線性代數(shù)知識點歸納-(30459

1、-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點第一部分行列式1. 排列的逆序數(shù)2. 行列式按行（列）展開法則3. 行列式的性質(zhì)及行列式的計算行列式的定義1. 行列式的計算：a11a12a1na21a22a2n1) ( j1 j 2jn ) a1 ja2 janj ( 定義法 ) Dn(2nj1 j 2 jn1an1an2ann （降階法） 行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論 ：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.A , ij,ai1 Aj 1 ai A2j2ain Ajnj.0,

2、 i-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 - ( 化為三角型行列式) 上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.b11*A0b22*b11b22bnn0*00bnnAOAAOA BO=BB 若 A與 B 都是方陣（不必同階）,BO則AAO( 1)mn A BB=OOBa1 nOa1na2n 1a2 n 1n( n1) 關(guān)于副對角線：(1) 2a1 na2nan1an1Oan1O111x1x2xn 范德蒙德行列式：x2x2x2xixj12n1 ji nx1n 1x2n 1xnn 1abbbbabbn 1 a b 型公式： bbab a(n1)b(ab)bbba ( 升階法 ) 在

3、原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法. ( 遞推公式法 )對 n 階行列式 Dn 找出 Dn 與 Dn 1 或 Dn 1 , D n 2 之間的一種關(guān)系稱為遞推公式，其中Dn , D n 1 , Dn 2 等結(jié)構(gòu)相同，再由遞推公式求出Dn 的方法稱為遞推公式法.(拆分法 )把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以例計算. ( 數(shù)學(xué)歸納法 )2.對于 n 階行列式A ，恒有：EAnn( 1)k Skn k ，其中 Sk 為 k 階主子式；k 13.證明 A0 的方法：-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -、AA；、反證法；

4、、構(gòu)造齊次方程組Ax0 ，證明其有非零解；、利用秩，證明r ( A) n ；、證明 0 是其特征值 .4. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M ij ( 1)i j AijAij ( 1) i j M ij第二部分矩陣1. 矩陣的運算性質(zhì)2. 矩陣求逆3. 矩陣的秩的性質(zhì)4. 矩陣方程的求解a11a12a1n1. 矩陣的定義由 ma21a22a2n稱為 mn 矩陣 .n 個數(shù)排成的 m 行 n 列的表 Aam1am2amn記作： Aaijm n或 Am n同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等.矩陣相等 :兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等.矩陣運算a.矩陣加（減）法：兩個同型矩陣，對應(yīng)元素相加（減）.

5、b.數(shù)與矩陣相乘：數(shù)與矩陣 A 的乘積記作A 或 A，規(guī)定為 A( aij ) .c.矩陣與矩陣相乘：設(shè)A( a )m s,B(b )s n, 則 CAB(cij )mn ，ijij其中b1 jcij (ai1, ai 2 , , ais )b2 jai1b1 jai 2b2 jais bsjbsj注： 矩陣乘法不滿足：交換律、消去律,即公式 ABBA不成立 .AB0 A0或B=0-WORD格式- 專業(yè)資料 - 可編輯-a.分塊對角陣相乘： AA11, BB11ABA11B11nA11n, AA22B22A22B22A22nb.用對角矩陣左 乘一個矩陣 , 相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩

6、陣的行向量；a100 b11b12b1na1b11a1b12a1b1nB0 a20 b21b22b2 na2 b21a2b22a2b2n0 0ambm1bm2bmnambm1ambm2ambmnc.用對角矩陣的對角線上的各元素依次乘此矩陣的右乘一個矩陣 , 相當于用列向量 .b11b12b1na100a1b11a2b12amb1nBb21b22b2n0 a20a1b21a2b22amb2nbm1bm 2bmn0 0ama1bm1a2 bm2ambmnd.兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘. 方陣的冪的性質(zhì)： Am AnAm n ， ( Am )n( A)mn矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣A

