最新6-1-22-雞兔同籠問題(二).教師版資料

1、精品文檔6-1-9.雞兔同籠問題（二）教學目標1.熟悉雞兔同籠的“砍足法”和“假設法”.2.利用雞兔同籠的方法解決一些實際問題，需要把多個對象進行恰當組合以轉化成兩個對象知識精講一、雞兔同籠這個問題，是我國古代著名趣題之一大約在1500年前，孫子算經中就記載了這個有趣的問題書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳求籠中各有幾只雞和兔？你會解答這個問題嗎？你想知道孫子算經中是如何解答這個問題的嗎？二、解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每

2、只雞就變成了“獨腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成了47只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1因此，腳的總只數(shù)47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)，即47-35=12（只）顯然，雞的只數(shù)就是35-12=23（只）了這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學家贊嘆不已除此之外，“雞兔同籠”問題的經典思路“假設法”假設法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設法能做到，假設里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到解雞兔同籠問題的基本關系式是：如果假設全是兔，那么則有：數(shù)=（每只兔子腳數(shù)雞兔總數(shù)-實際腳數(shù)）（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）兔

3、數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假設全是雞，那么就有：兔數(shù)=（實際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)雞兔總數(shù)）（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)當頭數(shù)一樣時，腳的關系：兔子是雞的2倍當腳數(shù)一樣時，頭的關系：雞是兔子的2倍在學習的過程中，注重假設法的運用，滲透假設法的重要性，在以后的專題中，如工程，行程，方程等專題中也都會接觸到假設法例題精講兩個量的“雞兔同籠”問題變例【例1】某次數(shù)學競賽，共有20道題，每道題做對得5分，沒做或做錯都要扣2分，小聰?shù)昧?9分，他做對精品文檔精品文檔了多少道題？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】做錯(520-79)(5+2)=3(道)，

4、因此，做對的20-3=17(道)【答案】17道【鞏固】數(shù)學競賽共有20道題，規(guī)定做對一道得5分，做錯或不做倒扣3分，趙天在這次數(shù)學競賽中得了60分，他做對了幾道題？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】假設他將所有題全部做對了，則可得100分，實際上只得了60分，比假設少了40分，做錯一題要少得8分，少得的40分中，有多少個8分，就是他做錯的題的數(shù)量，則知他做對了15道【答案】15道【鞏固】東湖路小學三年級舉行數(shù)學競賽，共20道試題.做對一題得5分，沒有做一題或做錯一題都要倒扣2分.劉鋼得了86分，問他做對了幾道題？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解

5、答【關鍵詞】假設思想方法2【解析】這道題也類似于“雞兔同籠”問題假設劉鋼20道題全對，可得分520=100（分），但他實際上只得86分，少了100-86=14（分），因此他沒做或做錯了一些題由于做對一道題得5分，沒做或做錯一道題倒扣2分，所以沒做或做錯一道題比做對一道題要少5+2=7（分）14分中含有多少個7，就是劉鋼沒做或做錯多少道題所以，劉鋼沒做或做錯題為147=（道），做對題為20-2=18（道）【答案】18道【鞏固】某次數(shù)學競賽，試題共有10道，每做對一題得6分，每做錯一題倒扣2分。小紅最終得44分，做對的題比做錯的題多_道?！究键c】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】學而思

6、杯，3年級，第8題，假設思想方法【解析】(60-44)8=2，做錯2道題，做對8道題，對的比錯的多6道?！敬鸢浮慷?道【鞏固】次數(shù)學競賽有10道試題，若小宇得70分，根據(jù)圖5中兩人的對話可知小宇答對_題。【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，一試，第12題【解析】設答對了x道題，那么10x-5(10-x)=70，所以x=8，也就是小宇答對了8道題?！敬鸢浮?題精品文檔精品文檔【鞏固】一次口算比賽，規(guī)定：答對一題得8分，答錯一題扣5分。小華答了18道題，得92分，小華在此次比賽中答錯了_道題?！究键c】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二

7、試，第12題【解析】假設他全答對了，應該的188=144分，實際上少了144-92=52分，每答錯一道題少8+5=13分，答錯了5213=4道題。【答案】4題【例2】某工人與老板簽訂了一份30天的勞務合同：工作一天可得報酬48元，休息一天則要從所得報酬中扣掉12元。該工人合同到期后并沒有拿到報酬，則他最多工作了_天。【考點】和倍問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第5題【解析】方法一：假設他沒有休息他會得3048=1440（元），休息一天會少48+12=60（元），所以他休息了144060=24（天），他工作了30-24=6天方法二：工作一天休息4天剛好抵消，那么最后沒

