圓錐體積公式的推導

1、1 劉盈春劉盈春 2 我們先說說圓柱和圓錐各部分的名稱及特征吧：我們先說說圓柱和圓錐各部分的名稱及特征吧： 高高 有無數(shù)條有無數(shù)條 側面?zhèn)让?展開后是長方形或正方形展開后是長方形或正方形 底面底面 有兩個底面，是相等的圓形有兩個底面，是相等的圓形 頂點頂點有一個頂點有一個頂點 側側面面展開后是扇形展開后是扇形 高高只有一條只有一條 有一個底面，是圓形有一個底面，是圓形 圓柱的體積公式用字母表示是圓柱的體積公式用字母表示是（ ）。）。 V = s h 底面底面 那么這個圓錐的體積又怎么求呢？那么這個圓錐的體積又怎么求呢？ 3 你有辦法知道這個鉛錘的體積嗎？你有辦法知道這個鉛錘的體積嗎？ 4 我們

2、在學習一種新的圖形時，常常采用什么方法？我們在學習一種新的圖形時，常常采用什么方法？ 常采用的方法是：分一分、拼一拼常采用的方法是：分一分、拼一拼 將新的圖形將新的圖形 轉化成轉化成 已學圖形已學圖形 回憶回憶 回憶：回憶： 你能舉個例子說說嗎？給你的同桌說說看。你能舉個例子說說嗎？給你的同桌說說看。 如：梯形、三角形，平行四邊形等的面積公如：梯形、三角形，平行四邊形等的面積公 式是根據(jù)長方形的面積公式推導出來的式是根據(jù)長方形的面積公式推導出來的 如：圓柱體體積公式是根據(jù)長方體的體積公式如：圓柱體體積公式是根據(jù)長方體的體積公式 推導出來的推導出來的 5 想想 一一 想想 議議 一一 議議 想一

3、想想一想。我們以前學過什么物體的體積計我們以前學過什么物體的體積計 算？算？ 將圓錐體將圓錐體 轉化成轉化成 已學過的圓柱體已學過的圓柱體 長方體、正方體的體積，這學期又學習了圓柱長方體、正方體的體積，這學期又學習了圓柱 體體積體體積 議一議議一議：我們這節(jié)課要學習的圓錐體體積怎我們這節(jié)課要學習的圓錐體體積怎 么計算？么計算？ 6 請在圓錐中裝滿沙子或水，然后倒入請在圓錐中裝滿沙子或水，然后倒入 圓柱中；或在圓柱中裝滿沙子或水，然后圓柱中；或在圓柱中裝滿沙子或水，然后 倒入圓錐中。通過實驗，你發(fā)現(xiàn)什么？這倒入圓錐中。通過實驗，你發(fā)現(xiàn)什么？這 個實驗說明什么？個實驗說明什么？ 7 圓錐圓錐 圓柱

4、圓柱 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 圓錐的體積正好等于與它等底圓錐的體積正好等于與它等底 等高的圓柱體積的三分之一等高的圓柱體積的三分之一 錐= 柱 3 1 37 想一想，討論一下： 通過剛才的實驗，你發(fā)通過剛才的實驗，你發(fā) 現(xiàn)了什么？現(xiàn)了什么？ 38 圓錐的體積圓錐的體積V V等于和它等于和它等底等高等底等高 的圓柱體積的的圓柱體積的三分之一三分之一 V V shsh 1 3 V圓柱sh 39 圓錐的體積等于和它圓錐的體積等于和它等底等高等底等高 的圓柱

5、體積的的圓柱體積的三分之一三分之一 V V shsh 1 3 40 我們總結一下我們總結一下：通過實驗通過實驗 和觀察，你再次發(fā)現(xiàn)什么？和觀察，你再次發(fā)現(xiàn)什么？ 這個實驗說明什么？這個實驗說明什么？ 因為：圓錐的體積是圓柱的三分之一因為：圓錐的體積是圓柱的三分之一 所以：圓錐的體積所以：圓錐的體積=圓柱的體積圓柱的體積 3 1 通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)圖中的圓錐和圓柱的底面積相通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)圖中的圓錐和圓柱的底面積相 等，它們的高也相等。通過實驗，我們發(fā)現(xiàn)在圓錐中裝等，它們的高也相等。通過實驗，我們發(fā)現(xiàn)在圓錐中裝 滿沙子或水，再倒入圓柱中剛好三次把圓柱裝滿；在圓滿沙子或水，再倒入圓柱中剛好三次把

