人教版初二上冊(cè)數(shù)學(xué)培優(yōu)暑期講義教師版[全冊(cè)]

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)班暑期講義姓名:_學(xué)校:_班級(jí):_ 第十一章 全等三角形及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：若abc和abc是全等的三角形，記作 “abcabc其中，“”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；4. 尋找對(duì)應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊

2、。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（3）通過(guò)觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過(guò)下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。翻折 如圖（1），dbocdeod，dboc可以看成是由deod沿直線ao翻折180得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖（2），dcoddboa，dcod可以看成是由dboa繞著點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)180得到的；平移 如圖（3），ddefdacb，ddef可以看成是由dac

3、b沿cb方向平行移動(dòng)而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問(wèn)題：（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a: 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即aaa；b :有兩邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等，即ssa。全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識(shí)。【分類解析】全等三角形知識(shí)的應(yīng)用（1） 證明線段（或角）相等【例1】如圖，已知ad=ae,ab=ac.求

4、證：bf=fc分析：由已知條件可證出acdabe，而bf和fc分別位于dbf和efc中，因此先證明acdabe，再證明dbfecf，既可以得到bf=fc.證明：在acd和abe中， acdabe (sas) b=c（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）又 ad=ae,ab=ac. abad=acae 即 bd=ce在dbf和ecf中 dbfecf （aas） bf=fc （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行【例2】已知：如圖，deac，bfac，垂足分別為e、f，de=bf，af=ce.求證：abcd分析：要證abcd，需證ca，而要證ca，又需證abfcde.由已知bfac，deac，知decbfa

5、=90，且已知de=bf，af=ce.顯然證明abfcde條件已具備，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證ca,進(jìn)一步證明abcd.證明： deac，bfac （已知） decbfa=90 （垂直的定義）在abf與cde中， abfcde（sas） ca (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等) abcd （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等【例3】如圖，在 abc中，ab=ac，延長(zhǎng)ab到d，使bd=ab，取ab的中點(diǎn)e，連接cd和ce. 求證：cd=2ce分析：()折半法：取cd中點(diǎn)f，連接bf，再證cebcfb.這里注意利用bf是acd中位線這個(gè)條

6、件。證明：取cd中點(diǎn)f，連接bf bf=ac,且bfac （三角形中位線定理） acb2 (兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)又 ab=ac acb3 （等邊對(duì)等角） 32在ceb與cfb中， cebcfb (sas) ce=cf=cd （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）即cd=2ce （）加倍法證明：延長(zhǎng)ce到f，使ef=ce，連bf.在aec與bef中，aecbef (sas) ac=bf, 43 (全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等) bfac (內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行) acb+cbf=180o,abc+cbd=180o,又ab=ac acb=abccbf=cbd （等角的補(bǔ)角相等）在cfb與cdb中， cfbcd

7、b (sas) cf=cd即cd=2ce說(shuō)明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取ac中點(diǎn)f，連bf(如圖)（b為ad中點(diǎn)是利用這個(gè)辦法的重要前提），然后證ce=bf.(4)證明線段相互垂直【例4】已知：如圖，a、d、b三點(diǎn)在同一條直線上，adc、bdo為等腰三角形，ao、bc的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒(méi)有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過(guò)觀察，可以猜測(cè)：ao=bc，aobc.證明：延長(zhǎng)ao交bc于e,在ado和cdb中 adocdb (s

8、as) ao=bc, oad=bcd（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等） aodcoe （對(duì)頂角相等） coe+oce=90o aobc5、中考點(diǎn)撥：【例1】如圖，在abc中，abac，e是ab的中點(diǎn)，以點(diǎn)e為圓心，eb為半徑畫(huà)弧，交bc于點(diǎn)d，連結(jié)ed，并延長(zhǎng)ed到點(diǎn)f，使dfde，連結(jié)fc求證：fa分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在已知圖形中a、f不在全等的兩個(gè)三角形中，但由已知可證得efac，因此把a(bǔ)通過(guò)同位角轉(zhuǎn)到bde中的bed，只要證ebdfcd即可證明：abac，acbb，ebed，acbedbedacbedabeeabdcd又dedf，bdecdfbdecd

9、f，bedffa說(shuō)明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系。【例2】如圖，已知 abc為等邊三角形，延長(zhǎng)bc到d，延長(zhǎng)ba到e，并且使ae=bd，連接ce、de.求證：ec=ed 分析：把已知條件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和aec全等的三角形，因此過(guò)d點(diǎn)作dfac交be于f點(diǎn)，證明aecfed即可。證明：過(guò)d點(diǎn)作dfac交be于f點(diǎn) abc為等邊三角形 bfd為等邊三角形 bf=bd=fd ae=bd ae=bf=fd aeaf=bfaf 即 ef=ab ef=ac在

