同濟六版高等數(shù)學第一章第二節(jié)課件（谷風校園）

1、一、數(shù)列極限的定義,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),1.2 數(shù)列的極限,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,一、數(shù)列極限的定義,引例,劉徽割圓術(shù),割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。,劉徽(約225 295年),我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學家.,他撰寫的重,差對九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評,注,指出并糾正了其中的錯誤 ,在數(shù)學方法和數(shù)學,理論上作出了杰出的貢獻 .,他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率, 的方法 :,一、數(shù)列極限的定義,引例,用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.,下頁,A1,A2,A3,A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正2

2、4邊形面積,An表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積, , .,顯然n越大, An,因此, 需要考慮當n時, An的變化趨勢.,越接近于S.,數(shù)列,如果按照某一法則, 對每一nN, 對應著一個確定的實數(shù)xn, 則得到一個序列 x1, x2, x3, , xn , , 這一序列叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n項xn叫做數(shù)列的一般項.,下頁,數(shù)列舉例:,2, 4, 8, , 2n , ;,1, -1, 1, , (-1)n+1, .,數(shù)列xn可以看作數(shù)軸上的一個動點, 它依次取數(shù)軸上的點x1, x2, x3, , xn , .,數(shù)列的幾何意義,數(shù)列,如果按照某一法則, 對每一nN, 對應著一個確定的實數(shù)

3、xn, 則得到一個序列 x1, x2, x3, , xn , , 這一序列叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n項xn叫做數(shù)列的一般項.,下頁,數(shù)列xn可以看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù): xn=f(n), nN .,數(shù)列與函數(shù),數(shù)列,如果按照某一法則, 對每一nN, 對應著一個確定的實數(shù)xn, 則得到一個序列 x1, x2, x3, , xn , , 這一序列叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n項xn叫做數(shù)列的一般項.,下頁,例如,當n無限增大時, 如果數(shù)列xn的一般項xn無限接近于常數(shù)a, 則常數(shù)a稱為數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂a, 記為,下頁,數(shù)列極限的通俗定義,當n無限增大時, xn無限接近

4、于a . 當n無限增大時, |xn-a|無限接近于0 . 當n無限增大時, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 當n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).,分析,因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù), 則當n無限增大時, xn無限接近于常數(shù)a.,當n無限增大時, 如果數(shù)列xn的一般項xn無限接近于常數(shù)a, 則數(shù)列xn收斂a.,下頁,數(shù)列極限的精確定義,設xn為一數(shù)列 如果存在常數(shù)a 對于任意給定的正數(shù)e 總存在正整數(shù)N 使得當nN 時 不等式 |xna |e 都成立 則稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限 或者稱數(shù)列xn收斂于

5、a 記為,如果不存在這樣的常數(shù)a 就說數(shù)列xn沒有極限,下頁, 0, NN 當nN時 有|xna| .,極限定義的簡記形式,數(shù)列極限的幾何意義, 0, NN 當nN時 有|xna| .,下頁,存在 NN 當nN時 點xn一般落在鄰域(a-e, a+e)外:,當nN時 點xn全都落在鄰域(a-e, a+e)內(nèi):,任意給定a的e鄰域(a-e, a+e),分析:,例1,證明,下頁, 0, NN 當nN時 有|xna| .,例2,分析:,證明,下頁, 0, NN 當nN時 有|xna| .,分析:,例3 設|q|1, 證明等比數(shù)列 1, q , q2, , qn-1, 的極限是0.,對于 0, 要使

6、|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|e +1就可以了.,|qn-1-0|=|q|n-1e ,當nN時, 有,因為 0,證明,下頁,N= log|q|e +1N, 0, NN 當nN時 有|xna| .,對于某一正數(shù)e 0 如果存在正整數(shù)N 使得當nN時 有|xna|e 0 是否有xna (n),討論,首頁, 0, NN 當nN時 有|xna| .,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),定理1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂 那么它的極限唯一,使當nN時, 同時有,因此同時有,這是不可能的. 所以只能有a=b.,證明,下頁,注: 如果M0, 使對nN 有|xn|M, 則稱數(shù)列xn是有界的;

7、如果這樣的正數(shù)M不存在, 就說數(shù)列xn是無界的,下頁,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),定理1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂 那么它的極限唯一,定理2(收斂數(shù)列的有界性),如果數(shù)列xn收斂 那么數(shù)列xn一定有界,1 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界 發(fā)散的數(shù)列是否一定無界? 有界的數(shù)列是否收斂?,2 數(shù)列1, 1, 1, 1, , (1)N1, 的有界性與收斂如何？,討論,下頁,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),定理1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂 那么它的極限唯一,定理2(收斂數(shù)列的有界性),如果數(shù)列xn收斂 那么數(shù)列xn一定有界,下頁,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),定理1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂 那么

8、它的極限唯一,定理2(收斂數(shù)列的有界性),如果數(shù)列xn收斂 那么數(shù)列xn一定有界,定理3(收斂數(shù)列的保號性) 如果數(shù)列xn收斂于a, 且a0(或a0) 那么存在正整數(shù)N 當nN時 有xn0(或xn0),推論 如果數(shù)列xn從某項起有xn0(或xn0) 且數(shù)列xn收斂于a 那么a0(或a0),注: 在數(shù)列xn中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序 這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列.,定理4(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列xn收斂于a那么它的任一子數(shù)列也收斂 且極限也是a,下頁,例如 數(shù)列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一個子數(shù)列為x2n 1 1 1 (1)2n1 ,1 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 2 數(shù)列的兩個子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何? 3 發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？,4 如何判斷數(shù)列1 1 1 1 (1)N