數(shù)學(xué)建模止痛劑療效的評(píng)價(jià)

1、大學(xué)生數(shù)學(xué)建模承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了數(shù)學(xué)建模的規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。所屬班級(jí)（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 09級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 王 茜 2. 丁* 燕 3. 畢 瑞 4. 李*洋

2、 5. 王*彬 小組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 李洋洋 日期： 2012 年 4 月 4 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：題目：止痛劑的療效評(píng)價(jià)摘要：為研究新止痛劑的療效，利用病人服藥后病痛明顯減輕的時(shí)間進(jìn)行試驗(yàn)。在分析服用藥物后病痛明顯減輕的時(shí)間的過(guò)程中,我們把男性和女性分開(kāi)討論.為此根據(jù)病人用藥劑量和血壓組別預(yù)測(cè)出服藥后病痛明顯減輕的時(shí)間，對(duì)女性患者建立數(shù)學(xué)模型，并利用統(tǒng)計(jì)回歸的方法求解。關(guān)鍵詞：用藥劑量 回歸系數(shù) 置信區(qū)間 病痛減輕時(shí)間 統(tǒng)計(jì)回歸方法 一、問(wèn)題重述一個(gè)醫(yī)藥公司的新藥研究部門(mén)為了掌握一種新止痛劑的療效，設(shè)計(jì)了一個(gè)藥物實(shí)驗(yàn)，給患有同種病痛的病人使用這種新止痛劑的以

3、下4個(gè)計(jì)量中的某一個(gè)：2g，5g，7g和10g，并記錄每個(gè)病人病痛明顯減輕的時(shí)間（以分鐘計(jì)）。為了解新藥的療效與病人性別和血壓有什么關(guān)系，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中研究人員把病人按性別及血壓的低、中、高三檔平均分配來(lái)進(jìn)行測(cè)試。通過(guò)比較每個(gè)病人血壓的歷史數(shù)據(jù)，從低到高分成3組，分別記作0.25，0.50和0.75。實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，公司的記錄結(jié)果見(jiàn)下表（性別以0表示女，1表示男）。請(qǐng)你為公司建立一個(gè)模型，根據(jù)病人用藥的劑量、性別和血壓組別，預(yù)測(cè)出服藥后病痛明顯減輕的時(shí)間。表1：病人序號(hào)病痛減輕時(shí)間/min用藥劑量/g性別血壓組別135200.25243200.50355200.75447210.25543210.50

4、657210.75726500.25827500.50928500.751029510.251122510.501229510.751319700.251411700.501514700.751623710.251720710.501822710.7519131000.252081000.502131000.7522271010.2523261010.502451010.75二、符號(hào)說(shuō)明及基本假設(shè)1. 符號(hào)說(shuō)明服藥后病痛明顯減輕的時(shí)間病人用藥的劑量病人的血壓組別回歸系數(shù)（=0、1、2、3）隨機(jī)誤差回歸方程的決定系數(shù)統(tǒng)計(jì)量值與統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的概率值2 基本假設(shè)(1) 假設(shè)病人在服用該止痛藥前沒(méi)有服用

5、任何藥品。(2) 假設(shè)病人在服用該止痛藥后沒(méi)有任何副作用。三、問(wèn)題分析1問(wèn)題1的分析在模型i的假設(shè)下，認(rèn)為病人的用藥劑量和血壓組別之間沒(méi)有交互作用，即對(duì)病人服藥后病痛明顯減輕的時(shí)間的作用是相互獨(dú)立的，兩者不產(chǎn)生相關(guān)聯(lián)的影響。2 問(wèn)題2的分析在模型ii的假設(shè)下，認(rèn)為病人的用藥劑量和血壓組別之間的交互作用共同影響病人服藥后病痛明顯減輕的時(shí)間，即病人的用藥劑量和血壓作別之間的關(guān)聯(lián)對(duì)該止痛劑的療效有一定的影響四、模型的建立與求解1問(wèn)題1的模型建立為了大致分析服藥后病痛減輕的時(shí)間與病人用藥劑量和血壓組別之間的關(guān)系，首先利用表1的數(shù)據(jù)分別作出對(duì)和的散點(diǎn)圖。圖1.1 對(duì)的散點(diǎn)圖由上圖可知：對(duì)可用二次函數(shù)擬合

6、，擬合后如圖1.2：圖1.2 對(duì)的擬合圖 圖1.3 對(duì)的散點(diǎn)圖由上圖可知：對(duì)可用二次函數(shù)擬合，擬合后如圖1.4：圖1.4 對(duì)的擬合圖從圖1.2可以發(fā)現(xiàn)，隨著的增加，是成拋物型曲線變化的趨勢(shì)，圖中的曲線用二次函數(shù)模型為而在圖1.4中隨著的增加，的值有比較明顯的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，圖中的直線用線性模型為綜合上面的分析，建立如下回歸模型為2.模型i求解直接利用matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令regress求解，得到模型1的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信水平），檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，的結(jié)果見(jiàn)表1.1參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間59.351339.2313,79.4713-8.9039-15.5312,-2.27663.50

