二次函數(shù)典型應(yīng)用題

1、新啟點(diǎn)教育學(xué)科輔導(dǎo)講義年級(jí)：姓名：輔導(dǎo)科目：授課內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容二次函數(shù)應(yīng)用題分類(lèi)二次函數(shù)是初中學(xué)段的難點(diǎn)，學(xué)生學(xué)起來(lái)覺(jué)的比較的吃力，可以把應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)：第一類(lèi)、利用待定系數(shù)法對(duì)于題目明確給出兩個(gè)變量間是二次函數(shù)關(guān)系，并且給出幾對(duì)變量值，要求求出函數(shù)關(guān)系式，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。解答的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出函數(shù)關(guān)系式。例1某公司生產(chǎn)的a種產(chǎn)品，它的成本是2元，售價(jià)是3元，年銷(xiāo)售量為100萬(wàn)件，為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是x（十萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量將是原銷(xiāo)售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：x（十萬(wàn)元）012y11.51

2、.82a4a（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果把利潤(rùn)看作是銷(xiāo)售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)，試寫(xiě)出年利潤(rùn)s（十萬(wàn)元）與廣告費(fèi)x（十萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果投入的年廣告費(fèi)為1030萬(wàn)元，問(wèn)廣告費(fèi)在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)的增大而增大？二、分析數(shù)量關(guān)系型題設(shè)結(jié)合實(shí)際情景給出了一定數(shù)與量的關(guān)系，要求在分析的基礎(chǔ)上直接寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式，并進(jìn)行應(yīng)用。解答的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意，正確寫(xiě)出數(shù)量關(guān)系式。例2某化工材料經(jīng)銷(xiāo)公司購(gòu)進(jìn)了一種化工原料共7000千克，購(gòu)進(jìn)價(jià)格為每千克30元。物價(jià)部門(mén)規(guī)定其銷(xiāo)售單價(jià)不得高于每千克70元，也不得低于30元。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)蝺r(jià)定為70元時(shí)，日均銷(xiāo)售60千克；單價(jià)每

3、降低1元，日均多售出2千克。在銷(xiāo)售過(guò)程中，每天還要支出其它費(fèi)用500元（天數(shù)不足一天時(shí)，按整天計(jì)算）。設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x元，日均獲利為y元。（1）求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；b+y=a(x+)24ac-b2（2）將（1）中所求出的二次函數(shù)配方成的形式，寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；在圖2所示的坐標(biāo)系中畫(huà)出草圖；觀察圖象，指出單價(jià)定為多少元時(shí)日均獲得最多，是多少？（3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷(xiāo)售單價(jià)最高這兩種銷(xiāo)售方式，哪一種獲總利較多，多多少？三、建模型即要求自主構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)等解決實(shí)際問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題建模要求高，有一定難度。例3如圖4，有一塊鐵皮，拱

4、形邊緣呈拋物線(xiàn)狀，mn=4dm，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處到邊mn的距離是4dm，要在鐵皮上截下一矩形abcd，使矩形頂點(diǎn)b、c落在邊mn上，a、d落在拋物線(xiàn)上，問(wèn)這樣截下去的矩形鐵皮的周長(zhǎng)能否等于8dm？例4.某環(huán)保器材公司銷(xiāo)售一種市場(chǎng)需求較大的新型產(chǎn)品,已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元,經(jīng)銷(xiāo)過(guò)程中測(cè)出銷(xiāo)售量y(萬(wàn)件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系,每年銷(xiāo)售該種產(chǎn)品的總開(kāi)支z(萬(wàn)元)(不含進(jìn)價(jià))與年銷(xiāo)量y(萬(wàn)件)存在函數(shù)關(guān)系z(mì)=10y+42.5.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)度寫(xiě)出該公司銷(xiāo)售該種產(chǎn)品年獲利w(萬(wàn)元)關(guān)于銷(xiāo)售單價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式;(年獲利=年銷(xiāo)售總金額-年銷(xiāo)售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)-

