線性代數(shù)電子教案：6.3 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

1、,6.3 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,由,一、問題的引入,利用拉格朗日配方法可得：,(1) 令,(2) 令,或,或,引例,考察方程 所表示的曲線。,一、問題的引入,(3) 令,即,其中,引例,考察方程 所表示的曲線。,一、問題的引入,二、正交矩陣,則稱 A 為正交矩陣。,此時(shí)顯然有,則有,故 A 為正交矩陣。,二、正交矩陣,性質(zhì),(1) 若 A 為正交矩陣，則 也為正交矩陣；,(2) 若 A 為正交矩陣，則 或,(3) 若 A, B 為正交矩陣，則 A B 也為正交矩陣；,(4) 方陣 A 為正交矩陣的充要條件是 A 的列(行)向量,構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。,將矩陣 A 按列分塊,則,(2) B

2、不是正交矩陣。,(將 B 的每一列單位化即得到正交矩陣),即 A + I 不可逆。,證,從而有,上式兩端取行列式并由 得,三、正交變換,性質(zhì),(1) 線性變換 為正交變換；,(2) 在線性變換 下，向量的內(nèi)積不變，即,當(dāng) 時(shí)，有,(3) 線性變換 把 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基變成標(biāo)準(zhǔn),曲線 (曲面) 的形狀、大小保持不變。,正交基。,(1) (2)：,(2) (3)：,經(jīng)線性變換 后得向量組,即 C 為正交陣，,若 為正交變換,若在線性變換 下，向量的內(nèi)積不變,則有,(3) (1)：,由于 和 都是正交陣，,若 把 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基，,經(jīng)線性變換 后得向量組,從而 為正交變換。,目標(biāo),求正交

3、矩陣 P，即,使得,或,要求,(1) 矩陣 P 的列必須為 A 的特征向量；,(2) 矩陣 P 的列必須為正交向量組；,三、正交變換,四、實(shí)對(duì)稱矩陣與二次型的一些性質(zhì),1. 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì),(1) A 的特征值都是實(shí)數(shù)；,(2) A 的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交；,證明,(1) 設(shè) l 是 A 的特征值,又由 有,故,則存在 使得,對(duì)上式兩端取共軛轉(zhuǎn)置，并利用 得,其中 是 X 的共軛。,從而有,即得,即實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的特征值都是實(shí)數(shù)。,證明,(2) 設(shè) 是 A 的兩個(gè)不同的特征值，,分別是,對(duì)應(yīng)于 的特征向量，,則,因此,由 有,即 與 正交。,四、實(shí)對(duì)稱矩陣與二次型的一些性質(zhì),1

4、. 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì),性質(zhì)1,(1) A 的特征值都是實(shí)數(shù)；,設(shè) A 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，則有,(2) A 的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交；,性質(zhì)2,設(shè) A 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必存在正交矩陣 C，使得,假設(shè)性質(zhì)對(duì)于 階成立，,需證對(duì)于 n 階也成立 。,對(duì)于 1 階實(shí)對(duì)稱矩陣，性質(zhì)顯然成立。,則 P 為正交陣，且,(1) 設(shè) A 的某特征值 對(duì)應(yīng)的單位特征向量為,將 擴(kuò)充為 中的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,其中,(2) 對(duì)于 有,證明,根據(jù)歸納法假設(shè)，存在 階正交陣 使得,則 Q 為正交陣，且,證明,則 C 為正交陣，且,令,證明,正交變換,使得,四、實(shí)對(duì)稱矩陣與二次型的一些性質(zhì),1. 實(shí)對(duì)稱

5、矩陣的性質(zhì),2. 主軸定理,總存在,(2) 求出相應(yīng)的一組線性無關(guān)的特征向量,(3) 將 標(biāo)準(zhǔn)正交化注得到,步驟,(4) 令,(1) 求出二次型對(duì)應(yīng)的矩陣A 的特征值,注,由于實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量必,正交。,故標(biāo)準(zhǔn)正交化只需在每個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征,向量之間進(jìn)行。,五、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法,得特征值,求解得基礎(chǔ)解系為,單位化得單位特征向量,求解得基礎(chǔ)解系為,這兩個(gè)向量已正交，只需單位化即得：,(4) 于是可得正交矩陣,使得,由,可得 A 的特征值為,(2) 當(dāng) 時(shí)，,得基礎(chǔ)解系,直接單位化得,求解方程組,因 已正交，,得基礎(chǔ)解系,單位化得,(3) 當(dāng) 時(shí)，,

6、求解方程組,(4) 于是可得正交矩陣,由,可得 A 的特征值為,(2) 當(dāng) 時(shí)，,得基礎(chǔ)解系,對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化得,求解方程組,得基礎(chǔ)解系,單位化得,(3) 當(dāng) 時(shí)，,求解方程組,(4) 于是可得正交矩陣,六、在二次曲線中的應(yīng)用,當(dāng) 時(shí)，,求得單位化的特征向量,當(dāng) 時(shí)，,求得單位化的特征向量,則有,(2) 令,即,原方程 化為,即,由此即可畫出,(3) 如何作圖？,原方程所表示,的二次曲線為,附： 即為曲線的主軸方向；進(jìn)一步可推廣到高維情形。,1. 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì),本節(jié)小結(jié),(1) 特征值為實(shí)數(shù)；,(2) 屬于不同特征值的特征向量必正交；,(3) 特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的,(4) 必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣。且對(duì)角矩陣,個(gè)數(shù)相等；,的對(duì)角線上的元素即為其特征值；而正交矩陣的列,即為其特征向量。,1. 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì),2. 利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟,(1) 求特征值；,(2) 求線性無關(guān)的特征向量；,(3) 將特征向量正交化并單位化；,(4) 由所求得的特征向量構(gòu)成正交矩陣；,由特征值構(gòu)成對(duì)角陣。,本節(jié)小結(jié),1. 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì),2. 利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟,用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，具有保持幾何特性不變,3. 評(píng)述,的優(yōu)點(diǎn)。這種方法無論在理論上還是在實(shí)際中都是化二次型,