滬教版初三上冊(cè)396664《相似三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高) 知識(shí)講解

1、精品文檔用心整理滬教版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)相似三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段的概念；（2）通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，周長(zhǎng)的比等于對(duì)應(yīng)邊的比，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方；（3）了解兩個(gè)三角形相似的概念，探索兩個(gè)三角形相似的條件；（4）通過(guò)典型實(shí)例觀察和認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題(如利用相似測(cè)量旗桿的高度)；（5）理解實(shí)數(shù)與向量相乘的定義及向量數(shù)乘的運(yùn)算律.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、比例線段及比例的性

2、質(zhì)1.比例線段：（1）線段的比：如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別是m，n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗?其中a叫做比的前項(xiàng);b叫做比的后項(xiàng).（2）成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段（3）比例的項(xiàng)：已知四條線段，如果，那么，叫做組成比例的項(xiàng)，線段，d叫做比例外項(xiàng)，線段，叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段還叫做，的第四比例項(xiàng)（4）比例中項(xiàng)：如果作為比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即a:b=b:c或，那么線段叫做線段和的比例中項(xiàng)要點(diǎn)詮釋：通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a,b的

3、單位一致，c,d的單位一致也可以.2.比例的性質(zhì)(1)比例的基本性質(zhì)：(2)反比性質(zhì)：(3)更比性質(zhì):或(4)合比性質(zhì):(5)等比性質(zhì):且3.平行線分線段成比例定理（1）三角形一邊的平行線性質(zhì)定理:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.（2）三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論:平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊的對(duì)應(yīng)成比例.資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理（3）三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（4）三角形一邊的平行線判定定理推論：如

4、果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（5）平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.（6）平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等.這幾個(gè)定理主要提出由平行線可得到比例式；反之,有比例可得到平行線.首先要弄清三個(gè)基本圖形：這三個(gè)基本圖形的用途是:1.由平行線產(chǎn)生比例式基本圖形(1):若l1/l2/l3，則或或或基本圖形(2):若de/bc，則或或或基本圖形(3):若ac/bd，則或或或在這里必須注意正確找

5、出對(duì)應(yīng)線段，不要弄錯(cuò)位置.2由比例式產(chǎn)生平行線段基本圖形(2):若,之一成立，則de/bc.基本圖形(3):若,之一成立，則ac/db.要點(diǎn)詮釋：（1）平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例；（2）平行線分線段成比例沒(méi)有逆定理；（3）由于平行線分線段成比例定理中，平行線本身沒(méi)有參與作比例，因此，有關(guān)平行線段的計(jì)算問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化到“a”、“x”型中.a型x型常用的比例式：.（4）判斷平行線的條件中，只能是被截的兩條直線的對(duì)應(yīng)線段成比例(被判斷的平行線本身不能參與作比例).4.三角形的重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.要點(diǎn)詮釋：（1）重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它

6、到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的二倍；（2）重心的畫法：兩條中線的交點(diǎn).要點(diǎn)二、黃金分割1.黃金分割是指把一條線段(ab)分成兩條線段，使其中較大的線段(ac)是原線段(ab)與較小線段(bc)的比例中項(xiàng)(ac2abbc)，c點(diǎn)為黃金分割點(diǎn).2.黃金分割的求法代數(shù)求法：資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理已知：線段ab，求作：線段ab的黃金分割點(diǎn)c.分析：設(shè)c點(diǎn)為所求作的黃金分割點(diǎn)，則ac2abcb，設(shè)ab，acx，那么cbx，由ac2abcb，得：x2(x)x整理后，得：2x0，根據(jù)求根公式，得：x(不合題意，舍去)即acab0.618ab，則c點(diǎn)可作.黃金分割的幾何求法（尺規(guī)法）：已知

7、：線段ab，求作：線段ab的黃金分割點(diǎn)c.作法：如圖：(1)過(guò)b點(diǎn)作bdab，使bdab.(2)連結(jié)ad，在ad上截取dedb.(3)在ab上截取acae.則點(diǎn)c就是所求的黃金分割點(diǎn).證明：acaeadab而adacc點(diǎn)是線段ab的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn).這種分割之所以被人們稱為黃金分割，是因?yàn)辄S金分割存在美學(xué)規(guī)律和具有實(shí)用價(jià)值.德國(guó)著名天文學(xué)家開普勒(kepler，15711630)把這種分割稱為“神圣的比例”，說(shuō)它是幾何中的瑰寶，大家也可以看一下課外的閱讀材料，體會(huì)一下黃金分割中所蘊(yùn)含的美學(xué).要點(diǎn)三、相似三角形1.相似多邊形(1)相似多邊形的特征：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角