7、00-16.3410,23.34100.3556-0.1844,0.8956 表1.1 模型i的計(jì)算結(jié)果結(jié)果分析: 表1.1顯示，=0.8853指因變量y（病痛減輕時(shí)間）的88.53可由模塊確定, 值遠(yuǎn)遠(yuǎn)的超過(guò)的臨界值, 遠(yuǎn)小于(為置信水平),因此從整體來(lái)看該模型是可用的.表1.1的回歸系數(shù)給出了模型i中的估計(jì)值,即,.檢查它們的置信區(qū)間發(fā)現(xiàn), 和的置信區(qū)間包含零點(diǎn),所以對(duì)這兩個(gè)個(gè)系數(shù)的解釋是不可靠的。因而要對(duì)模型進(jìn)行殘差分析，首次回歸所得圖1.5: 圖1.5 模型i首次回歸的殘差分析圖圖1.5中出現(xiàn)兩個(gè)異常數(shù)據(jù)，剔除第1和第3個(gè)數(shù)據(jù)后再次回歸，結(jié)果如表1.2：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間64.42

8、9046.3865,82.4715-8.6259-13.9913,-3.2605-8.6667-22.6634,5.33000.3377-0.0626,0.7379 表1.2 模型i去掉異常數(shù)據(jù)后的回歸系數(shù)再次進(jìn)行殘差分析，得到圖1.6：圖1.6 模型i第二次回歸的殘差分析圖此時(shí)，該模型在大程度上都有了提升，也無(wú)異常數(shù)據(jù)，模型基本可用。所以最佳模型為模型似乎可以使用了，但是為了得到更準(zhǔn)確的模型，我們將對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。3.問(wèn)題2的模型建立增加和的交互項(xiàng)后，模型ii記作4.模型ii求解直接利用matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令regress求解，得到模型2的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信水平），檢驗(yàn)統(tǒng)

9、計(jì)量，的結(jié)果見(jiàn)表2.1:參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間36.939522.9221,50.9570-5.1686-8.8117,-1.525548.323526.1230,70.5240-7.4706-10.7986,-4.14260.35560.0915,0.6196 表2.1 模型ii的計(jì)算結(jié)果由表2.1可知，模型ii的和值都比模型i有所改進(jìn)，并且所有回歸系數(shù)的置信區(qū)間都不含零點(diǎn)，表明模型ii是完全可用的。與模型i類似作出模型ii的殘差分析圖（圖2.1）圖2.1模型ii首次回歸的殘差分析圖可以看出，模型ii的殘差分析圖中存在一個(gè)異常點(diǎn)，去掉異常數(shù)據(jù)后回歸，再次回歸得到的數(shù)據(jù)見(jiàn)表2.2：參數(shù)參數(shù)估計(jì)

10、值置信區(qū)間35.166324.6114,45.7212-4.2655-7.0948,-1.436248.323531.7957,64.8513-7.4706-9.9482,-4.99300.28540.0791,0.4918 表2.2 模型ii首次去掉異常數(shù)據(jù)后的回歸系數(shù)作出相應(yīng)的殘差分析圖2.2:圖2.2 模型ii第二次回歸的殘差分析圖觀察在殘差分析圖2.2中仍有異常數(shù)據(jù)，剔除第3組數(shù)據(jù)后再一次進(jìn)行回歸。回歸所得數(shù)據(jù)如表2.3：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間37.380329.2323 ，45.5283-3.8362-5.9835 ，-1.688935.026417.1529 ，52.8998-5.

11、8340-8.2728 ，-3.39520.20450.0318 ，0.3772 表2.3模型ii第二次去掉異常數(shù)據(jù)后的回歸系數(shù)作出相應(yīng)的殘差分析圖2.3:圖2.3 模型ii第三次回歸的殘差分析圖觀察在殘差圖中仍有異常數(shù)據(jù)，剔除第7組數(shù)據(jù)后進(jìn)行第四次回歸?；貧w所得數(shù)據(jù)如表2.4：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間35.909430.1562 ，41.6626-3.3587 -4.8981 ，-1.819335.908223.6414 ，48.1749-5.6816-7.3577 ，-4.00540.16100.0357 ，0.2863 表2.4模型ii第三次去掉異常數(shù)據(jù)后的回歸系數(shù)表2.4中增大，且置信區(qū)

