公倍數(shù)與最小公倍數(shù)

1、第一章 數(shù)的整除,思考,在上海南站，地鐵1號線每隔3分鐘發(fā)車，軌道交通3號線每隔4分鐘發(fā)車，如果地鐵1號線和軌道交通3號線早晨6:00同時發(fā)車，那么至少再過多少時間它們又同時發(fā)車？,遇到這種問題我們怎么做？,我們說，1號線發(fā)車間隔一定是3的倍數(shù)，3號線是4的倍數(shù)。那么顯然，這個問題可以化作求3和4的公有的倍數(shù)。,3和4的公倍數(shù),4的倍數(shù),3的倍數(shù),12、24,3、6、9、15、18、21、27,4、8、16、20、28,如果要這種墻磚鋪一個正方形（用的墻磚都是整塊）。正方形的邊長可以是多少分米？最小是多少分米？,這種墻磚長3dm，寬2dm。,3，6，9，12， 15，18，,2，4，6，8，1

2、0，12，16，18，,3，6，9，12， 15，18，,2，4，6，8，10，12，16，18，,可以鋪出邊長是6dm，12dm，18dm，的正方形，最小的正方形邊長是6dm。,3的倍數(shù),2的倍數(shù),最小公倍數(shù),公倍數(shù),6,我們看一下具體的概念,幾個整數(shù)的公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，其中最小的一個叫做它們的最小公倍數(shù)。,班長說：“我們可以分成6人一組，也可以分成8人一組，都正好分完?！闭埓蠹也虏逻@些學(xué)生可能有幾人？,動腦筋： 暑假期間，小華、小明和小芳都去參加游泳訓(xùn)練。小華每3天去一次，小明每4天去一次，小芳每6天去一次.8月1日三人都去參加了游泳訓(xùn)練，幾月幾日他們又再次一起參加訓(xùn)練？,那么我

3、們就有了這樣幾個問題：,兩個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)有限嗎？ 幾個素數(shù)和互素的數(shù)有公倍數(shù)嗎？ 怎樣去求兩個數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)？,無限個！,有！,怎樣求6和8的最小公倍數(shù)？,觀察：兩個數(shù)的 公倍數(shù)和它們的 最小公倍數(shù)之間 有什么關(guān)系？,4,看8的倍數(shù)中有哪些是6的倍數(shù),6和8的公倍數(shù)有很多呢。,你還有其他方法嗎？和同學(xué)討論一下。,求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：,1、列舉法 2、分解素因數(shù)法 3、短除法,1、在2的倍數(shù)上畫“ ”,在5的倍數(shù)上畫“ ”。,2和5的公倍數(shù)有 ，最小公倍數(shù)是 。,10、20、30,10,2、把50以內(nèi)6和8的倍數(shù)、公倍數(shù)分別填在下面的圈里，再找出它們的最小公倍數(shù)。,6的倍數(shù),

4、8的倍數(shù),6的倍數(shù),8的倍數(shù),6和8的公倍數(shù),6、12、18、24、30、36、42、48,8、16、24、32、40、48,24、 48,6、12、18、30、36、42,8、16、32、40,如果這些學(xué)生的總?cè)藬?shù)在40人以內(nèi)，可能是多少人？,4，8，12，16，20，24 28，32，36，40,6，12，18，24，30， 36,40以內(nèi)4的倍數(shù),40以內(nèi)6的倍數(shù),4，8，12，16，20，24 28，32，36，40,6，12，18，24，30， 36,咱們可以分成4人一組，也可以分成6人一組，都正好分完。,這些學(xué)生的人數(shù)可能是12、24、36人,寫出6和9的公倍數(shù)。,6的倍數(shù)：6，1