10、ace和dfe中， aecfed（sas） ec=ed（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）題型展示：【例1】如圖，abc中，c2b，12。求證：abaccd分析：在ab上截取aeac，構(gòu)造全等三角形，aedacd，得dedc，只需證debe問(wèn)題便可以解決證明：在ab上截取aeac，連結(jié)de aeac，12，adad， aedacd， dedc，aedc aedbedb，c2b， 2bbedb即 bedb ebed，即eddc， abacdc剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長(zhǎng)法（即在長(zhǎng)線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作aeac是利用了角

11、平分線是角的對(duì)稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補(bǔ)短法（即延長(zhǎng)一條短線段等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 下列判斷正確的是（ ）（a）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（b）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為30的兩個(gè)等腰三角形全等（c）有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（d）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2. 已知：如圖，cdab于點(diǎn)d，beac于點(diǎn)e，be、cd交于點(diǎn)o，且ao平分bac求證：oboc3. 如圖，已知

12、c為線段ab上的一點(diǎn)，dacm和dcbn都是等邊三角形，an和cm相交于f點(diǎn)，bm和cn交于e點(diǎn)。求證：dcef是等邊三角形。4.如圖，在abc中，ad為bc邊上的中線。求證：adac，的平分線與bc的垂直平分線相交于d，自d作于e，求證：bf=cg。1、軸對(duì)稱的性質(zhì)：（）關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形；（）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；（）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上；（）如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。2、軸對(duì)稱作（畫(huà)）圖：（）畫(huà)圖形的對(duì)稱軸（）如果一個(gè)圖形關(guān)于某

13、直線對(duì)稱，那么對(duì)稱點(diǎn)之間的線段的垂直平分線就是該圖形的對(duì)稱軸。（）畫(huà)某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法（）畫(huà)已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形注意：（）全等的圖形不一定是軸對(duì)稱的，軸對(duì)稱的圖形一定是全等的。（）性質(zhì)（）的作用是判定兩個(gè)圖形是否關(guān)于某直線對(duì)稱，它是作對(duì)對(duì)稱圖形的主要依據(jù)?！纠?】如圖，abc和abc關(guān)于直線對(duì)稱，下列結(jié)論中：abcabc；bacbac；l垂直平分cc；直線bc和bc的交點(diǎn)不一定在l上，正確的有( )a4個(gè) b3個(gè) c2個(gè) d1個(gè)舉一反三：1、如圖，abc與a/b/c/關(guān)于直線l對(duì)稱，則b的度數(shù)為（ ）fedcbaa50 b30 c100 d902、如圖六邊形abcdef是軸對(duì)

14、稱圖形，cf所在的直線是它的對(duì)稱軸，若afc+bcf=150，則afe+bcd的大小是（）150 300 210 330【例9】如圖，點(diǎn)p在aob內(nèi)，點(diǎn)m、n分別是點(diǎn)p關(guān)于ao的對(duì)稱點(diǎn)、bo的對(duì)稱點(diǎn)，若pef的周長(zhǎng)為15，求mn的長(zhǎng)等腰三角形專題講解【知識(shí)精讀】（）等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。等腰三角形是以底邊的垂直

15、平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形； 2. 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”。） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直

16、角邊等于斜邊的一半。 2. 定理及其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。 3. 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問(wèn)題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過(guò)它來(lái)證明線段或角的倍分問(wèn)題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來(lái)定。【分類解析】【例1】如圖，已知在等邊三角形a

17、bc中，d是ac的中點(diǎn)，e為bc延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且cecd，dmbc，垂足為m。求證：m是be的中點(diǎn)。 分析：欲證m是be的中點(diǎn)，已知dmbc，所以想到連結(jié)bd，證bded。因?yàn)閍bc是等邊三角形，dbeabc，而由cecd，又可證eacb，所以1e，從而問(wèn)題得證。 證明：因?yàn)槿切蝍bc是等邊三角形，d是ac的中點(diǎn) 所以1abc 又因?yàn)閏ecd，所以cdee 所以acb2e 即1e 所以bdbe，又dmbc，垂足為m 所以m是be的中點(diǎn) （等腰三角形三線合一定理）【例2】如圖，已知：中，d是bc上一點(diǎn)，且，求的度數(shù)。 分析：題中所要求的在中，但僅靠是無(wú)法求出來(lái)的。因此需要考慮和在題目中的作用。