8、相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.(2)相似多邊形的識(shí)別：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似.(3)相似比：我們把相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.(4)相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比相似多邊形的面積比等于相似比的平方2.相似三角形（1）相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“”表示，讀作相似于.如：abc和def相似，可以寫成abcdef，也可以寫成defabc，讀作abc相似于def.（3）相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比相等，對(duì)應(yīng)

9、邊上的中線的比相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的.（4）相似三角形的判定：資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊

10、和一條直角邊的比對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形相似.（5）相似三角形應(yīng)用舉例相似三角形的知識(shí)在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，可以解決一些不能直接測(cè)量的物體的長(zhǎng)度問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)相似三角形的理解和認(rèn)識(shí).要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)四、實(shí)數(shù)與向量相乘1.實(shí)數(shù)與向量相乘的意義一般的，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個(gè)相加；用表示個(gè)相加.又當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示與同向且長(zhǎng)度為的向量.要點(diǎn)詮釋：設(shè)p為一個(gè)正數(shù)，p就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；p也就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，但方向相反.2.

11、向量數(shù)乘的定義一般地，實(shí)數(shù)與向量的相乘所得的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）如果時(shí)，則：的長(zhǎng)度：；的方向：當(dāng)時(shí)，與同方向；當(dāng)時(shí)，與反方向；（2）如果時(shí)，則：，的方向任意.實(shí)數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.要點(diǎn)詮釋：（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個(gè)與已知向量平行（或共線）的向量；（2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；（3）表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書寫時(shí)應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號(hào)，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；（4）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.3.實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)，則：（1）（結(jié)合律）；（2）（向量的數(shù)乘對(duì)于實(shí)數(shù)加法的分配律）；（3）（向量的數(shù)乘對(duì)于向量

12、加法的分配律）4.平行向量定理（1）單位向量：長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.要點(diǎn)詮釋：任意非零向量與它同方向的單位向量的關(guān)系：，.（2）平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使要點(diǎn)詮釋：（1）定理中，的符號(hào)由與同向還是反向來(lái)確定.（2）定理中的“”不能去掉，因?yàn)槿簦赜?，此時(shí)可以取任意實(shí)數(shù)，使得成立（3）向量平行的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量平行.（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量與非零向量平行，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使.資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理（5）a、b、c三點(diǎn)的共線若存在實(shí)數(shù)，使.要點(diǎn)五、向量的線性運(yùn)算1.向量的線性運(yùn)算定

13、義向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.要點(diǎn)詮釋：（1）如果沒(méi)有括號(hào)，那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.（2）如果有括號(hào)，則先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得.要點(diǎn)詮釋：（1）同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.一組基底中，必不含有零向量(2)一個(gè)平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當(dāng)相互垂直時(shí)，就稱為向量的正分解.(3)以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組

14、基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同3.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量來(lái)表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解：（2）用向量方法研究平面幾何的問(wèn)題的“三步曲”建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系.把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【典型例題】類型一、比例線段1.已知：，求k

15、的值.【答案與解析】當(dāng)x+y+z0時(shí)，根據(jù)等比性質(zhì)由，可得，則，k=2；當(dāng)x+y+z=0時(shí)，x+y=-z，則，k=-1綜上所述，k=2或-1.【總結(jié)升華】觀察比例式，發(fā)現(xiàn)前項(xiàng)和(2x+2y+2z)是后項(xiàng)和(x+y+z)的2倍，所以進(jìn)行考慮利用等比性質(zhì)，但題中沒(méi)有給出x+y+z0，則要進(jìn)行分類討論.通過(guò)上述各題，我們可以總結(jié)出：（1）在解決有關(guān)比例式的問(wèn)題時(shí)常利用比例的基本性質(zhì)、合比性質(zhì)、等比性質(zhì)及其變形，尤其要注意等比性質(zhì)的使用條件.（2）設(shè)比法，利用方程的思想、等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，也是常用的方法.（3）要根據(jù)條件中的特點(diǎn)來(lái)選擇合適的方法.資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理舉一反三

