排列組合方法薈萃

1、高考數(shù)學(xué)排列組合難題方法1. 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理 ( 加法原理 )完成一件事，有 n 類(lèi)辦法，在第 1 類(lèi)辦法中有 m1 種不同的方法，在第 2 類(lèi)辦法中有 m2 種不同的方法， ，在第 n 類(lèi)辦法中有 mn 種不同的方法，那么完成這件事共有：Nm1m2mn 種不同的方法2. 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成 n 個(gè)步驟，做第 1 步有 m1 種不同的方法，做第 2 步有 m2 種不同的方法， ，做第 n 步有 mn 種不同的方法，那么完成這件事共有： Nm1m2mn 種不同的方法3. 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類(lèi)計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。分步計(jì)數(shù)原理

2、各步相互依存，每步中的方法不能完成整個(gè)事件一. 特殊元素和特殊位置：優(yōu)限法例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解: 由于末位和首位有特殊要求 , 應(yīng)該優(yōu)先安排 , 以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置 .先排末位共有 C31然后排首位共有 C41C41A 43C31最后排其它位置共有 A43由分步計(jì)數(shù)原理得 C1C1 A3 288434位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法, 若以元素分析為主 , 需先安排特殊元素 , 再處理其它元素 . 若以位置分析為主, 需先滿(mǎn)足特殊位置的要求 , 再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束

3、條件的同時(shí)還要兼顧其它條件練習(xí)題 :7 種不同的花種在排成一列的花盆里, 若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？二. 相鄰元素：捆綁法例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相鄰且丙丁相鄰 , 共有多少種不同的排法 . 解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有 A55 A22 A22 480種不同的排法甲乙丙丁要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素 ,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.練

4、習(xí)題 : 某人射擊 8 槍?zhuān)?4 槍?zhuān)? 槍命中恰好有 3 槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20三. 不相鄰：插空法1例 3. 一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有 4 個(gè)舞蹈 ,2 個(gè)相聲 ,3 個(gè)獨(dú)唱 , 舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng) , 則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解: 分兩步進(jìn)行第一步排 2 個(gè)相聲和 3 個(gè)獨(dú)唱共有 A55 種，第二步將 4 舞蹈插入第一步排好的 6 個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種 A46 不同的方法 ,由分步計(jì)數(shù)原理 , 節(jié)目的不同順序共有A55 A 46種元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5 個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加

5、了兩個(gè)新節(jié)目 . 如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30四. 順序一定：倍縮、空位插入例 4.7 人排隊(duì) , 其中甲乙丙 3 人順序一定共有多少不同的排法解:( 倍縮法 ) 對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題 , 可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列 , 然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù) , 則共有不同排法種數(shù)是： A 77/ A33(空位法)設(shè)想有 7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有A74 種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 1 種坐法，則共有 A74種方法。思考 : 可以先讓甲乙丙就坐嗎 ?（插入法 ) 先排甲乙丙三個(gè)人 , 共有 1 種

6、排法 , 再把其余 4四人依次插入共有方法定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插練習(xí)題 :10人身高各不相等 , 排成前后排，每排 5 人, 要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ C510五. 重排問(wèn)題求冪策略例 5. 把 6 名實(shí)習(xí)生分配到7 個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí) , 共有多少種不同的分法解: 完成此事共分六步 : 把第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有 7 種分法 . 把第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間也有 7 種分依此類(lèi)推 , 由分步計(jì)數(shù)原理共有 76 種不同的排法允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n 不同的元素沒(méi)有限制地安排在m 個(gè)位置上的排列數(shù)為m

7、n 種1. 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5 個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單， 開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目. 如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為422. 某 8 層大樓一樓電梯上來(lái) 8 名乘客人 , 他們到各自的一層下電梯 , 下電梯的方法 78六. 環(huán)排：線排例 6. 8 人圍桌而坐 , 共有多少種坐法 ?解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定2一人并從此位置把圓形展成直線其余7 人共有（ 8-1 ）！種排法即 7 ！CDBEAABCDEFGHAFHG一般地 ,n 個(gè)不同元素作圓形排列,共有 (n-1)! 種排法 .如果從 n 個(gè)不同元素中取出m 個(gè)元素作圓形排列共有

8、練習(xí)題： 6 顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？60七 . 多排：直排例 7.8 人排成前后兩排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法解:8 人排前后兩排 , 相當(dāng)于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排 . 個(gè)特殊元素有 A24 種, 再排后 4 個(gè)位置上的特殊元素丙有 A14 種, 其余的 5 人在 5個(gè)位置上任意排列有A55 種, 則共有 A 24 A14 A 55 種前 排后 排一般地 ,元素分成多排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考慮 ,再分段研練習(xí)題：有兩排座位，前排 11 個(gè)座位，后排 12 個(gè)座位，現(xiàn)安排 2 人就座規(guī)定前排中間的 3 個(gè)座位不能