7、的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT .a.對稱矩陣和反對稱矩陣: A 是對稱矩陣AAT .A 是反對稱矩陣AAT .ABTC Tb.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：ATCDBTD TA11A21An1伴隨矩陣：A*AijTA12A22An2， Aij 為 A 中各個元素的代數(shù)余子式 .A1nA2 nAnnAA*A*A AE, A*n 11A,A1A .A*( 1)mn A B分塊對角陣的伴隨矩陣：BA*ABAB*B(1)mn B A-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(AT )TA矩陣可逆的性質(zhì)：(A1)1A( A )n 2伴隨矩陣的性質(zhì)：A An若 r

8、( A) nr ( A )1若 r ( A) n 10 若 r ( A) n 12. 逆矩陣的求法 方陣 A 可逆伴隨矩陣法A 1AA初等行變換 初等變換法( A E)( AB)TBT ATATA(A 1)T(AT) 1(AT)(A )T(AB) 1B1A1A 11( A 1 )k( Ak ) 1AkA( AB)B AAn 1( A1)( A )1AkkAA( A )( A )AB ABAkAkAA A A A E （無條件恒成立）A 0.1注 ：ab1db主換位cdad bcca副變號( EA 1)A1 分塊矩陣的逆矩陣A：BAC1AOBO11a1a1a21,a2a31a31A1B1B 1B

9、A 11A1CB1AO11OABCBB1CA1B11a1a3a21a2a31a1 配方法或者待定系數(shù)法（逆矩陣的定義A BB AE1 A）B3. 行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為 0 ；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零.當非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是0 時，稱為 行最簡形矩陣4. 初等變換與初等矩陣對換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式rirj ( cicj )E ( i, j)E(i , j ) 1E(i , j)E(i, j)1rik ( cik )E ( i(k

10、)Ei (k ) 1Ei( 1k )E i (k)k-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -ri rj k ( ci cj k )E ( i, j(k )Ei , j (k) 1Ei , j ( k )E i, j ( k) 1? 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對 A 施行一次初等 行 變換得到的矩陣 , 等于用相應(yīng)的初等矩陣 左 乘 A ；對 A 施行一次初等 列 變換得到的矩陣 , 等于用相應(yīng)的初等矩陣 右 乘 A .注意：初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣.5. 矩陣的秩 關(guān)于 A 矩陣秩的描述：、 r( A)r ， A 中有 r 階子式不

11、為0， r1 階子式(存在的話 ) 全部為 0；、 r( A)r ， A 的 r 階子式全部為0；、 r( A)r ， A 中存在 r 階子式不為0；? 矩陣的秩的性質(zhì)：AOr ( A) 1; AOr ( A)0 ; 0 r ( Am n ) min( m, n)()r(AT )(TA)rArAr ( kA)r ( A)其中 k0若Am n , Bn s ,若r ( AB)0r ( A) r ( B) n的列向量全部是的解BAx 0r ( AB) minr ( A), r (B)若 P 、 Q 可逆，則 r( A)r (PA)r( AQ)r( PAQ) ；即：可逆矩陣不影響矩陣的秩 .Ax只有

12、零解若 r ( Am n )nr ( AB) r ( B)；在矩陣乘法中有左消去律ABOBOAABACBC若 r ( B)nr ( AB)r ( B)在矩陣乘法中有右消去律 .n sB若 ()r與唯一的ErOErO為矩陣 的 等價標準型 .等價，稱rAAOOOOAr ( AB) r ( A)r (B) ,max r ( A), r ( B) r ( A, B) r ( A)r (B)-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -AOOA()(),AC()()rBBrArBrrArBOOOB? 求矩陣的秩： 定義法和行階梯形陣方法6 矩陣方程的解法( A0 ) ：設(shè)法化成 (I) AXB或(II)

13、XABAE(I) 的解法：構(gòu)造 ( A B)初等行變換(E X)(II)的解法：構(gòu)造初等列變換BX(II)的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為 AT X TBT，用(I) 的方法求出 X T，再轉(zhuǎn)置得 X第三部分線性方程組1. 向量組的線性表示2. 向量組的線性相關(guān)性3. 向量組的秩4. 向量空間5. 線性方程組的解的判定6. 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）（ 1）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）（ 2）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）1. 線性表示： 對于給定向量組,1, 2, , n ，若存在一組數(shù) k1, k2 , kn 使得k1 1 k2 2kn n ，則稱是1,2,n 的線性組