5、年總開(kāi)支金額)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)x為何值時(shí),年獲利最大?最大值是多少?(3)若公司希望該產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售獲利不低于57.5萬(wàn)元,請(qǐng)你利用(2)小題中的函數(shù)圖象幫助該公司確定這種產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)的范圍在此條件下要使產(chǎn)品的銷(xiāo)售量最大,你認(rèn)為銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元?二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax+bx+c(a0)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+，如果自變量的取值范圍是四：利潤(rùn)最大(小)值問(wèn)題知識(shí)要點(diǎn)：b4ac-b22)2+2a4a全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值）即當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)x=-，yb2a4ac-b24a最小值=；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)有最大值，并且當(dāng)x=-，yb2a4ac-b24a最大值=2a如果自

6、變量的取值范圍是xxx，如果頂點(diǎn)在自變量的取值范圍xxx內(nèi)，則當(dāng)x=-b1212，y4ac-b24a最值=，如果頂點(diǎn)不在此范圍內(nèi)，則需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)的增減性；如果在此范圍內(nèi)y隨x的增大而增大，則當(dāng)x=x時(shí)，2y=ax2+bx+c，當(dāng)x=x時(shí)，y最大221最小=ax2+bx+c；11如果在此范圍內(nèi)y隨x的增大而減小，則當(dāng)x=x時(shí)，y1最大=ax2+bx+c，當(dāng)x=x時(shí)，112y最小=ax2+bx+c22商品定價(jià)一類(lèi)利潤(rùn)計(jì)算公式：經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)據(jù)：商品進(jìn)價(jià)；商品售價(jià)1；商品銷(xiāo)售量；商品售價(jià)2；商品定價(jià)；（商品調(diào)價(jià)）；商品銷(xiāo)售量1；銷(xiāo)售量變化率;其他成本。uuuuuu單價(jià)商品利潤(rùn)=商品定

7、價(jià)商品售價(jià)1（價(jià)格變動(dòng)量）商品定價(jià)商品售價(jià)2（或者直接等于商品調(diào)價(jià)）；銷(xiāo)售量變化率=銷(xiāo)售變化量引起銷(xiāo)售量變化的單位價(jià)格；商品總銷(xiāo)售量=商品銷(xiāo)售量銷(xiāo)售量變化率；總利潤(rùn)（w）=單價(jià)商品利潤(rùn)總銷(xiāo)售量其他成本=總利潤(rùn)（w）（商品定價(jià)-商品售價(jià)1）商品銷(xiāo)售量1d銷(xiāo)售量變化-其他成本單位價(jià)格變動(dòng)例1：求下列二次函數(shù)的最值：（1）求函數(shù)y=x2+2x-3的最值例2：某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣(mài)出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？1當(dāng)炮彈從炮口以30角射出后，飛行高度h(米)與飛行時(shí)間t(秒

8、)之間的函數(shù)關(guān)系式是h=1vt5t2，其中v0練習(xí)：1某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用品，如果以單價(jià)30元銷(xiāo)售，那么半個(gè)月內(nèi)可以售出400件根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，提高單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷(xiāo)售量的減少，即銷(xiāo)售單價(jià)每提高1元，銷(xiāo)售量相應(yīng)減少20件如何提高售價(jià)，才能在半個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤(rùn)？實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)習(xí)題精選及解析填空題：20是炮彈發(fā)射的初速度，當(dāng)v0=300米/秒時(shí)，炮彈飛行的最大高度是_。2王師傅想在一塊三角形剩料中挖取一塊最大矩形料做其他用途，其圖形和數(shù)據(jù)如圖所示，請(qǐng)你計(jì)算王師傅所取得最大矩形料的面積_，這時(shí)ce=_，cf=_。解答題：1某旅社有客房120間，每間房間的日租金為50元，每天都客滿(mǎn)，旅社裝修

