第43煉線性規(guī)劃——作圖與求解

1、第 43 煉 線性規(guī)劃作圖與求解一、基礎(chǔ)知識1、相關(guān)術(shù)語：（1）線性約束條件：關(guān)于變量x, y 的一次不等式（或方程）組（ 2）可行解：滿足線性約束條件的解x, y（ 3）可行域：所有可行解組成的集合（ 4）目標函數(shù)：關(guān)于 x, y 的函數(shù)解析式（ 5）最優(yōu)解：是目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐標系中作出可行域：（ 1）先作出圍成可行域的直線，利用“兩點唯一確定一條直線”可選取直線上的兩個特殊點（比如坐標軸上的點） ，以便快速做出直線（ 2）如何判斷滿足不等式的區(qū)域位于直線的哪一側(cè)：一條曲線（或直線）將平面分成若干區(qū)域， 則在同一區(qū)域的點，所滿足不等式的不等號方向相同，所以可

2、用特殊值法，利用特殊點判斷其是否符合不等式，如果符合， 則該特殊點所在區(qū)域均符合該不等式，具體來說有以下三種情況：豎直線 xa 或水平線 yb ：可通過點的橫（縱）坐標直接進行判斷一般直線 ykx bkb0：可代入 0,0點進行判斷， 若符合不等式， 則原點所在區(qū)域即為不等式表示區(qū)域，否則則為另一半?yún)^(qū)域。例如：不等式 x2y30 ，代入 0,0符合不等式，則 x 2 y 30所表示區(qū)域為直線x2 y 30的右下方過原點的直線 y kxk0：無法代入 0,0，可代入坐標軸上的特殊點予以解決，或者利用象限進行判斷。例如：yx ：直線 yx 穿過一、三象限，二、四象限分居直線兩側(cè)?？紤]第四象限的點

3、x0, y0 ，所以必有 yx ，所以第四象限所在區(qū)域含在yx 表示的區(qū)域之中。（3）在作可行域時要注意邊界是否能夠取到：對于約束條件Fx, y0Fx, y0）（或邊界不能取值時，在圖像中邊界用虛線表示；對于約束條件Fx, y0（或 Fx, y0 ）邊界能取值時，在圖像中邊界用實線表示3、利用數(shù)形結(jié)合尋求最優(yōu)解的一般步驟（1）根據(jù)約束條件，在平面直角坐標系中作出可行域所代表的區(qū)域（2）確定目標函數(shù)z 在式子中的幾何意義，常見的幾何意義有：（設(shè) a,b 為常數(shù)） 線性表達式與縱截距相關(guān)：例如zaxby ，則有yazx，從而 z 的取值bb與動直線的縱截距相關(guān)，要注意b 的符號，若 b0 ，則 z

4、 的最大值與縱截距最大值相關(guān)；若 b 0，則 z 的最大值與縱截距最小值相關(guān)。 分式與斜率相關(guān)（分式）：例如 zyb ：可理解為 z 是可行域中的點x, y 與定xa點 a,b 連線的斜率。zx22z 是可行域中的點 含平方和與距離相關(guān)：例如ay b：可理解為x, y 與定點 a, b 距離的平方。（3）根據(jù) z 的意義尋找最優(yōu)解，以及z 的范圍（或最值）4、線性目標函數(shù)影響最優(yōu)解選取的要素：當目標函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率符號相同時，目標函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率的大小會影響最優(yōu)解的選取。x0例如：若變量y0，則 z3x 4 y 的最大值等于 _x, y 滿足約束條件2 y3x12x

5、2 y8作出可行域如圖所示， 直線 3x 2 y3112 的斜率 k1，直線 x 2y 8 的斜率 k2，22k3kk1目標函數(shù)的斜率，所以 k2，所以在平移直線時， 目標函數(shù)直線的傾斜程4度要介于兩直線之間，從而可得到在A 2,3取得最優(yōu)解。但在作圖中如果沒有考慮斜率間的聯(lián)系， 平移的直線比x2 y8 還要平，則會發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解在 B 0,4 處取得，以及若平移的直線比3x2 y12 還要陡，則會發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解在C 4,0 處取得，都會造成錯誤。所以在處理目標函數(shù)與約束條件的關(guān)系時，要觀察斜率的大小，并確定直線間“陡峭”程度的不同。（1）在斜率符號相同的情況下：k 越大，則直線越“陡”（ 2）在作圖