12、間不包含零點(diǎn)，說(shuō)明回歸有效，而且在接下來(lái)的循環(huán)回歸我們發(fā)現(xiàn)，的增長(zhǎng)數(shù)非常小，所以到這第四次回歸就已經(jīng)足夠了，從開(kāi)始假設(shè)的模型到四次回歸，不難看出、f的變化情況，即由此可以得出，最優(yōu)模型為五、模型的結(jié)果分析1.模型i的結(jié)果分析在模型i的初次求解中，得到=0.8853，即應(yīng)變量的88.53可由模型確定，但是、的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，說(shuō)明模型i存在缺點(diǎn)，為此進(jìn)行殘差分析。經(jīng)過(guò)殘差分析后，=0.9421，也無(wú)異常數(shù)據(jù)，說(shuō)明此時(shí)模型i是可用的。2.模型ii的結(jié)果分析將模型i和改進(jìn)后的模型ii進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的模型要比原模型大得多，適用范圍也就廣得多，采用改進(jìn)后的模型療效更好也更安全，因此最佳模型為

13、 使用該模型時(shí)，只需將女病人的用藥劑量、血壓組別所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)代入模型，就可以得出服藥病痛減輕的大概時(shí)間。六、模型的評(píng)價(jià)1.模型的優(yōu)點(diǎn)(1) 本文的模型在建立的過(guò)程中充分考慮到止痛藥與病人的重要相關(guān)因素，得出我們建立的模型中的最佳模型。(2) 充分利用matlab等軟件進(jìn)行畫(huà)圖求證，所以誤差較小，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確合理。(3) 在求解模型時(shí)多次回歸，直到無(wú)異常數(shù)據(jù)，因此該模型準(zhǔn)確度高。 2.模型的缺點(diǎn)(1)本文在解決問(wèn)題中使用的數(shù)據(jù)大部分為實(shí)驗(yàn)值，本身存在誤差，我們沒(méi)有使用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。(2)在模型建立中，所建模型相對(duì)復(fù)雜，與建模要求中模型的簡(jiǎn)單、明了不符。 七、模型的改進(jìn)與推廣1. 我們建的模型不僅

14、可用于醫(yī)藥公司新藥的推廣，也可用于其它資源的安排，還可用于諸如像工資薪金模型的其它類型的問(wèn)題。 2. 由于題目給出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不是很精確，如果我們能對(duì)統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行改進(jìn)，估計(jì)時(shí)間可以更加精確。3. 這個(gè)模型比較接近現(xiàn)實(shí)，它很有實(shí)用價(jià)值，可以為以后其他新藥的推廣提供參考。八、參考文獻(xiàn)【1】數(shù)學(xué)模型（第三版）.姜啟源，謝金星，葉俊.北京，高等教育出版社，2012【2】matlab7.x程序設(shè)計(jì).王建衛(wèi)，曲中水，凌濱.北京，中國(guó)水利水電出版社，2007九、附錄對(duì)的散點(diǎn)圖（圖1.1）：x1=2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 1

15、3 8 3;plot(x1,y,*)對(duì)的擬合圖（圖1.2）：x1=2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3;p=polyfit(x1,y,2);x1x1=linspace(min(x1),max(x1);yy=polyval(p,x1x1);plot(x1,y,o,x1x1,yy);對(duì)的散點(diǎn)圖（圖1.3）x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3;plot(

16、x2,y,*)對(duì)的擬合圖（圖1.4）x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3;plot(x2,y,*)p=polyfit(x2,y,2);x2x2=linspace(min(x2),max(x2);yy=polyval(p,x2x2);plot(x2,y,o,x2x2,yy);模型i的首次回歸： x1=2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10;x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50

17、 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3;x=ones(12,1),x1,x2,(x1.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b = 59.3513 -8.9039 3.5000 0.3556bint = 39.2313 79.4713 -15.5312 -2.2766 -16.3410 23.3410 -0.1844 0.8956r = -8.8407 -1.7157 9.4093 1.4044 1.5294 1.6544 3.6789 -5.1961 -3.0711 6.2574 0.

18、3824 -5.4926rint = -16.8831 -0.7983 -13.9606 10.5292 1.8729 16.9457 -11.0711 13.8799 -12.0160 15.0748 -10.7978 14.1066 -8.4394 15.7973 -18.0314 7.6392 -15.3173 9.1752 -3.4540 15.9687 -11.9490 12.7137 -15.5493 4.5640stats = 0.8853 20.5762 0.0004 37.0150 rcoplot(r,rint)殘差分析圖（圖1.5）剔除第1和第3個(gè)數(shù)據(jù)后再次回歸： x1=2

19、 5 5 5 7 7 7 10 10 10;x2= 0.50 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y= 43 26 27 28 19 11 14 13 8 3;x=ones(10,1),x1,x2,(x1.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)作出殘差分析圖（圖1.6）： rcoplot(r,rint)模型改進(jìn)：模型ii首次回歸：x1=2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10;x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 ;y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3; x=ones(12,1),x1,x2,(x1.*x2),(x1.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x) rcoplot(r,r