8、拿到錢，他只工作了30(4+1)=6天。【答案】6天【例3】春風小學3名云參加數(shù)學競賽，共10道題，答對一道題得10分，答錯一道題扣3分，這3名同學都回答了所有的題，小明得了87分，小紅得了74分，小華得了9分，他們三人一共答對了_道題.【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】假設思想方法【解析】三人共得87+74+9=170(分)，比滿分10103=300(分)少300-170=130(分)因此三個人共做錯：130(10+3)=10(道)題，共答對了30-10=20(道)題【答案】20【例4】張明、李華兩人進行射擊比賽，規(guī)定每射中一發(fā)得20分，脫靶一發(fā)扣12分，兩人各射了10發(fā)

9、，共得208分，其中張明比李華多64分，則張明射中_發(fā)。【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】張明得分（20864）2136分，根據(jù)雞兔同籠，張明脫靶（2010136）（2012）2，射中8發(fā)。【答案】8發(fā)【鞏固】小明和小剛進行數(shù)學解題能力對抗賽，兩人商定，對一題得20分，不答或答錯一題扣12分。兩人各解答了10道題，一共得208分，又知道小明比小剛多得64分。那么小剛做對了道題?！究键c】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，高年級，初試，10題【解析】小剛得了(208-64)2=72（分）,如果小剛10道題都做對了，應得200分，實

10、際得72分，所以錯了(200-72)(20+12)=4（道），做對了10-4=6（道）?！敬鸢浮?道【鞏固】有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1題得5分，答錯(包含不答)1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分？精品文檔精品文檔【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】法一：如果小明第一次測驗24題全對，得524=120(分).那么第二次只做對30-24=6(題)得分是86-2(15-6)=30(分).兩次相差120-30=90(分).比題

11、目中條件相差10分，多了80分.說明假設的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得5+1=6(分)，而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少06+1=(分16).(90-10)(6+10)=5(題).因此，第一次答對題數(shù)要比假設(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對30-19=11(題).第一次得分519-1(24-9)=90.第二次得分811-2(15-11)=80.法二：答對30題，也就是兩次共答錯24+15-30=9(題).第一次答錯一題，要從滿分中扣去5+1=6(分)，第二次答錯一題，要從滿分中扣去8+2=10

12、(分).答錯題互換一下，兩次得分要相差6+10=16(分).如果答錯9題都是第一次，要從滿分中扣去69.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了69+10.因此，第二次答錯題數(shù)是(69+10)(6+10)=4(題).第一次答錯9-4=5(題).第一次得分5(24-5)-15=90(分).第二次得分8(15-4)-24=80(分).【答案】第一次得分90分.第二次得分80分.【例5】某旅游點有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣，兒童票的價格為30元，成人票的價格為40元，如果是團體還可以買平均32元一位的團體票，一個由8個家庭組成的旅游團（每個家庭由兩位大人，或兩個大人、一

13、個小孩組成）來景點旅游，如果他們買團體票那么可以比他們各買各的少花120元，問這個旅游團一共有多少人？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】每個三口之家可以少花30+40+40-323=14（元），每個二口之家可以少花40+40-64=16（元），）-144+如果這8個家庭都是三口之家，那么一共少花148=112（元），所以這8個家庭中有（120-112（16）=（個）家庭是二口之家，所以這個旅游團一共有42（8-4）3=20（人）【答案】20人【例6】一張數(shù)學試卷，只有25道選擇題做對一題得4分，做錯一題倒扣1分；如不做，不得分也不扣分若小明得了78分，那

14、么他做對題，做錯題，沒做題【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】假設思想方法，祖沖之杯【解析】這道題不是普通的雞兔同籠問題，需要尋找一些特殊的線索小明得了78分，而且只有做對了題目才能得分78419，所以可以知道小明至少做對20道題目，否則一定低于419=76(分)；再假設他做對21題，發(fā)現(xiàn)即使另外四題都錯，小明仍然有421-14=80(分)，超過了78分，所以小明至多做對20道題目；綜上，可以斷定小明做對了20道題至此本題轉化為簡單雞兔同籠問題假設剩下5題全部沒做，那么小明應得420=80(分)但是只得了78分，說明又倒扣了2分，說明錯了2道題，3道題沒做所以小明做對了20道

15、題，做錯了2道題，沒做3道題精品文檔精品文檔【答案】對了20道題，做錯了2道題，沒做3道題【例7】一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸利用假設法，假設只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下436=144(噸)根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9(輛)小卡車這樣每輛小卡車能裝1449=16(噸)由此可求出這批鋼材有720噸【答案】720

16、噸【例8】下面是小波和售貨員阿姨的一段對話：小波：“阿姨，您好！”售貨員：“同學，你好想買點什么？”小波：“我只有100元，請幫我安排買10支鋼筆和15本筆記本”售貨員：“好，每支鋼筆比每本筆記本貴2元，退你5元，請拿好再見”根據(jù)這段對話，則鋼筆每支是元，筆記本每本是元【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，4年級，第14題【解析】一共花了100-5=95元。如果是買25本筆記本可以少花102=20元，即75元。所以每本筆記本3元，每支鋼筆5元【答案】5元【例9】買一些4分和8分的郵票,共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張,那么兩種郵票各買了多少張【考點】雞