18、此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來(lái)求。 解：因?yàn)椋?因?yàn)?，所以?因?yàn)椋裕ǖ冗厡?duì)等角） 而 所以 所以 又因?yàn)?即 所以 即求得 說(shuō)明1. 等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。 2. 注意“等邊對(duì)等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。 3. 此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。 【例3】已知：如圖，中，于d。求證：。 分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形

19、，是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與的關(guān)系。 證明：過(guò)點(diǎn)a作于e， 所以（等腰三角形的三線合一性質(zhì)） 因?yàn)?又，所以 所以（直角三角形兩銳角互余） 所以（同角的余角相等） 即 說(shuō)明： 1. 作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線； 2. 對(duì)線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或“倍長(zhǎng)中線”等輔助線的添加方法，對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出的等角等。4、中考題型： 1.如圖，abc中，abac，a36，bd、ce分別為abc與acb的角平分線，且相交

20、于點(diǎn)f，則圖中的等腰三角形有（ ） a. 6個(gè) b. 7個(gè) c. 8個(gè) d. 9個(gè) 分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個(gè)，故選擇c。 2.）已知：如圖，在abc中，abac，d是bc的中點(diǎn)，deab，dfac，e、f分別是垂足。求證：aeaf。 證明：因?yàn)椋?又因?yàn)?所以 又d是bc的中點(diǎn)，所以 所以 所以，所以 說(shuō)明：證法二：連結(jié)ad，通過(guò) 證明即可5、題形展示：【例1】如圖，中，bd平分。求證：。 分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在bc上截取，只需證明，考慮到，想到在bc上截取，連結(jié)de，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過(guò)角度計(jì)算可以得出

21、。 證明一：在bc上截取，連結(jié)de、df 在和中， 又 而 即分析二：如圖，可以考慮延長(zhǎng)bd到e，使dead，這樣bdad=bd+de=be，只需證明bebc，由于，只需證明易證，故作的角平分線，則有，進(jìn)而證明，從而可證出。 證明二：延長(zhǎng)bd到e，使dead，連結(jié)ce，作df平分交bc于f。 由證明一知： 則有 df平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中， 說(shuō)明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題能力?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 1. 選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部

22、分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為（ ） a. 2cmb. 8cmc. 2cm或8cmd. 以上都不對(duì) 2. 如圖，是等邊三角形，則的度數(shù)是_。3. 求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上. 4. 中，ab的中垂線交ab于d，交ca延長(zhǎng)線于e，求證：。【試題答案】 1. b 2. 分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。 解：因?yàn)槭堑冗吶切?所以 因?yàn)椋?所以 在中，因?yàn)?所以，所以 所以 3. 分析：首先將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。已知：如圖，在中，d、e分別為ac、ab邊中點(diǎn)，bd、ce交于o點(diǎn)。求證：點(diǎn)o在bc的垂直平分線上。 分析

23、：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明。而ob、oc在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵谥校裕ǖ冗厡?duì)等角）又因?yàn)閐、e分別為ac、ab的中點(diǎn)，所以（中線定義）在和 中，所以所以（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。所以（等角對(duì)等邊）。即點(diǎn)o在bc的垂直平分線上。說(shuō)明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號(hào)語(yǔ)言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“oboc”是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題也可改成開(kāi)放題：“abc中，abac，d、e分別為ac、ab上的中點(diǎn)，bd、ce交于o。連結(jié)ao后，試判斷ao與bc的關(guān)系，并證明你的結(jié)論

24、”其解決方法是和此題解法差不多的。4. 分析：此題沒(méi)有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫(huà)出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取bc的中點(diǎn)。證明：過(guò)點(diǎn)a作bc邊的垂線af，垂足為f。31在中，所以 所以（等腰三角形三線合一性質(zhì)）。所以（鄰補(bǔ)角定義）。所以又因?yàn)閑d垂直平分ab，所以（直角三角形兩銳角互余）。（線段垂直平分線定義）。又因?yàn)椋ㄖ苯侨切沃?角所對(duì)的邊等于斜邊的一半）。所以在和中，所以所以即。說(shuō)明：（1）根據(jù)題意，先準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形，是解幾何題的一項(xiàng)基本功；（2）直角三角形中角的特殊關(guān)系，溝通了邊之間的數(shù)量關(guān)系，為順利證明打通了思路。第十三章 實(shí)數(shù)【知識(shí)要點(diǎn)】一、實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理