6、和平移直線的過程中，圖像不必過于精確，但斜率符號相同的直線之間，陡峭程度要與斜率絕對值大小關(guān)系一致，這樣才能保證最優(yōu)解選取的準確（ 3）當目標函數(shù)的斜率與約束條件中的某條直線斜率相同時，有可能達到最值的最優(yōu)解有無數(shù)多個（位于可行域的邊界上）（ 4）當目標函數(shù)的斜率含參時，涉及到最優(yōu)解選取的分類討論，討論通常以約束條件中同符號的斜率作為分界點。二、典型例題：x2 y0例 1：若變量 x, y 滿足約束條件 xy0，則 z2x y 的最小值等于（）x2 y20A.52C.32B.D.22思路：按照約束條件作出可行域，可得圖形為一個封閉的三角形區(qū)域， 目標函數(shù)化為： y2 x z ，則 z 的最小值

7、即為動直線縱截距的最大值。目標函數(shù)的斜率大于約束條件的斜率，所以動直線斜向上且更陡。通過平移可發(fā)現(xiàn)在 A點處，縱截距最大。且x2 y0解得 A1,1，所以 z2x yA :2y2x02的最小值 zmin215122答案： Axy20例 2：設(shè)變量 x, y 滿足約束條件 xy20 ，則目標函數(shù) zx 2y 的最小值為（）y1A. 2B.3C. 4D. 5思路：作出目標函數(shù)的可行域，得到一個開放的區(qū)域，目標函數(shù) y1z，通過平移可得最優(yōu)解為x2 2x y 2 0A :A 1,1 ，所以 zmin3y1答案： Bx1例 3：若變量 x, y 滿足xy，則 zx2y2 的最大值為（）xy 20A.1

8、0B.7C.9D.10思路：目標函數(shù)zx2y2 可視為點到原點距離的平方，所以只需求出可行域里距離原點最遠的點即可，作出可行域， 觀A1, 3，所以 zmax210察可得最遠的點為OA答案： D2 xy20y1 的取值范圍是（例 4：設(shè)變量 x, y 滿足約束條件x2 y20，則 s）xy10x1A.1,3B.1C.1,2D.1,22,122思路：所求 sy1 可視為點x, y與定點1, 1連線x1的斜率。從而在可行域中尋找斜率的取值范圍即可，可得在1,0處的斜率最小， 即 kmin011 ，在0,1112處的斜率最大，為kmax112 ，結(jié)合圖像可得 sy1 的范圍為1 ,201x12答案：

9、 Dxy0例 5：若實數(shù) x, y 滿足條件xy10 ，則 x3 y 的最大值為0x1（）A.6B. 5C.4D.3思路：設(shè) zx3y ，則可先計算出z 的范圍，即可求出z 的最大值： y111,2，所以 z5,4 ，則 z5xz ，則最優(yōu)解為 A 1, 1 , Bmax33答案： B例 6：設(shè)O為坐標原點，點 M 的坐標為2,1，若點 Nx, y 滿 足 不 等 式 組x4 y302xy120 ，則使 OM ON 取得最大值的點N 的個數(shù)有（）x1A.1B.2C.3D. 無數(shù)個思路：設(shè) zOMON2xy ，作出可行域，通過平移可發(fā)現(xiàn)達到最大值時，目標函數(shù)與 直 線 2 xy 12 0 重 合

10、 ， 所 以 有 無 數(shù) 多 個 點 均 能 使OM ON 取得最大值答案： Dxy0例 7：（ 2015，福建）變量 x, y 滿足約束條件 x2y20 ，mxy0若 z2xy 的最大值為2 ，則實數(shù) m 等于（）A.2B.1C. 1D.2思路：本題約束條件含參，考慮先處理常系數(shù)不等式，作出圖像，直線ymx 為繞原點旋轉(zhuǎn)的直線，從圖像可觀察出可行域為一個封閉三角形，目標函數(shù)y 2 x z，若 z 最大則動直線的縱截距最小，可觀察到x2 y 202, 2m， 則 有A為最優(yōu)解。A:mxAy2m1 2m1z22m2 ，解得： m1212m2m1答案： C小煉有話說： 當線性約束條件含參數(shù)時，一方