14、合，或稱稱可由 1,2 , , n 的線性表示 .線性表示的判別定理:可由1 ,2 ,n 的線性表示由 n 個未知數(shù) m 個方程的方程組構(gòu)成n 元線性方程：a11 x1a12 x2a1 n x nb1、a21 x1 a22 x 2a2 n x n b2 有解am1 x1am 2 x2anm xn bn-WORD格式 -專業(yè)資料 - 可編輯 -a11a12a1 nx1b1、a21a22a2 nx2b2Axam 1a m 2amnx mbmx1b1、 a1a2anx2（全部按列分塊，其中b2）；xnbn、 a1 x1a2 x2an xn（線性表出）、有解的充要條件：r (A)r (A, )n （

15、n 為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）2. 設(shè) Am n , Bn s,A 的列向量為1,2,n , B 的列向量為1, 2, s ，b11b12b1s則 AB Cm sb21b22b2sc1 , c2, cs1 , 2 , , nbn1bn2bnsAici， (i1,2 , s)i為 Axci 的解A1, 2 , sA 1 , A 2 , , A sc1 ,c2 , ,csc1, c2 ,cs 可由1,2 , , n 線性表 示 .即： C 的列向量能由A 的列向量線性表示，B 為系數(shù)矩陣 .同理： C 的行向量能由 B 的行向量線性表示，A 為系數(shù)矩陣 .a11a12a1n1c1a11 1a12 2a

16、1n 2c1即：a21a22a2 n2c2a21 1a22 2a2n 2c2an1an2amnncmam1 1 am 2 2amn 2cm-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -3. 線性相關(guān)性判別方法：法 1法 2法 3推論-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -? 線性相關(guān)性判別法（歸納）? 線性相關(guān)性的性質(zhì)零向量是任何向量的線性組合, 零向量與任何同維實向量正交 .單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān).部分相關(guān) ,整體必相關(guān)；整體無關(guān), 部分必?zé)o關(guān) .（向量個數(shù)變動）原向量組無關(guān) , 接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān), 原向量組相關(guān) .（向量維數(shù)變動）兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成

17、比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).向量組1,2 , n 中任一向量i (1 i n) 都是此向量組的線性組合 .若 1,2 , n 線性無關(guān)，而1,2,n ,線性相關(guān) , 則 可由1 , 2 , , n 線性表示 , 且表示法唯一4. 最大無關(guān)組相關(guān)知識-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -向量組的秩向量組1 , 2 ,n 的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩. 記作 r ( 1,2 ,n )矩陣等價A 經(jīng)過有限次初等變換化為B .向量組等價1, 2,n 和1, 2,n 可以相互線性表示 . 記作：1,2 , n1,2 , n矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩 .行階梯形

18、矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).矩陣的初等變換不改變矩陣的秩, 且不改變行（列）向量間的線性關(guān)系向量組1,2 ,s 可由向量組1 ,2 ,n 線性表示 , 且 sn ，則1 ,2 ,s 線性相關(guān) .向量組1,2 ,s 線性無關(guān) ,且可由1 ,2 , , n 線性表示 , 則 s n .向量組1,2 ,s 可由向量組1 ,2 ,n 線性表示 , 且 r (1, 2,s )r (1 , 2 , , n ) , 則兩向量組等價；任一向量組和它的極大無關(guān)組等價. 向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價.向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定.若兩個線性無關(guān)的向量組等價, 則它們包含的向量個數(shù)