25、數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。1、實(shí)數(shù)有以下兩種分類方法： （1）按定義分類 （2）按大小分類2、實(shí)數(shù)中的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值概念和有理數(shù)一樣，例如的相反數(shù)為，倒數(shù)為，的絕對(duì)值為。3、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系： 實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示。4、實(shí)數(shù)的運(yùn)算： （1）關(guān)于有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用。 （2）涉及無(wú)理數(shù)的計(jì)算，可根據(jù)問(wèn)題的要求取其近似值，轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進(jìn)行計(jì)算。二、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被開(kāi)方數(shù)。1、二次根式的性質(zhì)： （1）；（2）； 2、最簡(jiǎn)二次根式： （1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是

26、整數(shù)，因式是整式。即被開(kāi)方數(shù)不含有分母。 （2）被開(kāi)方數(shù)中不含有能開(kāi)盡方的因數(shù)或因式。即被開(kāi)方數(shù)中每個(gè)因數(shù)或因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2。3、同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式。4、二次根式的運(yùn)算：（1）二次根式的運(yùn)算法則： ； ； ； ；（2）分母有理化（3）二次根式的混合運(yùn)算三、非負(fù)性及應(yīng)用：1、非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和零2、常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，實(shí)數(shù)的偶次方，非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等，用符號(hào)表示如下： 若a是實(shí)數(shù)，則； 若a是實(shí)數(shù)，則（n為正整數(shù)），當(dāng)n=1時(shí)，a20； （n為正整數(shù)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，此時(shí)；3、非負(fù)數(shù)有如下性

27、質(zhì)： 有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和是非負(fù)數(shù)；有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和是零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)是零?！镜淅馕觥?、無(wú)理數(shù)的識(shí)別與估算方法例1 、（1）在實(shí)數(shù)3.14，0.10110111011110，中，哪些是有理數(shù)，哪些是無(wú)理數(shù)？（2）估算的值（ ）a在5和6之間 b.在6和7之間 c.在7和8之間 d.在8和9之間2、實(shí)數(shù)的大小比較方法例2、（1）比較大?。?_（填“”“”或“” ） （2）已知，則、的大小關(guān)系為_(kāi)（3）比較大?。寒?dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，_.（填“”或“” ）3、實(shí)數(shù)有數(shù)軸的關(guān)系例3、如右圖：數(shù)軸上點(diǎn)a表示的數(shù)為x，則x213的立方根是（ ）a.13 b.13 c.2 d.24、實(shí)數(shù)的運(yùn)算例4、（1）；（2）；

28、（3）； （4）。5、實(shí)數(shù)性質(zhì)的使用例5、（1）化簡(jiǎn)： ； （2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則2a_0；ab_0；ba_0；2aab_。 例6、（1）已知，求的值。（2）已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則=_【課堂檢測(cè)】1、在中，屬于有理數(shù)的是 _屬于無(wú)理數(shù)的是 _2、（1） ； 。 （2） 。 （3）若= 。 （4）計(jì)算 。3、比較大?。?） （2） 。 4、下列語(yǔ)句中不正確的是（ ） a無(wú)理數(shù)是帶根號(hào)的數(shù)，其根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡； b8的立方根是2； c絕對(duì)值等于的實(shí)數(shù)是 d每一個(gè)實(shí)數(shù)都有數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)。 5、與相乘，結(jié)果為1的數(shù)是（ ） abcd6、下列計(jì)算正確

29、的是（ ） a b c.d7、數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的左邊，則式子的值是（ ） a正數(shù)b-1c小于-1d大于-18、化簡(jiǎn)，甲、乙兩同學(xué)的解法如下：甲：； 乙：，對(duì)于他們的解法，正確的是（ ） a甲、乙的解法都正確b甲正確、乙不正確c甲、乙的解都錯(cuò)誤 d.正確、甲不正確 9、計(jì)算或化簡(jiǎn)：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）已知，求（6）已知的值。10、已知y=+18,求代數(shù)式的值。11、細(xì)心觀察右圖和認(rèn)真分析下列各式，然后解答問(wèn)題：， ；， ；， ；（1）請(qǐng)用含的（為正整數(shù)）的等式表示上述變化的規(guī)律；（2）推算出 ， ； ， ；（3）求出的值。第十四章 一次函數(shù)變化的世界 一次函數(shù)