11、面可先處理常系數(shù)不等式，作出可行域的大致范圍， 尋找參數(shù)變化時，可行域的共同特征；另一方面對含參數(shù)的直線確定是否過定點，在變化中尋找區(qū)域的規(guī)律。找到共同的最優(yōu)解所滿足的方程，便可根據(jù)最值求出參數(shù)x1例 8：在約束條件 xym20 下，若目標函數(shù) z2x y 的最大值不超過4，則實數(shù)xy10m 的取值范圍是（）A.3,3B.0,3C.3,0D.3,3思路：先做出常系數(shù)直線，動直線xym20 時注意到m20，斜率為常數(shù)1，且發(fā)現(xiàn)圍成的區(qū)域恒為一個三角形。目 標 函 數(shù) y 2xz ， 通 過 圖 像 可 得 最 優(yōu) 解 為A :xy101m21m2，所以xym20A2,2zmax2 1m21 m2

12、3 m21，則3 m214 解得： m3,3222222答案： Dxy0例 9：若變量 x, y 滿足約束條件xy2 ，若 zaxy 的最大值為4，則 a（）y0A.3B.2C.2D.3思路：如圖作出可行域，目標函數(shù)為yax z，由于 a 決定直線的方向，且約束條件中的直線斜率有正有負。所以先考慮a 的符號：當a0a0 時，此時與 y x的斜率進行比較：若a1a1，則 z 的最大值為0，不符題意；若 0a11 a0 ，則最優(yōu)解為A 1,1，代入解得a3與初始范圍矛盾，故舍去； 當a 0a0 時，直線與x y 2 斜率進行比較：若a1a1，則最優(yōu)解為B 2,0 ，代入解得 a2 ，符合題意若 a

13、1，可得 z 的最大值為2，不符題意，舍去若 0a10a1，則最優(yōu)解為A 1,1 ，代入解得 a3 與初始范圍矛盾，舍去綜上所述： a2答案： B小煉有話說：（ 1）目標函數(shù)的直線陡峭程度不同，會導(dǎo)致最優(yōu)解不同，所以當斜率含參時，可在約束條件中尋找斜率與目標函數(shù)斜率同號的直線， 則這些直線的斜率通常是分類討論的分界點。（2）本題也可分別假設(shè)可行域3 個頂點為最優(yōu)解，求出 a 的值，再帶入驗證。3xy20例 10：設(shè) x, y 滿足約束條件xy0，若目標函數(shù) z ax by a0,b0的最大x0, y 0值為 2，則 11的最小值是（）25ab8A.C.2D. 46B.3思路：先做出可行域，目標

14、函數(shù)zaxbyya xz ，由 a0, b 0可得直線的bb斜率為負，所以由圖像可得最大值在1,1 處 取 得 ， 即 zmax ab2， 所 以1111112ba2ab2aa b2abb答案： C小煉有話說： 本題判斷出斜率為負是解題的關(guān)鍵，從而能迅速通過平移直線得到最優(yōu)解，而后與均值不等式結(jié)合求出最值三、歷年好題精選xy20y1 ，1、（ 2016，衡陽聯(lián)考）如果實數(shù)x, y 滿足條件x10，則 zx的最小值為y20a2則正數(shù) a 的值為 _yx1，則 x22 (2014，溫州中學(xué)三月考)已知實數(shù)x, y滿足x3的最小值是 _、yx5 y4mnxy031,12mxny4 0所表示的平面區(qū)域

15、內(nèi)，則m2n2在不等式組的取值范圍是、若點nx3y3m_xy0xy2x, y 滿足xy50y2的取值范、（2016，南昌二中四月考） 已知實數(shù)，則4x22y21 x21y44圍是 _xy20yx5、設(shè)實數(shù)x, y 滿足x2y50 ,的取值范圍為（）則 uyy 20xA.1 ,2B.8 ,2C.8 , 3D.0, 3333222xy46、設(shè)實數(shù) x, y 滿足xy1 ，則 zx y 為（）x2 y2A. 有最小值2，最大值 3B. 有最小值2，無最大值C. 有最大值3，無最小值D. 既無最小值，也無最大值x0，則 x2y3 的最小值是（7、設(shè) x, y 滿足約束條件：yx）4x3y 12x1A.

