63知識講解_導(dǎo)數(shù)的幾何意義_提高

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。2. 理解導(dǎo)數(shù)的全面涵義。3. 掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象的切線的斜率。4. 會求過點（或在點處）的切線方程。【要點梳理】（根據(jù)課標(biāo)要求進行適當(dāng)?shù)纳罨c拓展。）要點一、導(dǎo)數(shù)幾何意義1.平均變化率的幾何意義一一曲線的割線函數(shù)y f（X）的平均變化率Xy f(x2) f(xi)的幾何意義是表示連接函數(shù)y f （X）圖像上兩點割X1線的斜率。如圖所示，函數(shù)f（X）的平均變化率匸一f-（X1）的幾何意義是：直線 AB的斜率。X2 X1XXXa XbX2 X1事頭上，kABf (X2)f (Xi)換一種表述:曲線上一點P（X0, yo）及其附近一點Q（X0

2、X, yoy),經(jīng)過點P、Q作曲線的割線PQ,則有kpQ(yo y) yo (Xo X) Xo要點詮釋:根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率。2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義一一曲線的切線如圖1,當(dāng)巳(Xn，f(Xn)( n 1,2,3, 4)沿著曲線f(x)趨近于點P(X0,f(X0)時，害熾PPn的變化趨勢是什么?我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點Pn沿著曲線無限接近點 P即 XT 0時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.定義：如右圖，當(dāng)點 Q(X0X,y0y)沿曲線無限接近于點卩匕。),0時，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點P處的切線。也就是:當(dāng) X 0時，割線

3、PQ斜率的極限，就是切線的斜率。X即：k佃lim f (X0X)f(X)X 0 X X 0f (Xo)。要點詮釋：(1)曲線上一點切線的斜率值只與該點的位置有關(guān)。(2 )切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在 X X0處的導(dǎo)數(shù)。(3 )曲線的切線的斜率的符號可以刻畫函數(shù)的增減性。若曲線y f(X)在點P(Xo, f(Xo)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與X軸垂直。f (X0) 0,切線與X軸正向夾角為銳角，f (X)瞬時遞增； (怡)0 ,切線與X軸正向夾角為鈍角,f (X)瞬時遞減；f (Xo) 0,切線與X軸零度角，瞬時無增減。(4)曲線的切線可能和曲線有多個公共點；為什么要用割線的極限位置來定義切線，而

4、不說“與曲線只有一個公共點的直線叫做切線？”過去我們定義圓的切線就是“與圓有且只有一個公共點的直線”，這個定義符合圓、橢圓等一類曲線，那么，能否對任何曲線C都用“與C有且只有一個公12與曲線11是曲線共點”來定義 C的切線呢？如圖1-1-2-1的曲線C是我們熟知的正弦曲線 y=sin x 的一部分，直線12顯然與曲線C有唯一公共點M，但我們不能說直線 相切；而直線11盡管與曲線C有不止一個公共點，但我們可以說直線 在點N處的切線。要點二、曲線的切線(1 )用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟：求出切點(X0, f(x0)的坐標(biāo)； 求出函數(shù)y f (x)在點Xo處的導(dǎo)數(shù)f (xo) 得切線

5、方程yf (xo)f (x)(x Xo)(2)在點(X0,f(X0)處的切線與過點(X0, yo)的切線的區(qū)別。在點(x0, f(x0)處的切線是說明點(x0, f(x0)為此切線的切點;而過點(xo, yo)的切線，則強調(diào)切線是過點(xo, yo),此點可以是切點，也可以不是切點。因此在求過點(X0, yo)的切線方程時，先應(yīng)判斷點(X0, yo)是否為曲線f(X)上的點，若是則為第一類解法，若不同則必須先在曲線上取一切點(Xi, f (Xi)，求過此切點的切線方程yyjf (X1)(X X1)，再將點(xo，yo)代入，求得切點(捲，f)的坐標(biāo)，進而求過點(Xo，yo)的切線方程。 要點三

6、、導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)函數(shù)定義：由函數(shù)f(x)在X=Xo處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)時，f (xo)是一個確定的數(shù)，那么，當(dāng)X變化時，便是X的一個函數(shù)，我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：f(X)或y ,即：f(X) ylim f(X X) f(X)X o要點詮釋:函數(shù)f(x)在點Xo處的導(dǎo)數(shù)f (Xo)、導(dǎo)函數(shù)f(X)之間的區(qū)別與聯(lián)系。(1)函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù) f (xo)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。f(x)的導(dǎo)函數(shù)。xo處的函數(shù)值。(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任一點X而言的，也就是函數(shù)(3)函數(shù)f(X)在點Xo處的導(dǎo)數(shù)f(Xo)就是導(dǎo)函數(shù)f(X)