6、圓柱裝滿；在圓 柱中裝滿沙子或水，再往圓錐里倒正好三次倒完柱中裝滿沙子或水，再往圓錐里倒正好三次倒完 。這個。這個 實驗說明等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積是圓柱的實驗說明等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積是圓柱的 三分之一或圓柱的體積是圓錐的三分之一或圓柱的體積是圓錐的3倍。倍。 底面積底面積高高 圓錐的體積圓錐的體積= 底面積高底面積高 3 1 V= sh 圓錐的體積計算公式用圓錐的體積計算公式用 字母表示是：字母表示是： 3 1 41 例題：例題： 圓錐形鉛垂，底面積是圓錐形鉛垂，底面積是 45平方厘米，高是平方厘米，高是6厘米，這個鉛厘米，這個鉛 垂的體積是多少立方厘米？垂的體積是多少立

7、方厘米？ V= sh 3 1 3 1 456=90（立方厘米立方厘米） 答：這個鉛垂的體積是答：這個鉛垂的體積是90立方厘米。立方厘米。 42 等底等高底等高 1 24 底面積底面積高高 3 1 V= s h 3 1 一、填空：一、填空： 1、圓錐的體積、圓錐的體積=（ ），）， 用字母表示是（用字母表示是（ ）。）。 2、圓柱體積的、圓柱體積的 與和它（與和它（ ）的圓）的圓 錐的體積相等。錐的體積相等。 3、一個圓柱和一個圓錐等底等高，圓柱、一個圓柱和一個圓錐等底等高，圓柱 的體積是的體積是3立方分米，圓錐的體積是（立方分米，圓錐的體積是（ ） 立方分米。立方分米。 4、一個圓錐的底面積是

8、、一個圓錐的底面積是12平方厘米，高平方厘米，高 是是6厘米，體積是（厘米，體積是（ ）立方厘米。）立方厘米。 3 1 43 二、判斷：二、判斷： 1、圓柱體的體積一定比圓錐體的體積大（、圓柱體的體積一定比圓錐體的體積大（ ） 2、圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積、圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積 的的 。 （ ） 3、正方體、長方體、圓錐體的體積都等于底面、正方體、長方體、圓錐體的體積都等于底面 積積高。高。 （ ） 4、等底等高的圓柱和圓錐，如果圓柱體的體積、等底等高的圓柱和圓錐，如果圓柱體的體積 是是27立方米，那么圓錐的體積是立方米，那么圓錐的體積是9立方米立方米.（ ） 3

9、1 44 、已知圓錐的底面半徑和高，如、已知圓錐的底面半徑和高，如 何求體積？何求體積？ 、已知圓錐的底面直徑和高，如、已知圓錐的底面直徑和高，如 何求體積？何求體積？ 、已知圓錐的底面周長和高，如、已知圓錐的底面周長和高，如 何求體積？何求體積？ r= d2 S=r 2 3 1 V= S h S=r 2 3 1 V= S h r =C2S=r 2 3 1 V= S h 45 填表：填表： 已已 知知 條條 件件 體積體積 圓錐底面半徑圓錐底面半徑2厘米，高厘米，高9厘米厘米 圓錐底面直徑圓錐底面直徑6厘米，高厘米，高3厘米厘米 圓錐底面周長圓錐底面周長6.28分米，高分米，高6分分 米米 37.68立方厘米立方厘米 28.26立方厘米立方厘米 6.28立方分米立方分米 46 有一根底面直徑是有一根底面直徑是6厘米，長是厘米，長是15厘米的圓厘米的圓 柱形鋼材，要把