熱點問題11應(yīng)用問題(一)(教師版

1、蘇州市 2017 屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料熱點問題11應(yīng)用問題 (1)一、填空題1.海上有 A、B、C 三個小島， A、B 相距 5 3 海里，從 A 島望 C 和 B 成 450視角，從 B島望 C和A 成750 視角，則 B、 C 兩島間的距離是海里 .答案5 2解析可知0ABBC5 3BC，得BC 52 .ACB60 ,由正弦定理得sin Csin A ,即 sin 60 0sin 4502.如圖 1，為測量山高MN ，選擇 A 和另一座山的山頂C 為測量觀測點從A 點測得 M 點的仰角 MAN 60，C 點的仰角 CAB 45以及 MAC 75；從 C 點測得 MCA 60.已知山高 B

2、C100 m，則山高 MN _m.答案 150解析 根據(jù)圖示， AC 100 2 m.在 MAC 中， CMA 180 75 60 45.由正弦定理得AC AM? AM100 3m.圖 1sin 45sin 60在 AMN 中， MN sin 60 ， MN 1003 3 150(m) AM23.用長度為24m 的材料圍成一矩形場地，并且中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為m .答案 3解析 設(shè)隔墻的長度為xm,則矩形的面積為Sx(122x)2x212x ，可知當(dāng) x=3m 時，面積最大 .4如圖 3，某人在垂直于水平地面ABC 的墻面前的點A 處進行射擊訓(xùn)練已知點A 到墻面的距

3、離為 AB，某目標(biāo)點 P 沿墻面上的射線CM 移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P，需計算由點A 觀察點 P 的仰角 的大小 若 AB 15 m，AC 25 m，BCM 30，則 tan 的最大值是 _(仰角 為直線 AP 與平面 ABC 所成角 )答案539解析如圖，過點 P 作 PO BC 于點 O，連結(jié) AO，則 PAO.圖 3設(shè) CO x m，則 OP33 x m.在 RtABC 中， AB15 m， AC 25 m ，1蘇州市 2017 屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料所以 BC 20 m， cos BCA4， AO245625 x 225x5 x2 40x 625(m)33所以 tan 3 x34

4、0625x2 40x 6251 x x233.254 29x 5253254125353當(dāng) x 5，即 x4 時， tan取得最大值為 3 9 .55.如圖 4，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120 的扇形 AOB，C 是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO 的小路 CD.已知某人從 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分鐘， 從 D 沿著 DC 走到 C 用了 3 分鐘 .若此人步行的速度為每分鐘50 米，則該扇形的半徑為_米 .圖 4答案507解析依題意得 OD =100 米， CD =150 米，連接 OC，易知 ODC =180 AOB=60，因此由余弦22221定理有 OC =O

5、D +CD 2ODCD cos ODC ，即 OC =10000+225002100 150 2 OC2 =17 500， OC=50 ( 米 ).6.在斜度一定的山坡上的一點A 處測得山頂上一建筑物頂端相對于山坡的斜度為15，如圖所示，向山頂前進 100 m 后，又從 B 點處測得斜度為 45，設(shè)建筑物的高為 50 m設(shè)此山對于地平面的斜度為 ，則 cos _.答案3 1解析在 ABC 中， BAC 15， CBA180 45 135，所以 ACB30.又 AB 100 m，由正弦定理，得100 BC，即 BC 100sin 15. sin 30sin 15sin 30在 BCD 中，因為

6、CD 50， BC100sin 15 sin 30， CBD 45， CDB 90 ，2蘇州市 2017 屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料100sin 15由正弦定理，得50sin 30，sin 45 解得 cos 3 1.二、解答題7.海上有 A， B 兩個小島相距10km ，船 O 將保持觀望A 島和 B 島所成的視角為60 ，現(xiàn)從船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向駛至 C 處進行作業(yè)，且OC BO .設(shè) AC xkm.(1) 用 x 分別表示 OA 2 OB 2 和 OAOB ，并求出 x 的取值范圍；(2) 晚上小艇在 C 處發(fā)出一道強烈的光線照射 A 島， B 島至光線 CA 的距離為 BD