9、坐，并且這 2 人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346八. 有選擇有排列：先選后排策略例 8. 有 5 個(gè)不同的小球 , 裝入 4 個(gè)不同的盒內(nèi) , 每盒至少裝一個(gè)球 , 共有多少不同的裝法 .解: 第一步從 5 個(gè)球中選出 2 個(gè)組成復(fù)合元共有 C52種方法 . 再把 4 個(gè)元素( 包含一個(gè)復(fù)合元素 ) 裝入 4 個(gè)不同的盒內(nèi)有 A44種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有 C2 A454解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?練習(xí)題：一個(gè)班有 6 名戰(zhàn)士 , 其中正副班長(zhǎng)各 1 人現(xiàn)從中選 4 人完成四種不同的任務(wù) , 每人完成一種任務(wù) , 且正

10、副班長(zhǎng)有且只有 1 人參加 , 則不同的選法有 192 種九. 小集團(tuán)：先整體后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1, 在兩個(gè)奇數(shù)之間 , 這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把 , , , 當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與排隊(duì)共有A22 種排法，再排小集團(tuán)3內(nèi)部共有 A22 A 22 種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有A22 A22A22 種排法 .小集團(tuán)排列問(wèn)題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。1524練習(xí)題：. 計(jì)劃展出 10 幅不同的畫(huà) , 其中 1 幅水彩畫(huà) , 幅油畫(huà) , 幅國(guó)畫(huà) , 排成一行陳列 , 要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共有陳

11、列方式的種數(shù)為 A22 A55 A 442. 5 男生和女生站成一排照像 , 男生相鄰 , 女生也相鄰的排法有 A 22 A 55 A55 種十. 元素相同：隔板法例 10. 有 10 個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給 7 個(gè)班，每班至少一個(gè) , 有多少種分配方案？解：因?yàn)?10 個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C96 種分法。一二三四五六七班班班班班班班將 n 個(gè)相同的元素分成m 份（ n， m 為正整數(shù)） ,每份至少一個(gè)元素,可以用 m-1 塊隔板，插入 n 個(gè)元素排成一排的n-1 個(gè)空隙

12、中，所有分法數(shù)為 Cnm11練習(xí)題： 1、10 個(gè)相同的球裝 5 個(gè)盒中 , 每盒至少一有多少裝法？C942 . xyzw100 求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)C 3103例 11. 從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10 的偶數(shù) , 不同的 取法有多少種？解：這問(wèn)題中如果直接求不小于 10 的偶數(shù)很困難 , 可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有 5 個(gè)偶數(shù) 5 個(gè)奇數(shù) , 所取的三個(gè)數(shù)含有 3 個(gè)偶數(shù)的取法有 C53 ,只含有 1 個(gè)偶數(shù)的取法有 C51C52 , 和為偶數(shù)的取法共有 C51C52C53 。再淘汰和小于 10 的偶數(shù)共 9 種，符合條件的

13、取法共有 C51C52C539有些排列組合問(wèn)題 , 正面直接考慮比較復(fù)雜 ,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面 ,再?gòu)恼w中淘汰 .練習(xí)題：我們班里有 43 位同學(xué) , 從中任抽5 人, 正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種 ?十二 . 平均分配、平均分組問(wèn)題除法策略例 12. 6 本不同的書(shū)平均分成 3 堆, 每堆 2本共有多少分法？解:分三步取書(shū)得 C62C42C22 種方法 , 但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象, 不妨記64本書(shū)為 ABCDEF，若第一步取AB,第二步取 CD,第三步取 EF 該分法記為 (AB,CD,EF), 則 C62C42 C22 中 還 有 (AB,

14、EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有 A33 種取法 , 而這些分法僅是 (AB,CD,EF) 一種分法 , 故共有 C62 C42C22 / A 33 種分法。平均分成的組 ,不管它們的順序如何 ,都是一種情況 ,所以分組后要一定要除以 A nn ( n 為均分的組數(shù) )避免重復(fù)計(jì)數(shù)。練習(xí)題：1將 13 個(gè)球隊(duì)分成 3 組, 一組 5 個(gè)隊(duì) , 其它兩組 4 個(gè)隊(duì) ,有多少分法？（ C135C84C44 / A 22 ）2.10 名學(xué)生分成 3 組, 其中一組 4 人,另兩組 3 人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組, 有多少種不同的

15、分組方法 （1540）3. 某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入 4 名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2 名，則不同的安排方案種數(shù)為_(kāi)（ C42C22 A62/ A22 90 ）十三 . 合理分類(lèi)與分步策略例 13. 在一次演唱會(huì)上共 10 名演員 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人會(huì)跳舞 , 現(xiàn)要出一個(gè) 2 人唱歌 2 人伴舞的節(jié)目 , 有多少選派方法解： 10 演員中有 5 人只會(huì)唱歌， 2 人只會(huì)跳舞 3 人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的 5 人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有C32 C32 種, 只會(huì)唱的 5 人中只有 1 人選上唱歌人員 C51C31C42 種,