5、2，18，24，30，36， 42，48，54,9的倍數(shù)：9，18，27，36，45，54， 63,6和9的公倍數(shù)有：18，36，54 6和9的最小的公倍數(shù)是18。,我們可以用下圖表示6和9的公倍數(shù)。,，12 ，30 42，48 ,18 36 54,9，27 45，63 ,6的倍數(shù),9的倍數(shù),6和9的的公倍數(shù),像這種把倍數(shù)分別寫出然后找出相同倍數(shù)的方法我們稱之為列舉法。這種方法可以很快的找出比較小的公倍數(shù)，但是一般只有在數(shù)字較小的時候用的比較多。例如找出12和18的公倍數(shù)。,1、找倍數(shù)，從小到大依次找出各個數(shù)的倍數(shù)。,列舉法：,2、找公有，把各個數(shù)的倍數(shù)進行對照找出公有的倍數(shù)。,3、找最小，從

6、公有的倍數(shù)中找出最小的一個。,12的倍數(shù)有：,18的倍數(shù)有：,12、24、36、48、60、72,18、36、54、72、90、108,12和18的公倍數(shù)有：,12和18的最小公倍數(shù)是：,有沒有最大的公倍 數(shù)？為什么？,注意省略號,36、72,36,1.把50以內(nèi)6和8的倍數(shù)、公倍數(shù)分別填在下面的圈內(nèi)，再找出它們的最小公倍數(shù)。,6的倍數(shù),8的倍數(shù),6，12，18 24，30，36 42，48,8，16，24 32，40，48,6的倍數(shù),8的倍數(shù),6和8的公倍數(shù),6,12,18 30,36,42,8,16 32,40,24 48,4和5的公倍數(shù)有_ 最小公倍數(shù)是 。 4和6的公倍數(shù)有 最小公倍數(shù)

7、是 。,5和6的公倍數(shù)有 最小公倍數(shù)是 。,那我們再看這樣的問題,求34和78的最小公倍數(shù)。 顯然，這種比較大的數(shù)字我們再用這種方法就很困難了。那我們怎么辦？,6和15 16和12 15和20 21和28,找出下面每組數(shù)的最小公倍數(shù),30,84,48,60,6=2*3 15=3*5,6和15的公倍數(shù)里，應(yīng)該包括6和15所有的素因數(shù)，所以分別取出公有的部分3，然后再去各自剩余的2和5，連乘即可。,我們也可以利用分解質(zhì)因數(shù)的方法，比較簡便地求出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。 例如： 60 = 223 5 42 = 22 7 60和42的最小公倍數(shù) = 23257 = 420,知道嗎,這種方法叫什么？,我們說

8、，把每個數(shù)分別分解素因數(shù)，然后把相同的因數(shù)提取出來，只取一個，然后把其他的因數(shù)都放在一起連乘，得到的結(jié)果就是最小公倍數(shù)。,我們說，分解素因數(shù)的方法：,短除法 怎樣用短除法求最小公倍數(shù)？,求12和18的最小公倍數(shù)。,1 2,1 8,2,6,9,3,2,3,用公有因數(shù)2除,用公有因數(shù)3除,除到公因數(shù)只有1為止,12和18的最小公倍數(shù)是：,想一想： 從短除式中能看出36是12 、18的多少倍嗎？,36是12的3倍,36是18的2倍,短除法：,求最大公因數(shù)是把所有的除數(shù)連乘起來，就得到這兩個數(shù)的最大公因數(shù),求最小公倍數(shù)是把所有的除數(shù)和 最后的兩個商連乘起來，就得到 這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。,232336

9、,短除法,求6和15的最小公倍數(shù)。,6,1 5,3,2,5,用公因數(shù)3除,除到公因數(shù)只有1為止,6和15的最小公倍數(shù)是：,32530,24和18,2 4,1 8,3,8,6,2,4,3,除以公因數(shù)3,除以公因數(shù)2,除到兩個商是互質(zhì)數(shù)公因數(shù)只有1為止,24和18的最小公倍數(shù)是：,24和18的最大公因數(shù)是：,324372,326,24和12,2 4,1 2,4,6,3,3,2,1,除以公因數(shù)4,除以公因數(shù)3,除到兩個商是互質(zhì)數(shù)公因數(shù)只有1為止,24和12的最小公倍數(shù)是：,24和12的最大公因數(shù)是：,432124,4312,18和9,1 8,9,9,2,1,除以公因數(shù)9,除到兩個商是互質(zhì)數(shù)公因數(shù)只有