30、函數(shù) 圖像性質(zhì) 一元一次方程一元一次不等式 二元方程組一 函數(shù)在某變化過(guò)程中，存在 個(gè)變量x、y，y隨x的變化而發(fā)生變化，對(duì)于x在其取值范圍內(nèi)，每一個(gè)確定的值，y都有 的值與之對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。練習(xí)：函數(shù)y中自變量的取值范圍是，y=中x的取值范圍是 二 一次函數(shù)和正比例函數(shù)1概念： 若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的 （x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的 .（1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)函數(shù)的 來(lái)確定.（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不

31、等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).練習(xí)：已知函數(shù)；（1）若是一次函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？（2）若是正比例函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？2、一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b此直線與y軸的交點(diǎn)（ ），與x軸的交點(diǎn)（ ）.畫(huà)正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0， ），（1， ）即可.3、一次函數(shù)性質(zhì)（1）性質(zhì)函數(shù)kb位置y隨x的變化草圖（2）點(diǎn)p（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系a.如果點(diǎn)p（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么

32、x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；b.如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，那么以x0，y0為坐標(biāo)的點(diǎn)必在函數(shù)的圖象上（3）確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件a.由于正比例函數(shù)y=kx（k0）中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需一個(gè)條件（如一對(duì)x，y的值或一個(gè)點(diǎn)）就可求得k的值b.由于一次函數(shù)y=kx+b（k0）中有兩個(gè)待定系數(shù)k，b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值4.一次函數(shù)與方程（不等式）(1). 一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系 一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系，解決此類問(wèn)題

33、關(guān)鍵是找到函數(shù)y=kx+b（k0，k，b為常數(shù)）與x軸的交點(diǎn)（ ），直線y=kx+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式 （k0）的解；在x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式 （k0）的解；在x軸上也就是函數(shù)值等于零，x的值是方程 的解。(2) 一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系 兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值 ；圖像在上方的函數(shù)的值較 。熱身訓(xùn)練1下列各式y(tǒng)是x一次函數(shù)的為（ ）a y=1x+3 b y=x2+2x+5 c y=2x d y=2x+35 e y=a+3f 2如圖的四個(gè)圖象中，不表示某一函數(shù)圖象的是（ ）3函數(shù)y=x的圖象是一條

34、過(guò)原點(diǎn)及（2，_ ）的直線，這條直線經(jīng)過(guò)第_象限，當(dāng)x增大時(shí)，y隨之_ 4. 函數(shù)y=2x4，與x軸的交點(diǎn)是 ，當(dāng)x_，y0。5函數(shù)y=-3x+5上取x1=1，x2=2，比較大?。簓1_y2；函數(shù)y=(m2+1)x+2 （m為常數(shù)）有x1=1，x2=2，比較大小y1_y2； 6某一次函數(shù)圖像過(guò)一、三、四象限，則：k_0，b_07如右圖，判斷那些點(diǎn)屬于該直線a.（1，3）b.（-1，1）c.（2，-2）d.（-12，-1）基本訓(xùn)練一、 填空題 1 小華用500元去購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為3元的一種商品，剩余的錢(qián)y（元）與購(gòu)買(mǎi)這種商品的件數(shù)x（件）之間的函數(shù)關(guān)系是_， x的取值范圍是_ 2 函數(shù)y=2x4的圖象

35、經(jīng)過(guò)_象限，它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)3 一次函數(shù)y=kxb的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，5），交y軸的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，則k=_，b=_ 4若點(diǎn)（m，m3）在函數(shù)y= x2的圖象上，則m=_ 5、直線y=3-9x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi) 6、若直線y=kxb平行直線y=3x4，且過(guò)點(diǎn)（1，-2），則k= ；b= . 二、選擇題1一次函數(shù)y=x-1的圖像不經(jīng)過(guò)( )a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限2.已知正比例函數(shù)y=kx(k0)的圖像過(guò)第二、四象限,則( )a.y隨x的增大而減小 b.y隨x的增大而增大c.當(dāng)x0時(shí),y隨x的增大而減小d.不論x如何變化,y不變3.結(jié)合正比例函數(shù)y=4x的圖像回答:當(dāng)x1時(shí),y的取值范圍是( ) a.y=1 b.1y44如右圖，判斷直線k，b值范圍a. k0，b0 b. k0，b0，b0 d. k0三、 解答題1已知y與x-2成正比例關(guān)系，且當(dāng)x=3時(shí)，y=6，求函數(shù)的表達(dá)式2、已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（1，3）和點(diǎn)（2，3），（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）判斷點(diǎn)c（2，5）是否在該函數(shù)圖象上。3若函數(shù)y=4xb的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為8，求解析式4、已知一次函數(shù)y =（m + 4）x + m + 2（m為整數(shù)）的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，求m的范圍 ； 5、