7、在X導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)，所以r /(力在一點X施的導(dǎo)數(shù)I導(dǎo)函數(shù)牛別與一般所以求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計算這點的導(dǎo)數(shù)函數(shù)值。導(dǎo)函數(shù)求法：(2)由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù) y.求函數(shù)的改變量yf(xf（X）的導(dǎo)數(shù)的一般方法是:X） f（X）。.求平均變化率丄Xf(xX) f(x)。X.取極限，得導(dǎo)數(shù)y/ =譏。要點四、導(dǎo)數(shù)的定義的幾種形式：割線的極限即為切線，即為導(dǎo)數(shù)，從這個幾何意義上看導(dǎo)數(shù)式可以有多種表達形式，如:y limf(x X) f(x)；(或：,imf(x)f(x x)； y |imf(X X) f (x)；，x0V，x0VX 0y f(X0)limXLJ。X X

8、0X Xo，就能表示為導(dǎo)數(shù)式。要點詮釋：只要是 X 0時，極限式所表示的是割線的斜率（或其若干倍）【典型例題】類型一、求曲線的切線方程【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 385147例11 例1.曲線的方程為y X2 1，那么求此曲線在點 P （1, 2）處的切線的斜率，以及切線的方程【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點P（1, 2）處的切線的斜率等于函數(shù)yX21在X 1處的導(dǎo)數(shù)值，再利用直線的點斜式方程寫出切線方程y 1x1 2,由y X2 1得y（X2 1） 2x，所以曲線在點 P處的切線斜率為k過點P的切線方程為y 22（X 1），即y 2x.【總結(jié)升華1求曲線上一點處切線的步驟:y=f（X）在

9、點X X0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線 求函數(shù) 由點斜式寫出直線方程：y yo f （xo）（x 時導(dǎo)數(shù)不存在）時，由切線定義知：切線方程為：y=f（X）在P（X0, f（X0）處切線的斜率。X0）；如果y=f（x）在P（X0, f（X0）的切線平行于y軸（此XX0 .舉一反三:【變式】已知：曲線-5上一點F(2,19)，求：點P處的切線方程?！敬鸢浮繉τ诤瘮?shù)(XX)22xX2(Xx)x2x(X x)xX (x x)x)2x則點P處的切線的斜率：k15722)，過點P作直線I.切線方程：15x 4y 80。例2.已知函數(shù)f (X) = X3 3x及y = f (X)上一點F(1 ,(1)求使直線I和y=

10、f(x)相切且以P為切點的直線方程;(2)求使直線I和y= f (x)相切且切點異于點 P的直線方程y = g(x).【解析】(1) yIim (Xx)3 3(X x) 3x3 3X = 3x2 3.X 0(x x)x則過點P且以R1,2)為切點的直線的斜率k1 = f (1) = 0,所求直線方程為y= 2.(2)設(shè)切點坐標(biāo)為(Xo, X； 3xo),則直線I的斜率k2=f(xo) = 3x2 3,直線 I 的方程為 y ( x； 3X0) = (3 X2 3)( x xo)又直線I過點R1 , 2),C ,32 2 ( Xo 3X0) = (3 Xo 3)(1 X0),.32- Xo 3X

11、0 + 2 = (3 Xo 3)( X0 1),1解得Xo= 1(舍去)或xo=故所求直線斜率k = 3X(2 3 = 9 ,4991于是：y - ( - 2) = - ( X- 1)，即 y = - X +-.444【總結(jié)升華】求曲線的切線時，要注意區(qū)分不同的說法：通常情況下，求曲線在某點處的切線時，該點即為切點；求曲線經(jīng)過某點的切線時,該點不一定是切點。同時本題也說明了曲線的切線與曲線可能有超過一 個以上的公共點.舉一反三:【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的幾何意義385147 例 2】【變式1】 求曲線yX3經(jīng)過點P(1,1)的切線方程.3y 3x 2 ；【解析】本題要分點P(1,1)是切點和P(1,1