9、后，要提高租金。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，如果1間客房的日租金每提高5元，則客房每天出租數(shù)會(huì)減少6間。不考慮其他因素，旅社將每間客房的日租金提高到多少元時(shí)，客房日租金的總收入最高？比裝修前的日租金總收入增加多少元？2某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一種銷(xiāo)售成本為每千克40元的水產(chǎn)品；據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若按每千克50元銷(xiāo)售，一個(gè)月能銷(xiāo)售出500千克，銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元，月銷(xiāo)售量下降10千克，針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷(xiāo)售情況，請(qǐng)?zhí)剿饕韵聠?wèn)題：(1)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？(2)設(shè)月銷(xiāo)售單價(jià)為每千克x元，月銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元，寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。3火車(chē)進(jìn)站剎車(chē)滑行的距離s(單位：m)與滑行時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式是s

10、=30t1.5t2；火車(chē)離站臺(tái)多遠(yuǎn)開(kāi)始剎車(chē)，才能使火車(chē)票剛好停在站臺(tái)位置上？4南博汽車(chē)城銷(xiāo)售某種型號(hào)的汽車(chē)，每輛進(jìn)貨價(jià)為25萬(wàn)元；市場(chǎng)調(diào)研表明，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為29萬(wàn)元時(shí)，平均每周能售出8輛，而銷(xiāo)售價(jià)每降低0.5萬(wàn)元時(shí)，平均每周能多售出4輛；設(shè)每輛汽車(chē)降價(jià)x萬(wàn)元，每輛汽車(chē)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y萬(wàn)元。(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，在保證商家不虧本的前提下，寫(xiě)出x的取值范圍；(2)假設(shè)這種汽車(chē)平均每周的銷(xiāo)售利潤(rùn)為z萬(wàn)元，試寫(xiě)出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每輛汽車(chē)的定價(jià)為多少萬(wàn)元時(shí)，平均每周的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？5小店張老板批發(fā)進(jìn)貨，其中有一種商品進(jìn)價(jià)為每件9元，按每件15元出售，每天可銷(xiāo)售40件；現(xiàn)

11、在他想采用降價(jià)促銷(xiāo)的辦法來(lái)增加利潤(rùn)，已知這種商品每件每降價(jià)1元，日銷(xiāo)售量就增加10件，那么他把售價(jià)定為多少時(shí)，才能使每天獲利最大？每天最大利潤(rùn)是多少？6在黃州服裝批發(fā)市場(chǎng)，某種品牌的時(shí)裝當(dāng)季節(jié)即將來(lái)臨時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢(shì)；設(shè)這種時(shí)裝開(kāi)始時(shí)定價(jià)為20元，并且每周(7天)漲價(jià)2元，從第6周開(kāi)始保持30元的價(jià)格平穩(wěn)銷(xiāo)售；從第12周開(kāi)始，當(dāng)季節(jié)即將過(guò)去時(shí)，平均每周減價(jià)2元，直到第16周周末，該服裝不再銷(xiāo)售；(1)試建立銷(xiāo)售價(jià)y與周次x之間的關(guān)系式；(2)若這種時(shí)裝每件進(jìn)價(jià)z與周次x之間的關(guān)系為z=0.125(x8)2+12(1x16，且x為整數(shù))，試問(wèn)該服裝第幾周出售時(shí)，每件銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少

12、？二次函數(shù)經(jīng)典應(yīng)用題練習(xí)題1、某體育用品商店購(gòu)進(jìn)一批滑板，每件進(jìn)價(jià)為100元，售價(jià)為130元，每星期可賣(mài)出80件.商家決定降價(jià)促銷(xiāo)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每降價(jià)5元，每星期可多賣(mài)出20件.（1）求商家降價(jià)前每星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少元？（2）降價(jià)后，商家要使每星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，應(yīng)將售價(jià)定為多少元？最大銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？2、某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺(tái)，為了配合國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策的實(shí)施，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.調(diào)查表明：這種冰箱的售價(jià)每降低50元，平均每天就能多售出4臺(tái)（1）假設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，商場(chǎng)每天銷(xiāo)售這種冰箱的利潤(rùn)是y元，請(qǐng)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（不