17、兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】解一:如果拿出40張8分的郵票,余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.(680-840)(8+4)=30(張),這就知道,余下的郵票中,8分和4分的各有30張.因此8分郵票有40+30=70(張).解二:譬如,假設有20張4分,根據(jù)條件8分比4分多40張,那么應有60張8分.以分作為計算單位,此時郵票總值是420+860=560.比680少,因此還要增加郵票.為了保持差是40,每增加1張4分,就要增加1張8分,每種要增加的張數(shù)是(680-420-860)(4+8)=10(張).因此4分有20+10=30(張),8分有60+10=7

18、0(張).【答案】4分有30張,8分有70張.【例10】喜羊羊的存錢罐中只有5角和1元的硬幣共100枚，其中5角的硬幣比1元的硬幣多20元，喜羊羊的存錢罐中總共有_錢。【考點】盈虧問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，4年級，第3題【解析】60元。200.5=40枚，(100-40)3=20枚，20+(100-20)0.5=60元。【答案】60元精品文檔精品文檔【例11】小同有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個；按錢數(shù)算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個1分幣小同共存了多少錢？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】假設去

19、掉22個2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個5分幣比一個2分幣多3=，分，所以5分幣有84（5-2）28（個）2分幣有28+22=50（個），528+250+136=140+100+36=276（分）【答案】276分【例12】現(xiàn)有大小油桶50個，每個大桶可裝油4千克，每個小桶可裝油2千克，大桶比小桶共多裝油20千克，問大小桶各多少個?【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】方法一：假設50個油桶都是大桶，則共裝油(450)=200千克，而這小桶所裝油則為0這樣大桶比小桶多裝200千克，比條件所給的差數(shù)多了(200-80)=180千克，若在50個

20、大桶中把一部分大桶換成小桶，則每拿一個大桶換成小桶，大桶裝的油就減少4千克，而小桶共裝的油就增加2千克，那么大桶比小桶多裝的數(shù)量就減少(4+2)=6千克，所以小桶有：1806=30(個)，大桶有：50-30=20(個).方法二：這道題也可以用另外一種假設；每個大桶比每個小桶多裝2千克，如果大小桶同樣多，大桶要比小桶共多裝20千克，則應該大小桶各20(4-2)=10個，現(xiàn)在共有50個桶，在剩下的(50-102)=30個桶中，大小桶應裝同樣多的油，而每個大桶裝的油是每個小桶裝的(42)=2倍，那么在這30個桶中，應該有30(1+2)=10個大桶，(30-10)=20個小桶；所以可求出50個桶中，有

21、大小桶各多少個解：20(4-2)=10(個)(50-102)(1+2)=10(個)(大桶)10+10=20(個)(大桶共有)50-20=30(個)(小桶共有)【答案】大桶20個，小桶30個【例13】大、小猴共35只，它們一起去采摘水蜜桃猴王不在時，一只大猴一個小時可采摘15千克，一只小猴子一小時可摘11千克；猴王在場監(jiān)督的時候，每只猴子不論大小每小時都可以多采摘12千克一天，采摘了8小時，其中第一小時和最后一小時猴王在監(jiān)督，結果共采摘了4400千克水蜜桃在這個猴群中，共有小猴子多少只？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】其實大猴子和小猴子就相當于雞兔問題中

22、的雞和兔但是卻有猴王來搗亂，所以我們先讓猴王消失一天中，猴王監(jiān)視了2小時，假設猴王一直都不在，同猴王在時相比，每只猴子每小時都會少采12千克，那樣猴群只能采摘4400-35212=3560(千克)；這是一天也就是8小時的工作量，據(jù)此可以求出這群猴每小時采35608=445(千克)；假設都是大猴子，應該每小時采摘1535=525(千克)，比實際多采了525-445=80(千克)而每只小猴子被假設成大猴子，會多采15-11=4(千克)因此可以求出小猴子有：804=20(只)【答案】20只精品文檔精品文檔【例14】今年是1998年,父母年齡(整數(shù))和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年后(2002年

23、)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當父的年齡是兄的年齡的3倍時,是公元哪一年？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】4年后,兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作雞頭數(shù),弟的年齡看作兔頭數(shù).25是總頭數(shù).86是總腳數(shù).根據(jù)公式,兄的年齡是(254-86)(4-3)=14(歲).1998年,兄年齡是14-4=10(歲).父年齡是(25-14)4-4=40(歲).因此,當父的年齡是兄的年齡的3倍時,兄的年齡是(40-10)(3-1)=15(歲),這是2003年.【答案】2003年【例15】一份稿件,甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成,現(xiàn)在甲單獨打若干小時后,因有事由乙接著打完,共用了7小時.甲打字用了多少小時？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假