蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4第三章三角恒等變換教案

1、蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4第三章教案【精美整理版】第三章 三角恒等變換第三章 三角恒等變換13.1兩角和與差的三角函數(shù)2第1課時(shí)2第2課時(shí)7第3課時(shí)12復(fù)習(xí)課1183.2 二倍角的三角函數(shù)23第1課時(shí)23第2課時(shí)2833 幾個(gè)三角恒等式33復(fù)習(xí)課238本站資源匯總優(yōu)秀資源，值得收藏43第三章 三角恒等變換【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】1 本章利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，并由此公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換。2 三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上。三角恒等變換公式反映了角的相加、相減、二倍角運(yùn)算引起三角函數(shù)值變化的規(guī)律，

2、是研究三角函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的一種工具。學(xué)習(xí)和應(yīng)用三角恒等變換，有利于發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力。3、三角恒等變換具有幾何和物理的應(yīng)用背景。以向量為橋梁將三角恒等變換的算式與直觀的幾何圖形相互溝通和轉(zhuǎn)化，有助于學(xué)習(xí)和應(yīng)用三角恒等變換，還能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的整體，而不是各不相關(guān)的內(nèi)容的堆積。知識(shí)結(jié)構(gòu) tan（+）= tan（-）= cos（-）=coscos+sinsincos（+）=coscos-sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos-cossinsin2=2sincoscos2=cos2- sin2=2cos2-1=1-2 sin2

3、tan2=學(xué)習(xí)要求1. 了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用；2. 理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3. 運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式作為基本訓(xùn)練，進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問(wèn)題的自覺(jué)性，體會(huì)一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用。3.1兩角和與差的三角函數(shù)第1課時(shí)【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】學(xué)習(xí)要求1、理解向量法推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式，并能初步運(yùn)用解決具體問(wèn)題；2、應(yīng)用公式，求三角函數(shù)值.3培養(yǎng)探索和創(chuàng)新的能力和意識(shí)

4、.【自學(xué)評(píng)價(jià)】1探究反例：?jiǎn)栴}：的關(guān)系？解決思路：探討三角函數(shù)問(wèn)題的最基本的工具是直角坐標(biāo)系中的單位圓及單位圓中的三角函數(shù)線2探究：在坐標(biāo)系中a、b角構(gòu)造a+b角3探究：作單位圓，構(gòu)造全等三角形4探究：寫出4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，5計(jì)算，= = 6探究 由=導(dǎo)出公式學(xué)習(xí)札記展開(kāi)并整理得 所以 可記為 7探究 特征熟悉公式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)； 此公式對(duì)任意a、b都適用公式記號(hào)8探究 cos(a-b)的公式以-b代b得： 公式記號(hào)【精典范例】例1 計(jì)算 cos105 cos15 coscos-sinsin【解】 例2已知sina=，cosb=求cos(a-b)的值.【解】 例3已知cos(2-)=-,sin (-

5、2)=,且,0,求cos(+)的值。 分析：已知條件中的角與所求角雖然不同，但它們之間有內(nèi)在聯(lián)系，即(2-)-(-2)=+由、角的取值范圍，分別求出2-、-2角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。 【解】 例4不查表，求下列各式的值.（1）（2）（3）在三角變換中，首先應(yīng)考慮角的變換,如何變換角？一定要根據(jù)題目的條件與結(jié)論來(lái)變，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是“據(jù)果變形”，創(chuàng)造出使用三角公式的條件，以達(dá)到求值、化簡(jiǎn)和證明的目的.常用的變換角的方法有：=(+)-,+2=(+)+,【追蹤訓(xùn)練】：學(xué)習(xí)札記1sina-sinb=-，cosa-cosb=，a(0, ),b(0, ),求cos(a-b)的值。2求cos75的

6、值 3計(jì)算：cos65cos115-cos25sin1154 計(jì)算：-cos70cos20+sin110sin205已知銳角a,b滿足cosa= cos(a+b)=求cosb.6已知cos(a-b)=,求(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2的值.【選修延伸】例5已知，是第三象限角，求的值.例6，且，求的值.練習(xí)：1滿足的一組的值是 （ ） a. b. c. d. 學(xué)習(xí)札記2若，則的值為 （ ） a. 0 b. 1 c. d. 1 3已知cos= ,（，2），則cos（）= 。4化簡(jiǎn)： = 。5利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：（1）（2）（3）（4）【師生互動(dòng)】第2課時(shí)【

7、學(xué)習(xí)要求】1 掌握兩角和與差的正弦公式及其推導(dǎo)方法。2 通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力。并運(yùn)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等變形。3 掌握誘導(dǎo)公式 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：由兩角和的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦公式 難點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等變形【自學(xué)評(píng)價(jià)】 1 兩角和的正弦公式的推導(dǎo)sin(a+b)=cos-(a+b)=cos(-a)-b=cos(-a)cosb+sin(-a)sinb=sinacosb+cosasinb即： 以-b代b得： 2公式的分析，結(jié)構(gòu)解剖：正余余正符號(hào)同?！揪浞独繉W(xué)習(xí)札記 例1求值【解】例2 ：已知，求的值.例3已知sin(