16、只會(huì)唱的 5 人中只有 2 人選上唱歌人員有 C52C52 種，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有C32C32C15C31C42C52C52 種。解含有約束條件的排列組合問(wèn)題， 可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)， 按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步， 做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。練習(xí)題： 1. 從 4 名男生和 3 名女生中選出 4 人參加某個(gè)座談會(huì)，若這 4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有342. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 號(hào)船最多乘 3 人, 2 號(hào)船最多乘 2 人 ,3 號(hào)船只能乘 1 人, 他們?nèi)芜x 2 只船或 3 只船 , 但小孩不能單獨(dú)乘一只船 ,

17、這 3 人共有多少乘船方法 . （27）本題還有如下分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：* 以 3 個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)* 以 3 個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)* 以只會(huì)跳舞的 2 人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果5十四 . 構(gòu)造模型策略例 14. 馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈 , 現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞, 但不能關(guān)掉相鄰的 2 盞或 3 盞, 也不能關(guān)掉兩端的 2 盞, 求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在 6 盞亮燈的 5 個(gè)空隙中插入 3 個(gè)不亮的燈有C53 種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，

18、裝盒模型等， 可使問(wèn)題直觀解決練習(xí)題：某排共有10 個(gè)座位，若 4 人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）十五 . 實(shí)際操作窮舉策略例 15. 設(shè)有編號(hào) 1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子 , 現(xiàn)將 5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi) , 要求每個(gè)盒子放一個(gè)球， 并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同 , 有多少投法（ 賀卡問(wèn)題 ）解：從 5 個(gè)球中取出 2 個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有 C52 種還剩下 3 球 3 盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下 3,4,5 號(hào)球 , 3,4,5 號(hào)盒 3 號(hào)球裝 4 號(hào)盒時(shí)，則 4,5 號(hào)球有只有 1 種裝法，同理 3

19、號(hào)球裝 5 號(hào)盒時(shí) ,4,5 號(hào)球有也只有 1 種裝法 , 由分步計(jì)數(shù)原理有 2C52 種5343號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題：1. 同一寢室 4 人, 每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái), 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2. 給圖中區(qū)域涂色 , 要求相鄰區(qū) 域不同色 , 現(xiàn)有 4 種可選顏色 , 則不同的著色方法有 72 種13245十六 .分解與合成策略例 16. 30030 能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把 30030 分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=235

20、7 1113 依題意可知偶因數(shù)必先取 2, 再?gòu)钠溆?5 個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積， 所有的偶因數(shù)為： C15 C52 C53 C54 C556練習(xí) : 正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線解：我們先從 8 個(gè)頂點(diǎn)中任取 4 個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共C841258 , 每個(gè)四面體有 3 對(duì)異面直線 , 正方體中的 8 個(gè)頂點(diǎn)可連成 3 58174 對(duì)異面直線分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決 ,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu),用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成,從而得到問(wèn)題的答案,每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略十七 . 化歸策略

21、例 17. 25 人排成 55 方陣 , 現(xiàn)從中選 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的選法有多少種？解：將這個(gè)問(wèn)題退化成 9 人排成 33 方陣 , 現(xiàn)從中選 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 有多少選法 . 這樣每行必有 1 人從其中的一行中選取 1 人后 , 把這人所在的行列都劃掉， 如此繼續(xù)下去 . 從 33 方隊(duì)中選 3 人的方法有 C31C12C11 種。再?gòu)?55 方陣選出 33 方陣便可解決問(wèn)題 . 從 55 方隊(duì)中選取3 行 3 列有 C53C53選法所以從 55方陣選不在同一行也不在同一列的3人有C3C3C1C1C1選法。55321處理復(fù)雜

22、的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來(lái)的問(wèn)題練習(xí)題 : 某城市的街區(qū)由 12 個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路， 從 A走到 B 的最短路徑有多少種？ ( C73 35)BA十八 . 數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略例 18由 0，1，2，3，4，5 六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的比 324105 大的數(shù)？解: N 2A552A44A33A22A11297數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法, 查字典的法應(yīng)從高位向低位查, 依次求出其符合要求的個(gè)數(shù), 根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。練習(xí) : 用 0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)的四位偶數(shù), 將這些數(shù)字從小到大排列起來(lái) , 第 71 個(gè)數(shù)是 3140十九 . 樹(shù)形圖窮舉策略例 19 3 人相互傳球 , 由甲開(kāi)始發(fā)球 , 并作為第一次傳球 , 經(jīng)過(guò) 5 次傳求后 , 球7仍回到甲的手中 , 則不同的傳球方式有 _N10對(duì)于條件比較復(fù)雜