將上述結(jié)果推

24、廣至多元正態(tài)分布的情況。四.Wishartn n/2 1y exp汽，y 0,y分布的定義假設(shè)Y1，丫2，,Ym相互獨立,其中： 0，Y Y 1 ,Y 2，,Y m p m，UmYY Y aY a，則稱隨機陣U服從自由1度為m，非中心參數(shù)為M u 1 , u 2，,u mp m=E Y 的非中心 wishart 分布，記為uWpm, ;M ，特別地，當(dāng) M 0,0,.,0時，則稱之為中心wishart分布，記為:uWpm,，其概率密度為:f W,npp22np 1N P 1 2exp1 t21W ,W0,其它其中Waijp p為對稱陣，是隨機矩陣U的觀測值矩陣。三.Wishart分布的特征函數(shù)

25、定理：如果SWp m,0已蘊含在W分布的定義中)，Ip 2i T其中T tij p p為實變元對稱陣。證明：因為SWpm,，所以S可表示為f,其中Y1，丫 2,Ym獨立同分布與Np 0,0。有隨機矩陣特征函數(shù)的定義可知TS ,且T T ,因此有:mmtr TS trTS trST tr Y Y T tr Y Y TtrTYmY TY 從mi Y TY而 s T E e 1miY TYE e1LE eiYTY m ,其中丫 Np 0,，由對角定理,對于對稱陣T及正定陣1，必存在奇異陣B使得: 1B B Ip,從而EiYTY eiXBTBXE eEpiei1kX：2i2i而Ip2i1 B 2iBT

26、B2iT B =2iT2iT因此有反之，若是對稱陣2iTm2oS的特征函數(shù)IP 2iTm2貝 U SWpm, 。a1L0即11B1 1 B 1，BB,BTBMOMa,做變換X B 1Y ,反之0LanY BX則：X Np0,B1 1 1(B )由于bb，所以X Np0,。記 X X1, X2,L ,Xp ,0,1 ,故有 X： X；,K1,L ,P.N1則有 X1,L ,Xp四.Wishart分布的性質(zhì) 性質(zhì)1:設(shè)總體XNP u,則樣本離差陣S服從自由度為n-1的wishart分布，即:SXi Xi 1Xi XWP n1, 證明：nSi 1XiX1Xi XxHX ,且 H 1丄11n,由 H2

27、 H 和 rk(H ) n 1，由定理：X為Np0,的n p階數(shù)據(jù)陣,rk Ar，A為n n對稱陣，且A2A，則noX AXWP r,，則 X HX n 1,性質(zhì)2:（可加性）設(shè)W1WP n, ,W2WP n2,且WiW相互獨立，則W1 + W4 WIp n+ n2,。證:（用特征函數(shù)）由W WP n,W2 W= n2,，可知其特征函數(shù)分別為m21 TIp 2i T2TIp 2i T2，又由W,W2相互獨立，可推之 W1+ W2的特征m?+ m函數(shù)為T 1T ? 2 TIp 2i T2，由定理1之逆可知，w+ W2Wp n+ n2,成立。性質(zhì)3:設(shè) WWP n,，對任意m p階常數(shù)矩陣 C,有

28、CWC Wm n,C C ,特別的有，aWWPn,a (a0，為常數(shù)）。證明：由WW= n,，可知WNX X ,其中X 1 ,L ,X N相互獨立，且1X Np u,0,1,L,n,m1.Nu ,L ,u，故 cwcNCX11CX,而CX 1NP Cu ,C C ，且CX 1 ,L ,CX N也相互獨立，則 CWCWm n,Cc。同理得：aWWP n,a（a0，為常數(shù)）。關(guān)于p階wishart分布密度函數(shù)有以下說明：（1）、W是P階對稱陣，（3）式是W的p（p 1）/2個變量，11,K , !p, 22,K , 2p,K , pp的密度函數(shù)，而積分區(qū)域是使得W0的這些變量所構(gòu)成的 區(qū)域。（2）