16、2B.3C.4D.5xy208、（ 2016，湖南師大附中月考）若實數(shù)x, y 滿足yx10 ，設(shè) ux2y,v 2x y ，x1則 u 的最大值為（）vA 1B 5C 7D 245xy09、（ 2015，北京）若 x, y 滿足xy1 ，則 zx2 y 的最大值為（）x0A.0B.13D. 2C.24x5y810（、 2015，廣東）若變量 x, y 滿足約束條件1x3，則 z3x2 y 的最小值為（）0y231B. 6C.23D.4A55x10，則 y 的最大值為 _11、（ 2015，新課標 I）若 x, y 滿足約束條件xy0xy40x答案： 3xy1012、（ 2015，新課標 II

17、）若 x, y 滿足約束條件x2 y0，則 zx y 的最大值為 _x2 y20xy013、（2015，山東）已知 x, y 滿足約束條件xy2 ，若 zaxy 的最大值為 4 ，則 ay0（）A.3B.2C.2D.3xy20、（，北京）若x, y 滿足約束條件kxy20，且 zy x 的最小值為4，則142014y0k 的值為（）A.2B.2C.112D.2習(xí)題答案：1、答案： 1x11 即11a 1解析：根據(jù)約束條件畫出可行域，可知時， zminy121a 22、答案： 4解析：設(shè) zx2，則有 x2zy ，則可知拋物線與不等式可行域有公共點，作出可行域，如y圖 可 知 當 yx 1 與

18、拋 物 線 相 切 時 ， 此 時 z 取 得 最 小 值 ， 聯(lián) 立 方 程x2z yx2z xz0 ，所以判別式z24z0z4yx 1、答案：9 ,61310mnxy0m n 10解析：將1,1 代入2mxny 40 可得：2mn40 ，作出可行域， m2n2 可視nx3 y3m3mn30為點 m, n 到原點距離的平方。 結(jié)合圖像可知：5,6到原點距離最大， 即 m2n261max原點到直線 3mn30 的距離為3 10 ，所以 m2n2min910104、答案：13, 593xy2y22xy2yyx解 析 ： z11， 其 中 kx, y 與x22 y 222 y 22可 視 為x1

19、2yxx0,0 連線的斜率，作出可行域，數(shù)形結(jié)合可得：直線ykx 與y1 x21在第一象限相切時，k 取得最大值， 解得： k1,2，44z12k12，而 k1,2 時， 2k13,9，12k22k1k2k13 5所以 z,935、答案： C解析：令 ty，作出可行域，可知t 可視為x, y , 0,0連線的斜率， t1 ,2x3且 u t1為 t1 ,2 關(guān)于 t 的增函數(shù)，所以u8 , 3t3326、答案： B解析：作出可行域（為開放區(qū)域），再平移直線yxz 即可得到 z 在 2,0 處達到最小值，即 zmin2 ，但沒有最大值7、答案： B解析：ux2y31 2y1 ，則 ky1 可視為

20、可行域中的點x, y 與1,1連x1x1x1線的斜率，作出可行域可得：k1,5 ，所以 u 的最小值為 38、答案： Cx13ux 2 yyy131，其中 x 為可行域中的點解析：方法一：22v 2x y2 x y2 2 2 x 1yyx, y 與原點 0,0連線斜率 k 的倒數(shù)，作出可行域可知：k1,3x1，所以,1 ，從y3而可計算出 u1,7v5ux 2yx2vu3方法二：由，代入到不等式組可得：v2 x可 得 ：2uyyv32vu2uv0332uv62uv2vuu0uv1 ，作出可行域，所求 kv, u 與0,0 連線331為2vu3v2vu13的斜率，數(shù)形結(jié)合即可得到最大值為759、答案： D解析： z x2 y y1x1