16、：【變式】已知：，求的值.【答案】解法1：根據(jù)和等比性質(zhì)，由得，=，解法2：由，設(shè)，則x=3k,y=4k,z=6k,.2已知:如圖,d是abc的ab邊的中點(diǎn),f是bc延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連結(jié)df交ac于e點(diǎn).求證:ea：ec=bf：cf【答案與解析】證法一:過(guò)c作ch/ab交df于hch/ab，即ch/bd，.又ch/ad，d是ab中點(diǎn)，ad=bd，（等比代換），即ea:ec=bf:cf.證法二:過(guò)c作cm/fd交ab于m，cm/fd，cm/ed，d是ab中點(diǎn)，ad=bd，ea:ec=bf:cf(等比代換).【總結(jié)升華】這是證明比例式的問(wèn)題,根據(jù)題目條件,不能直接證出要求證的比例式,并且四條線段中e

17、c，cf在同一個(gè)三角形中,而ea、bf不在同一個(gè)三角形中,因此需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線(平行線)來(lái)構(gòu)造形成比例的基本圖形(由平行得比例).為了利用bf:cf,故可以過(guò)c點(diǎn)作平行線來(lái)構(gòu)造基本圖形.在上面證明過(guò)程中,我們還用到了利用相等的比進(jìn)行代換證明比例式的方法,這也是一種經(jīng)常使用的方法.本題還可以過(guò)b點(diǎn)作ac的平行線或作df的平行線的方法來(lái)證明,請(qǐng)同學(xué)們自己來(lái)證.總之通過(guò)作平行線得到比例是必須掌握的方法.舉一反三：【變式】如圖，已知ad為abc的角平分線，交ac于e，如果，那么（）（a）（b）（c）（d）資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理【答案】b；類型二、相似三角形3已知矩形abcd

18、中，ab=1,在bc上取一點(diǎn)e,沿ae將ab向上折疊，使b點(diǎn)落在ad上的f點(diǎn)，若四邊形efdc與矩形abcd相似，則ad=（）abcd2【答案】b；【解析】根據(jù)已知得四邊形abef為正方形.因?yàn)樗倪呅蝒fdc與矩形abcd相似，所以df:ef=ab:bc，即（ad-1）:1=1:ad.整理得：,解得，由于ad為正，得到ad=，本題正確答案是b.【總結(jié)升華】本題綜合考察了一元二次方程和多邊形的相似，綜合性強(qiáng).舉一反三：【變式】如圖，在矩形abcd中，ab=6，bc=8,沿直線mn對(duì)折，使a、c重合，直線mn交ac于o.（1）求證：cba；（2）求線段om的長(zhǎng)度.（【答案】1）證明：a與c關(guān)于直線

19、mn對(duì)稱acmn，=90，在矩形abcd中，b=90，=b，又acb=acb，cba，（2）在cba中，ab=6，bc=8，ac=10，oc=5，cba，資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理，om=.類型三、實(shí)數(shù)與向量相乘4如圖，已知梯形abcd中，ab/cd，且ab=2cd，m，n分別是dc、ab的中點(diǎn)，設(shè)，試以為基底表示.【答案與解析】，連接nd，則dc/nb，dc=nb，又，.【總結(jié)升華】本題實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的應(yīng)用，由于是兩個(gè)不共線的向量，那么平面內(nèi)的所有向量都可以用它們表示出來(lái).類型四、向量的線性運(yùn)算5（2016嘉定區(qū)一模）如圖，在平行四邊形abcd中，對(duì)角線ac與bd相交于點(diǎn)o，如果=，=那么下列選項(xiàng)中，正確的是（）a=（+）b=（+）c=（）d=（）【思路點(diǎn)撥】由在平行四邊形abcd中，=，=，利用平行四邊形法則，可求得，然后由三角形法則，求得與，再由平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即可求得答案【答案】a【解析】解：a、在平行四邊形abcd中，=，=，=，=，=+=+，=（+）；故正確；b、=（+）；故錯(cuò)誤；c、=，=（），故錯(cuò)誤；d