29、 、為了使得p階wishart分布有密度函數(shù)，除了0，為什么還要求n p?這是 因為p階矩陣W以概率1為正定矩陣的充要條件是n p。證：由于W XX ，X是n p階矩陣，所以n p時，p階矩陣W不可能是正定矩陣。此np外，在n p時，W XXXjX；鮎,所以欲證 W以概率1為正定矩陣的充要條件是n p，僅需要證明在n p時，p(W 0) 1在n p時，由于W XX ，所以W不是正定矩陣X 00令 x (Xi,K ,XiP),i 1,K , p。顯然 G Xj,i,j 1,K,p:|X 0 是 p2 維歐式空間中一個沒 有內(nèi)點的集合。由此可見，p x 0 0。從而有p w 0 1.故W以概率1為

30、正定矩陣 的充要條件是n p得到證明。五非中心 wishart分布的定義非中心wishart分布是非中心2分布的推廣。若x1,K ,xn相互獨立，nxN( i,1),i 1,K , n,則稱Yx2服從非中心2分布，其自由度為n。它的分布除了與i 1nn有關(guān)外，還與a 2有關(guān)，a稱為非中心參數(shù)。非中心 2分布記為2 n,a。顯然,i 1nn在XiN(i, 2)時， (x / )2服從非中心 2( n,a)分布，其中，a 化/ )2。這時i 1i 1n2 2 2 /、Y Xi(n,a)。i 1下面將非中心2分布推廣到非中心wishart分布。若x1,K ,xn相互獨立，nx Np( i, ),0,

31、i 1,K ,n，則稱W xx服從非中心wishart分布，顯然 W勺分布與i 1np,n和 有關(guān)。下面證明其分布與H 1/2 ( i i) 1/2有關(guān)。i 11/2令y:xii N p (0 I p ) i1,K , n，則因 Xi1/2y i, i 1,K , n,所以nW=xii 1nn1/2 yi yiyii 1i 1n 1/2 1/2iii 11/2yih，其中：niYiYi Wp n,I pyi ii 11/2Npp 0,HIp1/2i yi N p p 0, 1 P由此看來，W的分布僅與p,n,和H有關(guān)。Hotelling T2分布回顧t分布的定義。假設(shè)變量X與丫相互獨立，XN(

32、0,1),Y2( n)，則t X t(n).Y/n(1)稱變量t服從自由度為n的t分布。顯然，若X N(0,1),Y 2(n)，則t仍然服從自由度為n的t分布。事實上，所謂的將t分布推廣到多元正態(tài)分布的場合并不是直接將 t進行推廣,而是將t2進行推廣。t2服從F分布t2下面將t2推廣到多元正態(tài)分布的場合。1. Hotelling T2分布的定義定義：設(shè)X NP 0,，隨機陣W WP n, 計量T2 nXW 1X服從自由度為n的(中心)F(1,n)。0,n P，且X與W相互獨立，則稱統(tǒng)Hotelling T2分布，記為T2 T2 P,n由于所以T2的分布與無關(guān)。般地，若X NP ,，則稱統(tǒng)計量T

33、2 nXW 1X的分布為非中心Hotelli ng T2分布,記為 T2 T2 P,n,。2.關(guān)于(中心)Hotel ling T2分布的一些性質(zhì)：性質(zhì)1:設(shè)X(1),K ,X(n)是總體Np ,0,n p的隨機樣本，則統(tǒng)計量n 2T2 nX W n1XnX2W2軌F(1,n)，這是性質(zhì)2的特例,即當(dāng)1時,TT F(1,n)。一般地，1其中， X 1 X 2(p, )(0),還可以證明- 2(n p 1),XW 1x且與相互獨立特別，設(shè) X1,K ,Xniid Np ,0,n P，則 n(n 1)(X) S 1(X ) T2 p,n 1 。證明：因為X Np 丄 ,n所以、.n X NP 0,