7、 ，求 BD 的最大值解析 (1) 在 OAC 中， AOC 120， AC x.由余弦定理得OA 2 OC 2 2OAOCcos120 x2.又 OC BO，所以O(shè)A2 OB2 2OAOBcos120 x2 .由余弦定理得OA 2 OB 2 2OAOBcos60 100 .2x 100得OA 2 OB 2.2x 100得4OAOBcos60 x2100 ，即 OAOB .x2 100x2 100OAOB x2 1000 ，即 x2100 ，所以又 OA2 OB2 2OAOB，所以2 22，即 x2 300又.2100 ，2x2則 f(x)在 (10,10 3上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)的最大

8、值為 f(10 3) 10，即 BD 的最大值為 10.8.如圖，一塊弓形薄鐵片EMF ，點 M 為弧 EF 的中點，其所在圓O 的半徑為 4 dm( 圓心 O 在弓形 EMF內(nèi) )， EOF 2ABCD (不計損耗 )， AD EF ，且點 A， D 在3 .將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片弧 EF 上，設(shè) AOD 2.(1) 求矩形鐵片 ABCD 的面積 S 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；(2) 當(dāng)裁出的矩形鐵片 ABCD 面積最大時，求 cos的值3蘇州市 2017 屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料解析(1) 設(shè)矩形鐵片的面積為S， AOM .當(dāng) 0 時 (如圖 1) ， AB 4cos 2， AD 2

9、4sin，3S AB AD (4cos 2)(2 4sin) 16sin(2cos 1) 當(dāng) 3 2時 (如圖 2) ， AB 24cos ， AD 24sin ，故 S ABAD 64sin cos 32sin 2 .綜上得，矩形鐵片的面積S 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式為16sin (2cos 1) ， 0 3，S32sin2 ， 3 2.(2) 當(dāng) 0 S 16cos (2cos 1) sin( 2sin) 16(4cos 2 cos 2) 時，求導(dǎo)，得3令 S 0，得 cos 33 1. 8記區(qū)間0，3內(nèi)余弦值等于33 1的角為 (唯一存在 ) ，列表：80)00(0， 0，3S0S極大值是單調(diào)

10、減函數(shù)，所以當(dāng) ，即 cos33 1又當(dāng)時， S 32sin2時，矩形鐵片的面積最大32089.如圖所示的鐵片由兩部分組成，半徑為1 的半圓 O 及等腰直角 EFH ，其中 FE FH 現(xiàn)將鐵片裁剪成盡可能大的梯形鐵片ABCD (不計損耗 ) ， AD BC，且點 A， B 在弧 EF 上點 C，D 在斜邊 EH 上設(shè) AOE .（ 1）求梯形鐵片 ABCD 的面積 S 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）試確定 的值，使得梯形鐵片 ABCD 的面積 S 最大，并求出最大值（ 1）因為AOE，AOEBOF 且 OAOB 1，E所以AD 1cossin， BC1cossin， AB2cosDA所以 SA

11、BCD =( ADBC) ABsin)cos ，其中 022(12O（ 2）記 f () 2(1 sin)cos，f ( )2(cos2sinsin2 )C2(1 sin2sin22(2sin2Bsin)sin1)HF2(2sin1)(sin1)024蘇州市 2017 屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料當(dāng) 0時， f () 0，當(dāng)6時， f ( ) 0，62所以當(dāng)且僅當(dāng)時 f ( )maxf33662即時， Smax3 3 62當(dāng) 取時，梯形鐵片 ABCD 的面積 S 最大，最大值為3 3 6210.某城市在進行規(guī)劃時， 準(zhǔn)備設(shè)計一個圓形的開放式公園.為達到社會和經(jīng)濟效益雙豐收.園林公司進行如下設(shè)計，安排

12、圓內(nèi)接四邊形ABCD 作為綠化區(qū)域，其余作為市民活動區(qū)域.其中ABD 區(qū)域種植花木后出售，BCD 區(qū)域種植草皮后出售， 已知草皮每平方米售價為a 元，花木每平方米的售價是草皮每平方米售價的三倍.若BC6km ， ADCD4 km（ 1）若 BD2 7km ，求綠化區(qū)域的面積；A（ 2）設(shè) BCD，當(dāng) 取何值時，園林公司的總銷售金額最大解析 （ 1）在BCD 中， BD2 7，BC6， CD4 ，222BC 2CD 2BD 22 7由余弦定理得cos64BCD2BC CD26 4因為 BCD0 ,180 ， 所以BCD60，又因為 A、 B、C、 D共圓，所以BAD120 .12BDC在 ABD

