蘇教版高中數(shù)學選修2-2知識講解_《數(shù)系的擴充與復數(shù)》全章復習與鞏固

1、精品文檔用心整理數(shù)系的擴充與復數(shù)全章復習與鞏固【學習目標】1.了解引進復數(shù)的必要性，了解數(shù)集的擴充過程；2.理解在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念；理解復數(shù)相等的充要條件；3.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.掌握進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則，了解復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運算的幾何意義.注意在不同數(shù)集中運算法則的聯(lián)系和區(qū)別.【知識網絡】b=d.【要點梳理】要點一：復數(shù)的基本知識1、虛數(shù)單位i，規(guī)定它的平方等于-1，即i2=-1.i可與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.2、形如a+bi（a,br）的數(shù)叫做復數(shù)，記作：z=a+bi（a,br）；當b

2、=0時，z是實數(shù)a；當b0時，z叫做虛數(shù)；當a=0且b0時，z=bi叫做純虛數(shù).a=c3、兩個復數(shù)相等的充要條件：若a,b,c,dr，則a+bi=c+di4、復數(shù)的幾何意義：資料來源于網絡僅供免費交流使用（3）zz=(a+bi)(a-bi)=a+b=z.22精品文檔用心整理對應應對復數(shù)z=a+bi一一復平面內的點z(a,b)一一平面向量oz）5、復數(shù)的模：設oz=a+bi（a,br，則向量oz的長度叫做復數(shù)z=a+bi的模，記作|a+bi|.即|z|=|oz|=a2+b20.（要點詮釋：1）i的周期性：如果nn，則有：i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i；（2）復數(shù)z

3、=a+bi的共軛復數(shù)，記為z=a-bi；2要點二：復數(shù)的運算設z=a+bi，z=c+di（a,b,c,dr），則：12z+z=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i12z-z=(c-a)+(d-b)i21zz=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i12z1=z2a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbc-ad=+ic+di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d2（要點詮釋：1）設-1311wi，則w3=1，w2=w，+w+w2=0，=w2，3n=1，w3n+1=w(n22wn+)等；（2）復數(shù)求解計算時，要靈活利用i、的性質，或適當變形，創(chuàng)造條件，從而

4、轉化為關于i、的計算問題比如(1i)2=2i；1+i1-i=i；=-i；1-i1+i（3）作復數(shù)除法運算時，有如下技巧：【典型例題】類型一：復數(shù)的概念及運算例1.化簡下列式子：a+bi(a+bi)i(a+bi)i=ib-ai(b-ai)ia+bi+1-i(1-3i)51+23i(2+2i)4-23+i22010（1）；（2）資料來源于網絡僅供免費交流使用(2+2i)4【解析】（1）=(1-3i)5精品文檔用心整理24(1+i)4135(-2)5-+i22=2-2132225-+i+1-i1+23i24(2i)213i=-1-3i；22-23+i22010（2）(-23+i)i21005(-23

5、+i)1=+=-(1+23i)i(-2i)1005i-23i1005=i-1=i+i=2i-i【總結升華】靈活利用(1i)2及-13+i的特點進行計算22舉一反三：【變式1】i是虛數(shù)單位，計算i+i2+i3=()a-lb1c-idi【答案】a【變式2】復數(shù)i(2+i)1-2i等于()aib-ic1d-1【答案】d【解析】ii(2+i)-1+2=ii1-21-2(1()2-+i2)+1i22i(-)1-=11(-i2)+1i2)5【變式3】已知復數(shù)z=1+i，則2z-z=_【答案】-2i例2.已知z=a2-3+(a+5)i，z=a-1+(a2+2a-1)i(ar)分別對應向量oz，oz（o為原1

6、212點），若向量zz所對應的復數(shù)為純虛數(shù)，求a的值21【解析】設向量zz對應的復數(shù)為z，21zz=oz-211zo，2資料來源于網絡僅供免費交流使用-a2-a+60，a-3且a2，精品文檔用心整理z=z-z=a2-3+(a+5)i-a-1+(a2+2a-1)i12=(a2-3)-(a-1)+(a+5)-(a2+2a-1)i=(a2-a-2)+(-a2-a+6)iz為純虛數(shù)，a2-a-2=0，a=2或a=-1，即a=-1【總結升華】討論復數(shù)z為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、非純虛數(shù)應從定義入手舉一反三：【變式1】設z2=z1-iz1(其中z1表示z1的共軛復數(shù))，已知z2的實部是-1，則z2的虛部為_【