19、相等.設(shè) A 是 mn 矩陣 , 若 r ( A)m ， A 的行向量線性無關(guān)；5. 線性方程組理論線性方程組的矩陣式Ax向量式x1 1x22xn na11a12a1 nx1b11 ja21a22a2nx2b2其中2 j1A, x,j, j, 2, , nam1am 2amnxnbmmj（ 1）解得判別定理-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -(1)1, 2 是Ax的解, 12也是它的解(2)是Ax的解 , 對任意 k, k 也是它的解齊次方程組(3)1, 2,k是 Ax的解 , 對任意 k個常數(shù)1, 2,k ,1 12 2kk也是它的解（ 2）線性方程組解的性質(zhì)：(4)是Ax的解 ,是

20、其導(dǎo)出組 Ax的解 ,是Ax的解(5)1, 2是Ax的兩個解 , 12 是其導(dǎo)出組 Ax的解(6)2是 Ax的解 ,則 1也是它的解12是其導(dǎo)出組 Ax的解(7)1, 2,k是 Ax的解,則1 12 2k k也是 Ax的解12k11 12 2k k是的解12k0Ax 0(3) 判斷 1, 2, s 是 Ax的基礎(chǔ)解系的條件：1, 2, s 線性無關(guān)；1, 2, s 都是 Ax的解；s nr ( A)每個解向量中自由未知量的個數(shù).(4)求非齊次線性方程組Ax = b 的通解的步驟(1)將增廣矩陣 ( A b)通過初等行變換化為階梯形矩陣 ；(2) 當r ( A b) r ( A) r n 時，把

21、不是首非零元所在列對應(yīng)的 n r個變量作為自由元；(3) 令所有自由元為零，求得 Ax b 的一個 特解 0；(4) 不計最后一列，分別令一個自由元為 1，其余自由元為零，得到Ax0 的基礎(chǔ)解系 1 , 2 ,., n-r ;(5) 寫出非齊次線性方程組 Ax b 的通解x0k1 1k2 2.kn rn r其中 k1, k2 ,., kn r為任意常數(shù) .-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -（ 5）其他性質(zhì)一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一. 若是 Ax的一個解，1, , s 是 Ax的一個解1,s ,線性無關(guān)Ax與Bx同解（ A, B 列向量個數(shù)相同）A()(),且有結(jié)果：rr Ar

22、BB 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng), 從而秩相等； 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. 矩陣 Am n與 Bl n的行向量組等價齊次方程組 Ax與 Bx同解PA B （左乘可逆矩陣P ）；矩陣 Am n與 Bl n的列向量組等價AQ B （右乘可逆矩陣Q ） .第四部分方陣的特征值及特征向量1. 施密特正交化過程2. 特征值、特征向量的性質(zhì)及計算3. 矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化1.標準正交基n 個 n 維線性無關(guān)的向量, 兩兩正交 , 每個向量長度為1.TTna1 ,a2 ,b1 ,b2 , bn(, )ai bia1b1 a2b2an bn向量, an

23、與的內(nèi)積i 1與 正交( ,) 0.記為：Tnai2a12a22an2a1 , a2 ,( ,) 向量, an的長度i 1是單位向量(,)1.即長度為 1的向量 .2.內(nèi)積的性質(zhì) ：正定性：(,)0,且 (,) 0 對稱性：(,)( ,)-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -線性性：(12,)(1,)(2,)(k,)k(,)3.設(shè) A 是一個 n 階方陣 ,若存在數(shù)和 n 維非零列向量x , 使得Axx ，則稱是方陣 A 的一個特征值， x 為方陣 A 的對應(yīng)于特征值的一個特征向量 .A 的特征矩陣E A0（或 AE0 ） .A 的特征多項式EA() （或AE( )）.( ) 是矩陣 A

24、 的特征多項式( A)OAntrA ， tr A 稱為矩陣 A 的跡 .1 2n1i上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的n 各元素 .若 A0, 則0 為 A 的特征值 , 且 Ax的基礎(chǔ)解系即為屬于0的線性無關(guān)的特征向量 .a1r ( A)1A 一定可分解為A =a2b1 , b2 , bn、 A2(a1b1a2b2anbn ) A , 從而 A 的特征值an為： 1tr A a1b1 a2b2an bn ,23n0 . a1, a2 , anTb1 ,b2 ,bn為 A 各列的公比 .為 A 各行的公比，注 若 A 的全部特征值1, 2,n ， f ( A) 是多項式 , 則