13、 中，由余弦定理得BD 2AB2AD 22 AB AD cosBAD ，將 AD4，BD 27 代入化簡得 AB 24 AB120 ，解得 AB2（ AB6舍去） .所以 SABCDS ABDS BCD14sin120146sin608 3222即綠化空間的面積為8 3km2（ 2）在BCD 、ABD 中分別利用余弦定理得BD 26242264cosBD 2AB 24224 AB cos-聯(lián)立消去BD 得 AB28cosAB48cos360 ，得AB6AB8cos60 ，解得 AB68cos（ AB6 舍去） .5蘇州市 2017 屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料因為 AB0，所以 68cos30 ，即

14、 cos.4S ACD118cos4sin12sin16sin cosAB AD sin622S BCD114sin12sinBC CD sin622因為草皮每平方米售價為a 元，則花木每平方米售價為3a 元，設(shè)銷售金額為y 百萬元 .y f3a 12sin16sincos12a sin48asinsin cosf48a cos cos2sin248a2cos2cos148a 2cos1 cos1令 y0 ，解得1cos1，又 cos3 ，不妨設(shè) cos03 ，244則函數(shù)f在2上為增函數(shù)；0 ,3令 y0 ，解得 cos1 ，則函數(shù) f2,上為減函數(shù)，在23所以當(dāng)2時， fmax363a .

15、3答：（ 1）綠化區(qū)域的面積為83km2 ；（ 2）當(dāng)2時，園林公司的銷售金額最大，最大為 36 3a3百萬元 .11.現(xiàn)有一個以 OA、OB 為半徑的扇形池塘，在OA、OB 上分別取點 C、 D，作 DE OA、CF OB交弧 AB 于點 E、 F，且 BD = AC，現(xiàn)用漁網(wǎng)沿著DE、 EO、 OF 、 FC 將池塘分成如圖所示的三種的養(yǎng)殖區(qū)域若OA=1km ，AOBEOF(0，) 22（ 1）求區(qū)域的總面積；（ 2）若養(yǎng)殖區(qū)域、的每平方千米的年收入分別是15 萬元、 20 萬元、 10 萬元，記年總收入為 y 萬元 試問當(dāng)為多少時，年總收入最大？B解析 （ 1）因為 BDAC， OBOA

16、 ，所以 ODOC ED因為AOB2， DE OA，CF OB，F(xiàn)所以 DEOB， CFOA 又因為 OEOF ，所以 RtODE Rt OCF 所以DOECOF ， COF1OC A() 22（第 11 題）6蘇州市 2017 屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料所以 OCOFcosCOF1)cos(22所以 S COF1 OCOF sinCOF1 cos，241所以 S區(qū)域 II = cos ， (0) 22（ 2）因為1，所以 S區(qū)域 IIIS總S區(qū)域 I S區(qū)域 II 11S區(qū)域 I42cos22所以 y151201 cos10( 11 cos )22422555cos，(02) ，22所以 y5(

17、12sin) ，令 y =0 ，則 =26當(dāng) 0時， y0 ，當(dāng) 時， y 0 662故當(dāng)= 時， y 有最大值6答：當(dāng)為 時，年總收入最大612.一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為 10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形ABCD (如圖所示，其中O 為圓心， C，D 在半圓上 )，設(shè) BOC ，木梁的體積為V(單位： m3)，表面積為 S(單位： m2)(1) 求 V 關(guān)于 的函數(shù)表達式；(2) 求體積 V 的最大值；(3) 問：當(dāng)木梁的體積 V 最大時，其表面積 S 是否也最大？請說明理由解析 (1) 梯形 ABCD

18、的面積SABCD2cos2 ，體積 V() 10(sincos sin)，2sinsin cos sin02(2) 解法 1 V() 10(2cos2 cos1) 10(2cos 1) (cos 1)令 V()0，得 cos1或 cos 1(舍 ) 20，.2因為 0，2，所以 3.當(dāng) 0，31時， 2cos0， V()為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng) ，時， 0cos1， V()0，V()為單調(diào)減函數(shù)322V 最大，為153所以當(dāng) 時，體積2.37蘇州市 2017 屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料解法 2令 f() sin(1 cos)， ，則02f () 2 sin2(1 cos)2 (1 cos)(1 cos)3， 0，.由均值不等式得23(1 cos) (1 cos) (1 cos) (1 cos)4443 3(1 cos)(1 cos)(1 cos)(1 cos)3(1 cos)(1 cos)當(dāng)且僅當(dāng) 3(1 cos) (1 cos)，即 co