7、答案】1i【解析】z=x+y，z=-1+bi，(x,y,br)12(y()i-1+bi=x+yi-ix-)=ix-y)+(y-x，由復數(shù)相等得b=y-x=-(x-y)=1【變式2】設a，b為實數(shù)，若復數(shù)1+2ia+bi=1+i，則()a=，a-b=1，2b=13113aa=，b=ba3，blca=，b=da1，b32222【答案】a【解析】1+2i=1+i1+2i=(1+i)(a+bi)a+bi31+2i=(a-b)+(a+b)ia+b=22故選a類型二：復數(shù)的幾何意義例3.已知復數(shù)z=1+2i，z=-2+i，z=-1-2i，它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂123點，求這個正方形的第

8、四個頂點對應的復數(shù)【解析】設復數(shù)z、z、z所對應的點分別為a、b、c，正方形的第四個點d對應的復數(shù)為x+yi(x，y123r)，資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理-ad=odao對應的復數(shù)為即x=2，y-2=-3，y=-1.(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i，bc=oc-ob對應的復數(shù)為(-1-2i)-(-2+i)=1-3icad=b，(i1i(x-1)+y-2)=-，3x-1=1，解得點d對應的復數(shù)為2-i【總結升華】本題主要考查復數(shù)的幾何意義利用ad=bc，求點d對應的復數(shù)，也可利用原點o恰好是正方形abcd的中心來解舉一反三：【變式】已知復平面上的應的復數(shù)a

9、bcd中，ac對應的復數(shù)為6+8i，bd對應的復數(shù)為-4+6i，求向量da對【答案】如圖所示，的幾何意義可得abcd中，設對角線ac、bd的交點為e，則點e為ac、bd的中點，由復數(shù)加減法11111da=ea-ed=ca-bd=-ac-bd=-(ac+bd)222221所以da對應的復數(shù)為-(6+8i-4+6i)=-1-7i，2所以向量da對應的復數(shù)為-1-7i資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理(1+i)3(a+bi)例4.復數(shù)z=且|z|=4，z對應的點在第一象限，若復數(shù)0，z，z對應的點是正三角形的1-i三個頂點，求實數(shù)a，b的值【解析】z=(1+i)2(1+i)1-i(a+b

10、i)=2ii(a+bi)=-2a-2bi由|z|=4，得a2+b2=4復數(shù)0，z，z對應的點是正三角形的三個頂點，|z-z=|z把z=-2z-2bi代入上式化簡得|b|1又z對應的點在第一象限.a0，b0a=-3，由得b=-1，故所求值為a=-3，b=-1【總結升華】要確定實數(shù)a，b的值，需列出含a，b的兩個方程條件|z|4易使用；對于正三角形這個條件，使用方法較多，本題轉化為邊長相等，即|z|=|z|=|z-z|舉一反三：【變式1】復數(shù)z=i1+i在復平面上對應的點位于()【解析】z=ia第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】ai(1-i)1+i11=+i1+i1-i2222復數(shù)z在

11、復平面內的對應點為，在第一象限故選a1122【變式2】若i為虛數(shù)單位，圖中復平面內點z表示復數(shù)z，則表示復數(shù)z1+i的點是()資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理zaebfcgdh【答案】d【解析】由題中圖示可知z=3+i，3+i=2-i，再結合題中圖示知點h表示2-i，故選d1+i1+i類型三：復數(shù)與方程例5.已知2+ai，b+i是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的兩根，求p，q.ap-4，q5bp4，q5cp4，q-5dp-4，q-5.【思路點撥】抓住實系數(shù)一元二次方程有虛根時兩根互為共軛復數(shù)來解題【解析】因為2+ai，b+i)是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的兩個根，

12、所以2+ai與b+i互為共軛復數(shù)，所以a-1，b2，所以實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的兩個根是2i，所以p-(2+i)+(2-i)-4，q(2+i)(2-i)5【總結升華】本題考查實系數(shù)一元二次方程有虛根時兩根互為共軛復數(shù)的特點，以及根與系數(shù)的關系舉一反三：【變式】在復數(shù)集中解方程x2+x+1=0.【答案】d=b2-4ac=1-4=-30，1,2=-b-di-13ix=，2a22222原方程的根為x=11313+i,x=-i.2例6.已知zc，解方程zz-3iz=1+3i資料來源于網絡僅供免費交流使用【思路點撥】本題介紹對z精品文檔用心整理z=|z|2的熟練應用，來求得z.【解析】z1-|z|2z=|z|2，把方程變形為z=-1+i，3兩邊取模得|z|2=1+(1-|z|2)29=|z|2解得x=4,y=3.y=3.整理得|z|4-11|z|2+10=0解得|z|2=1或|z|2=10將其代入得z=-1或z=-1-3iz-1或z-1+3i（【總結升華】對于含z,z,|z|的方程，基本解法：1）設z=