12、)不是切點兩類進行求解若點P(1,1)是切點，由y X3得y3x2則k 3，于是切線方程為y 1 3(x 1),若點P(1,1)不是切點，設(shè)切點為(X0,X03):則切線率k y 3X02，所以3x02334(X 1)，即 y 4X1 3解之得X0,所以k ,所以切線方程是 y2 4【變式2】已知曲線y(1)求曲線過點A(1, 0)的切線方程;(2)求滿足斜率為-的曲線的切線方程。3【答案】(1)設(shè)過點A(1，0)的切線的切點坐標(biāo)為1a,-，因為 limaf(aX 0X) f(a)1，所以該a切線的斜率為2，切線方程為ya(X aa)將A( 1, 0 )代入式，得a1。所以所求的切線方程為2y

13、=4x+4。(2)設(shè)切點坐標(biāo)為P x0,X0，由(1)知，切線的斜率為k 2，則X01Xo1-，X073。那么切點為P J3,血或PJ3,3所以所求的切線方程為【變式3】已知直線123x o3 3l1為曲線y= X2+ x 2在點（1,0）處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1丄12.求直線12的方程;求由直線|1、l2和x軸所圍成的三角形的面積.【答案】2 2(1)ylim (1 x) (1 x) 2(112)3x 0x即 y= 3x 3.2B(b, b + b 2),所以11的方程為：y = 3（ x 1）, 設(shè)I 2過曲線y = X2 + x 2上的點2心y l=blim(bx)2

14、(bx 0X)2 (b2 b 2)2b+1, x所以|2的方程為:y (b2 + b2) = (2 b +1) ( x b)，即 y= (2 b + 1)x b2 2.因為ll丄|2,所以3X (2 b + 1) = 1,所以2b=-，所以l2的方程為:31 22y 3x 63x 3122得652即I 1與l2的交點坐標(biāo)為(6,!)又l1, l2與x軸交點坐標(biāo)分別為(1,0)22T0|)223125121所以所求三角形面積 S -2類型二、利用定義求導(dǎo)函數(shù)例 3.已知 f（X）Jx 2 ,f(x) , f(2)【解析】 因為yTxx2vx2，所以vx(X X 2L(x 2) x(X2 4X )

15、1當(dāng) XT 0 時，f (x)f=，當(dāng) x=2 時，f (2)212J2 2【總結(jié)升華】求導(dǎo)數(shù)的步驟和求導(dǎo)數(shù)值的步驟一樣，叫三步法求導(dǎo)。舉一反三:【變式1】求函數(shù)y在(0, 丁 X）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)?！敬鸢浮縴Vx/XXVxX VxTxXX 4XX 仮b/x Tx)b/x Tx)/xx Vx (Vx4x)XX 4XX 4x (仮 4X)x Vx (依x仮（依 Vx ）1X 2仮【變式2】求函數(shù)y4在x=2處的導(dǎo)數(shù)。x解析解法一:（導(dǎo)數(shù)定義法）4(X 2)24222) 1X)24(x 2)2 jim。解法二: y4。(X 2)y lim丄七X x 0( X 2)2（導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法）4(X X)24(

16、2 Xx2(x- f(2) y|x242xx(2x x2(xx)x)2x)x)2類型三、導(dǎo)數(shù)的幾種形式4(2 X X)x2 (x x)例4.若f(X0) 2，則 lim f(X0 k) f(X0)0/k 02k【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義:f (X0)|im fX0 ( k)f(X0)(這時 = k),所以limk 0f(X0 k) f(X0)2k00fx0 ( k)f(X0)1 lim 恢(k)2 k 0f(X0)【總結(jié)升華1（1）有一種錯誤的解法:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：f（Xo）lirfk)kd (這時 X=k),所以 lim f(X0 k)f(X0)k 02k1lim f(X0k)f(X0)2 k 0

17、（2）在導(dǎo)數(shù)的定義中,增量 X的形式是多種多樣的，但不論厶X選擇哪種形式， y也必須選擇與之相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f（X）在X=X0處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形為導(dǎo)數(shù)定義的形式。概念是解決問題的重要依據(jù), 解題。只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延， 才能靈活地應(yīng)用概念進行舉一反三:【變式1】函數(shù)f（X）滿足2，則當(dāng)X無限趨近于0時,【變式21 .f(1X)f(1)f(12x2x)f(1)XX)f(1)102x.f(12x)f(1)f(1)【答案】（1）X如gp1) if- 1X_ f (12x) f (1) c 八，2lim 2 f (1) 4X 0e2x若 f(X0)a(1)求 lim f X0X f X0X 0的值。(2 )求 lim f(X0X) f(X0X)的值。X 0(2)XX【答案】lim