34、。n而S Xi X Xi X WP n 1,，且X和S相互獨立，從而i 1性質(zhì) 2: T2 與 F 分布的關(guān)系：設(shè) T2T2(p, n)，則 n P 1T2 F(p, n p 1) npX在一元統(tǒng)計中(設(shè)X N (0,1),2( n),且相互獨立)若t t( n)，則X2t2 F(1,n)。當(dāng) p 1 時，一維總體 X N(0, 2), / nd nX()X()1nX(21Wn, 2)即 2 2(n)，所以(因 p 1,n pnn p T2p n 11n XS XP,np,，其中補充書本以外的一些性質(zhì)如下：由于X與W相互獨立,所以在X給定的條件下，W條件分布仍為WWp n,，則X 1X丫亦的條

35、件分布為2(n p 1)。由于這個條件分布與給定的X沒有關(guān)系，所以丫與X相互獨立，并且丫的（無條件）分仍為 2（n p 1）。由于XNp 0,，根據(jù)多元正態(tài)分布的性質(zhì)知,1X 2（P）。因為所以有性質(zhì)（1）xw，xV,，其中，分子與分母這兩個2分布相互獨立。性質(zhì)（1）說明 XW，X 服從 Z（p/2,（ n p 1）/2）分布，從而（1）式可知，Hotelli ng T2（P ,n）分布可轉(zhuǎn)化為Z分布12 d 2( p)pnpl-T2(P, n)2 型Z().n(n p 1)22由(1)，有這說明Hotelling T2(P,n)分布可轉(zhuǎn)化為F分布。性質(zhì)(2)n Pnp，T2(P,n)d2(n

36、2(P)/Pp 1)/(nhF(p,np 1)(4)顯然，p 1時，（4）就化為（1）式由性質(zhì)1導(dǎo)出性質(zhì)2,把Hotelling T2的分布轉(zhuǎn)化為F分布。性質(zhì)（1）在把Hotelling T2 的分布轉(zhuǎn)化為F分布的過程中起著關(guān)鍵作用，所以除了記?。?）式外，還有必要記?。?），（3）式。3.關(guān)于非中心Hotelling T2分布的定義與性質(zhì)嚴格的說，在X與W相互獨立，X Np 0, ，WWp n,時，T2 nXW，X的分布是中心的Hotelling T2分布。如果X NP 0,，則稱T2的分布是非中心Hotelling T2分布。由于所以T2 nXW 1X的分布與1/2無關(guān)。而在 0時，非中心

37、Hotelli ng T2分布就是中心的 Hotelling T2分布 T2 T2 P,n。與（2）式 （4）式相類似，有（1） 在X與W相互獨立，X NP 0,，WWP n,時，xw2（P，a），a1 ，（5）（n P 1）其中，分子與分母這兩個2分布相互獨立，分子的2（p,a）是自由度為p的非中心2分布,其非中心參數(shù)為a，由（5）式可以看出非中心T2 nXW 1X的分布除了與p有關(guān)外, 還僅與a1有關(guān)。為此，人們將非中心Hotelling T2分布記為T2 T2 P,n,a，在a 0時，T2 P, n,0分布，就是中心的Hotelling T2分布。（2） 非中心Hotelling T2分布與非中心Z分布T2(P, n,an2(P,a)2(n p 1)Z(,2p 1,a)(6)（3）非中心Hotelling T2分布與非中心F分布n PnpT2(P,n ,a2(n2(P,a)/ pp 1)/(n p廠 F(p,nP 1,a)(7)（5）式與（7）式的證明與（2）式與（4）式的證明類似F面討論如何導(dǎo)出非中心Hotelling T2分布的密度函數(shù)。由（7）式知，由非中心F分布的密度函數(shù)可以得到非中心 Hotelling T2分布的密度函數(shù)。同樣地，