概率論與數(shù)理統(tǒng)計

1、關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)期望 方差 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù),第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,問題的提出： 在一些實(shí)際問題中，我們需要了解隨機(jī)變量 的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的某些特征。 例： 在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關(guān)心的 是平均產(chǎn)量； 在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的 平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的 偏離程度； 考察臨沂市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異 程度；,1 數(shù)學(xué)期望,例1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績 如下： 評定他們的成績好壞。,解：計算甲的平均成績：,計算乙的平均成績：,所以甲的成績好于乙的成績。,定義

2、： 定義：,數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。,例2：有2個相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命 服從同一指數(shù)分布，其概率密度為： 若將這2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接 組成整機(jī)，求整機(jī)壽命N(以小時計)的數(shù)學(xué)期望。 解：,問題：將2個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)， 整機(jī)的平均壽命又該如何計算？,根據(jù)N的概率密度fmin(x),可得到E(N).,例3：設(shè)有10個同種電子元件，其中2個廢品。裝配儀器 時，從這10個中任取1個，若是廢品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。,解：X的分布律為：,例4：設(shè)一臺機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生 故障時全天停工。若一周5個工作日里無故障，可獲

3、利10萬元；發(fā)生一次故障獲利5萬元；發(fā)生2次故障 獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬元，求一周內(nèi) 期望利潤是多少？,解：設(shè)X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù)，,設(shè)Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則,例5：,例6：,.,10,幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望,例7：已知某零件的橫截面是個圓，對橫截面的直徑X進(jìn) 行測量，其值在區(qū)間（1，2）上均勻分布，求橫截 面面積S的數(shù)學(xué)期望。,例8：,例9：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：,數(shù)學(xué)期望的特性：,這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機(jī)變量線性組合的情況,證明：,下面僅對連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明：,.,19,.,20,例11：一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場出發(fā)，旅客有10

4、個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就 不停車，以X表示停車的次數(shù)，求 (設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅 客是否下車相互獨(dú)立),本題是將X分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。,解：引入隨機(jī)變量：,例12：,.,23,總結(jié)數(shù)學(xué)期望的計算方法,數(shù)學(xué)期望的定義 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 例11的方法：“X分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和，利用E(X)=E(X1 +X2+Xn)= E(X1)+ E(X2)+ +E(Xn)” 根據(jù)題型，以上方法可能獨(dú)立使用，也可能結(jié)合使用。,.,24,定義： 定

5、義：,數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。,.,25,.,26,幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望,.,27,數(shù)學(xué)期望的特性：,這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機(jī)變量線性組合的情況,2 方差,設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時，另一半約1050小時平均壽命為1000小時； 另一批燈泡壽命為： 一半約1300小時，另一半約700小時平均壽命為1000小時； 問題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？(質(zhì)量更穩(wěn)定),單從平均壽命這一指標(biāo)無法判斷，進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值1000小時的偏離程度。,.,29,我們需要引進(jìn)一個量來描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值與E(X)的偏離程度,偏離的度量：,平均偏離：,絕對值（不好研究）,

6、.,30,定義 設(shè)X是一隨機(jī)變量，,為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。,存在，則稱之為X的方差。記為D(X)或Var(X)， 即,方差實(shí)際上是一個特殊的函數(shù) g(X) =(X-E(X)2 的期望,對于離散型隨機(jī)變量X，,對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，,此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差得計算公式(常用)：,例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望,例2：設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布，其分布律為： 解：,例3： 解：,例4：,解：X的概率密度為：,例5：設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為：,即對指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù),方差的性質(zhì)：,證明：,.,39,X與Y 相互獨(dú)立：已知EX=3；DX=1；EY=2；D

7、Y=3 。 E(X-2Y)；D(X-2Y) 。,解：由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì),例6：,例7： 解：,例8：設(shè)活塞的直徑(以cm計) 汽缸的直徑 X,Y相互獨(dú) 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能裝入汽缸的概率。,表1 幾種常見分布的均值與方差,數(shù)學(xué)期望 方差,分布率或 密度函數(shù),分布,.,45,幾個與期望及方差有關(guān)的練習(xí)題,1、設(shè)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2,方差D(X)=4,則E(X2)= ；,2、設(shè)X B(n,p),已知E(X)=1.6 , D(X)=1.28,則 n= ; P= ;,3、設(shè)X P()，且P(X=1)=P(X=2),則E(X)= , D(X)= ;,.,46,總結(jié)方差的計算

8、方法,定義法：函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 方差的性質(zhì) 常用公式：D(X)=E(X2)-E(X)2 X分解成數(shù)個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，利用D(X)=D (X1 +X2+Xn)= D (X1)+ D (X2)+ +D (Xn)” 根據(jù)題型，以上方法可能獨(dú)立使用，也可能結(jié)合使用。,.,47,作業(yè)題,P94 ：1，7,3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),對于二維隨機(jī)變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征。這就是本節(jié)的內(nèi)容。 定義：,.,49,協(xié)方差的計算,證(2):,注: X,Y相互獨(dú)立,協(xié)方差的性質(zhì)：,.,51,證明4)：利用,.,52,例1、設(shè)(X,Y)的分布律為：,求

9、COV(X,Y).,.,53,.,54,易知:,E(X)=P E(Y)=P,.,55,例2：設(shè)(X,Y)的概率密度為：,.,56,X,Y,1,1,D,0,.,57,.,58,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),線性關(guān)系,.,59,證明（1）,.,60,.,61,相關(guān)系數(shù)的意義 相關(guān)系數(shù)是描述了X與Y線性相關(guān)程度,X,Y不相關(guān)(弱),X,Y相互獨(dú)立(強(qiáng)),(沒有線性關(guān)系）,(沒有任何關(guān)系）,可能會有別的關(guān)系，如二次關(guān)系。,.,62,復(fù)習(xí)公式,.,63,實(shí)用的相關(guān)系數(shù)計算公式,.,64,.,65,Variable 1,Variable 2,Data Correlations,.,66,Variable 1,Varia

10、ble 2,Data Correlations,.,67,Variable 1,Variable 2,Data Correlations,% Compute sample correlation r = corrcoef(var1,var2),.,68,Variable 1,Variable 2,Data Correlations,% Compute sample correlation r = corrcoef(var1,var2) r = 1.0000 0.7051 0.7051 1.0000,.,69,練習(xí)題,計算文檔testdata2.txt中數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù) 步驟：1、用textrea

11、d函數(shù)讀取文檔testdata2.txt中的數(shù)據(jù) 2、用corrcoef函數(shù)計算讀取的兩個隨機(jī)變量數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù),.,70,Solution,%read data var1, var2 = textread(testdata2.txt,%f%f,headerlines,1) % Compute sample correlation r = corrcoef(var1,var2) % Plot data points figure(1) plot(var1,var2,ro),Variable 2,Variable 1,.,71,程序運(yùn)行結(jié)果,r = 1.00000000000000 0.59479245787995 0.59479245787995 1.00000000000000 所以相關(guān)系數(shù)等于：0.59479245787995,.,72,相關(guān)系數(shù)等于：0.59479245787995,.,73,應(yīng)用1：缺陷檢測,例1：設(shè)X,Y服從同一分布，其分布律為： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(|X|