10、1為止,18和9的最小公倍數(shù)是：,18和9的最大公因數(shù)是：,92118,9,14和21,1 4,2 1,7,2,3,除以公因數(shù)7,除到兩個商是互質(zhì)數(shù)公因數(shù)只有1為止,14和21的最小公倍數(shù)是：,14和21的最大公因數(shù)是：,72342,7,兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系（一 個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)） ，它們的最小公倍數(shù)就 是較大的那個數(shù)。,兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時， 較小的數(shù)就是這兩個 數(shù)的最大公因數(shù),45和30,4 5,3 0,5,9,6,3,3,2,除以公因數(shù)5,除以公因數(shù)3,除到兩個商是互質(zhì)數(shù)公因數(shù)只有1為止,45和30的最小公倍數(shù)是：,45和30的最大公因數(shù)是：,533290,5315,16和20,1 6,2

11、 0,4,4,5,除以公因數(shù)4,除到兩個商是互質(zhì)數(shù)公因數(shù)只有1為止,16和20的最小公倍數(shù)是：,16和20的最大公因數(shù)是：,44580,4,15和25,1 5,2 5,5,3,5,除以公因數(shù)5,除到兩個商是互質(zhì)數(shù)公因數(shù)只有1為止,15和25的最小公倍數(shù)是：,15和25的最大公因數(shù)是：,53575,5,10和12,1 0,1 2,2,5,6,除以公因數(shù)2,除到兩個商是互質(zhì)數(shù)公因數(shù)只有1為止,10和12的最小公倍數(shù)是：,10和12的最大公因數(shù)是：,25660,2,判斷：,兩個數(shù)的公倍數(shù)一定比這兩個數(shù)都大。（ ),分析： 當兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，它們的最小公倍數(shù)就 是其中較大的那個數(shù)。,判斷：,不相同

12、的兩個數(shù)的最小公倍數(shù)一定比它們的最大公因數(shù)大。 （ ),例:4和6的最大公因數(shù)是2；最小公倍數(shù)是12,判斷：,48既能被8整除，又能被6整除，所以48是8和6 的最小公倍數(shù)。（ ),分析： 兩個數(shù)的公倍數(shù)是無限個，但最小公倍數(shù)只有1個， 48只是8和6的公倍數(shù)，而不是最小公倍數(shù)。,先分別找出每組數(shù)的最小公倍數(shù)，再仔細觀察。 你能發(fā)現(xiàn)什么？,6和7 8和24 4和9 12和36 5和13 11和33,42,36,65,24,36,33,兩個數(shù)的公因數(shù)只有1時， 它們的最小公倍數(shù)就是 這兩個數(shù)的乘積。,兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系（一 個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)） ，它們的最小公倍數(shù)就 是較大的那個數(shù)。,找出下列每組數(shù)的最小公倍數(shù)。你發(fā)現(xiàn)了什么？,3和6 2和8 5和6 4和9,3和6的最小公倍數(shù)是6。,2和8的最小公倍數(shù)是8。,5和6的最小公倍數(shù)是30。,4和9的最小公倍數(shù)是36。,兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)關(guān)系，它們的最小公倍數(shù)就是它們的乘積。,兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，它們的最小公倍數(shù)就是較大的數(shù)。,從前有個長工，在巴依老爺家干了一年也沒有拿到一個銅板。長工們于是自發(fā)地組織了起來并邀請阿凡提幫他們?nèi)ハ虬鸵览?/p>