13、要求寫(xiě)自變量的取值范圍）（2）商場(chǎng)要想在這種冰箱銷(xiāo)售中每天盈利4800元，同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠，每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少元？（3）每臺(tái)冰箱降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天銷(xiāo)售這種冰箱的利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)是多少？3、張大爺要圍成一個(gè)矩形花圃花圃的一邊利用足夠長(zhǎng)的墻另三邊用總長(zhǎng)為32米的籬笆恰好圍成圍成的花圃是如圖所示的矩形abcd設(shè)ab邊的長(zhǎng)為x米矩形abcd的面積為s平方米（1）求s與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）（2）當(dāng)x為何值時(shí)，s有最大值？并求出最大值（參考公式：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0），當(dāng)x=-b2a時(shí)，y最大(小)值4ac-b2=)4a4、某電視機(jī)生產(chǎn)廠(chǎng)家去年銷(xiāo)往農(nóng)

14、村的某品牌電視機(jī)每臺(tái)的售價(jià)y（元）與月份x之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=-50x+2600，去年的月銷(xiāo)售量p（萬(wàn)臺(tái)）與月份x之間成一次函數(shù)關(guān)系，其中兩個(gè)月的銷(xiāo)售情況如下表：月份1月5月銷(xiāo)售量3.9萬(wàn)臺(tái)4.3萬(wàn)臺(tái)（1）求該品牌電視機(jī)在去年哪個(gè)月銷(xiāo)往農(nóng)村的銷(xiāo)售金額最大？最大是多少？（2）由于受?chē)?guó)際金融危機(jī)的影響，今年1、2月份該品牌電視機(jī)銷(xiāo)往農(nóng)村的售價(jià)都比去年12月份下降了m%，且每月的銷(xiāo)售量都比去年12月份下降了1.5m%國(guó)家實(shí)施“家電下鄉(xiāng)”政策，即對(duì)農(nóng)村家庭購(gòu)買(mǎi)新的家電產(chǎn)品，國(guó)家按該產(chǎn)品售價(jià)的13%給予財(cái)政補(bǔ)貼受此政策的影響，今年3至5月份，該廠(chǎng)家銷(xiāo)往農(nóng)村的這種電視機(jī)在保持今年2月份的售價(jià)不變的情況下，

15、平均每月的銷(xiāo)售量比今年2月份增加了1.5萬(wàn)臺(tái)若今年3至5月份國(guó)家對(duì)這種電視機(jī)的銷(xiāo)售共給予了財(cái)政補(bǔ)貼936萬(wàn)元，求m的值（保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：345.831，355.916，376.083，386.164）5、某商場(chǎng)試銷(xiāo)一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷(xiāo)期間銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=65時(shí)，y=55；x=75時(shí)，y=45（1）求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式；（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為w元，試寫(xiě)出利潤(rùn)w與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？（3）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元，試確定銷(xiāo)售單價(jià)x的范圍6、某商場(chǎng)在銷(xiāo)售旺季臨近時(shí)，某品牌的童裝銷(xiāo)售價(jià)格呈上升趨勢(shì)，假如這種童裝開(kāi)始時(shí)的售價(jià)為每件20元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，從第6周開(kāi)始，保持每件30元的穩(wěn)定價(jià)格銷(xiāo)售，直到11周結(jié)束，該童裝不再銷(xiāo)售。（1）請(qǐng)建立銷(xiāo)售價(jià)格y（元）與周次x之間的函數(shù)關(guān)系；1（2）若該品牌童裝于進(jìn)貨當(dāng)周售完，且這種童裝每件進(jìn)價(jià)z（元）與周次x之間的關(guān)系為z=-(x-8)2+12，81x11，且x為整數(shù)，那么該品牌童裝在第幾周售出后，每件獲得利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn)為多少？7、茂名石化乙烯廠(chǎng)某車(chē)間生產(chǎn)甲、乙兩種塑料的相