25、 : 若 A 滿足 f ( A)OA 的任何一個特征值必滿足f ( i) 0 f ( A) 的全部特征值為f (1 ), f( 2), f (n ) ； f ( A)f ( 1 ) f ( 2 )f ( n ) . A 與 AT 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.4. 特征值與特征向量的求法(1)寫出矩陣A 的特征方程 AE 0 ，求出特征值 i .(2)根據(jù) (Ai E) x 0 得到A 對應(yīng)于特征值i 的特征向量 .-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -設(shè) (Ai E) x0的基礎(chǔ)解系為1, 2,n ri, 其中 rir ( Ai E) .則 A 對應(yīng)于特征值i 的全部特征向量為

26、k1 1k22kn rin ri ,其中 k1, k2 , , kn ri 為任意不全為零的數(shù) .5.A與B相似P 1APB（ P 為可逆矩陣 ）A與 B 正交相似P 1APB（ P 為正交矩陣 ）A 可以相似對角化A 與對角陣相似.（稱是 A 的相似標準形）6. 相似矩陣的性質(zhì)：EAEB , 從而 A, B 有相同的特征值 ,但特征向量不一定相同 .注0 的特征向量 , P1是 B關(guān)于0 的特征向量 . 是A關(guān)于tr Atr BAB從而 A, B 同時可逆或不可逆 r ( A) r ( B)若 A 與 B 相似 , 則 A 的多項式f ( A) 與 B 的多項式f ( A) 相似 .7. 矩

27、陣對角化的判定方法 n 階矩陣 A 可對角化 ( 即相似于對角陣 ) 的充分必要條件是A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量 .這時 , P 為 A 的特征向量拼成的矩陣，P 1 AP 為對角陣 , 主對角線上的元素為A 的特征值 .設(shè) i 為對應(yīng)于 i 的線性無關(guān)的特征向量, 則有：1P 1AP2.nA 可相似對角化n r ( i E A)ki ，其中 ki 為i 的重數(shù)A 恰有 n 個線性無關(guān)的特征向量 .注A 可相似對角化i 的重數(shù) n r ( A) Ax基礎(chǔ)解系的個數(shù) . ：當 i0 為 A 的重的特征值時，若 n 階矩陣 A 有 n 個互異的特征值A(chǔ) 可相似對角化 .-WORD格式 - 專

28、業(yè)資料 - 可編輯 -8.實對稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實數(shù) , 特征向量是實向量； 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交；注 ：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 一定有 n 個線性無關(guān)的特征向量 . 若 A 有重的特征值 , 該特征值i 的重數(shù) = n r ( i EA) ； 必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標準形； 與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標準形； 兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值 .9.正交矩陣 AATE正交矩陣的性質(zhì)：ATA 1 ； AATATA E； 正交陣的行列式等于1或-1； A 是正交陣 , 則 AT ， A 1

29、 也是正交陣； 兩個正交陣之積仍是正交陣； A 的行（列）向量都是單位正交向量組 .10.-WORD格式 - 專業(yè)資料 - 可編輯 -11. 施密特正交規(guī)范化1, 2 , 3線性無關(guān) ,11正交化單位化：(2 ,1 )221,1(1 )(3 ,1 )(3 ,2 )331,1(2 ,2(1 )2 )123123123技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量 .第四部分二次型1. 二次型及其矩陣形式2. 二次型向標準形轉(zhuǎn)化的三種方式3. 正定矩陣的判定a11a12a1nx1nna21a22a2 nx2xT Ax1.二次型f (x1, x2 , , xn )aij xi x j(x1, x2 , , xn )i 1j 1an1an 2annxn其中 A 為對稱矩陣， x( x1 , x2 , xn )TA與 B合同CTAC B .（ A, B為實對稱矩陣 ,C為可逆矩陣 ）正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)p負慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負項項數(shù)r p符號差2 pr ( r 為二次型的秩 ) 兩個矩陣合同它們有相同的正負慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. 兩個矩陣合同