8、a+b)=,sin(a-b)= 求的值.【解】例4（1）已知，求tan: tan的值.【解】思維點(diǎn)拔：由兩角和的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦公式，并進(jìn)而推得兩角和的正弦公式，并運(yùn)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等變形。【追蹤訓(xùn)練一】：1. 在abc中，已知cosa =，cosb =，則cosc的值為（ ）（a） （b） （c） （d）2.已知，求sin(a + b)的值. 3.已知sina + sinb = ，求cosa + cosb的范圍. 學(xué)習(xí)札記4.已知sin(a+b) =，sin(a-b) =，求的值. 4 已知sina+sinb= cosa+cosb= 求cos(a-b)【解】

9、【選修延伸】例5化簡(jiǎn).【解】 思維點(diǎn)拔：我們得到一組有用的公式： sincossincos(2) sincos2sin2cos(3) asinbcossin（）cos（）【追蹤訓(xùn)練二】：1化簡(jiǎn) 2求證：cosx+sinx=cos(x) . 3. 求證：cosa+sina2sin(+a). 學(xué)習(xí)札記4. 已知，求函數(shù)的值域. 5.求的值. 【師生互動(dòng)】第3課時(shí)【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】5 掌握兩角和與差的正切公式及其推導(dǎo)方法。6 通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力。3能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等變形。 教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn) 能根據(jù)兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角

10、和與差的正切公式學(xué)習(xí)難點(diǎn) 進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等變形【自學(xué)評(píng)價(jià)】 1兩角和與差的正、余弦公式 2tan(a+b)公式的推導(dǎo)cos (a+b)0tan(a+b)= 當(dāng)cosacosb0時(shí), 分子分母同時(shí)除以cosacosb得：以-b代b得： 其中都不等于7 注意：聽(tīng)課隨筆1必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式tana，tanb，tan(ab)只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能用誘導(dǎo)公式. 2注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào).4請(qǐng)大家自行推導(dǎo)出cot(ab)的公式用cota，cotb表示當(dāng)sinasinb0時(shí),cot(a+b)= 同理，得：cot(a-b)= 【精典范例】例1已知tana

11、=，tanb=-2 求cot(a-b)，并求a+b的值，其中0a90, 90b0，x0,時(shí)，-5f (x)1，設(shè)g(t)=at2+bt-3，t-1,0，求g(t)的最小值。思維點(diǎn)拔：無(wú)論是化簡(jiǎn)、求值還是證明都要注意：角度的特點(diǎn)、函數(shù)名稱的特點(diǎn)；其中切弦互化是常用手段；三角變換公式要靈活應(yīng)用，注意角的范圍對(duì)解題的影響，同時(shí)要掌握有關(guān)解題技巧：化弦、輔助角、角變換、公式逆用、正余弦和積互換?！咀粉櫽?xùn)練】：1 在abc中，c90，則tanatanb與1的關(guān)系適合 （ ）a tanatanb1 b tanatanb1 c tanatanb =1 d 不確定2若0，sincos，sincosb，則（ ）

12、 a ab1 b ab c ab ab23 4設(shè)a，b(,)，tana、tanb是一元二次方程的兩個(gè)根，求 a + b.5已知tan、tan是方程x23x30的兩個(gè)根,求sin2（）3sin（）cos（）3cos2（）的值。6已知、為銳角，cos，tan（），求cos的值。聽(tīng)課隨筆7已知sin(45 - a) = ，且45 a 90，求sina . 8試求函數(shù)的最大值和最小值。若呢？ 3.2 二倍角的三角函數(shù)第1課時(shí)【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 1.二倍角公式的作用在于用單角的三角函數(shù)來(lái)表達(dá)二倍角的三角函數(shù)，它適用于二倍角與單角的三角函數(shù)之間的互化問(wèn)題. 2.二倍角公式不只限于是的二倍的形式，其它如

13、是的兩倍，是的兩倍，是的兩倍，是的兩倍等，所有這些都可以應(yīng)用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含義，即當(dāng)時(shí)，就是的二倍角.凡是符合二倍角關(guān)系的就可以應(yīng)用二倍角公式.尤其是“倍角”的意義是相對(duì)的.3.二倍角公式是從兩角和的三角函數(shù)公式中，取兩角相等時(shí)推導(dǎo)出，記憶時(shí)可聯(lián)想相應(yīng)角的公式.4.公式成立的條件是 學(xué)習(xí)要求 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、恒等證明.重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：1.二倍角公式的推導(dǎo)；2.二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.難點(diǎn)：理解倍角公式，用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù).【自學(xué)評(píng)價(jià)】1.復(fù)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： 學(xué)習(xí)札記2.二倍角

14、公式的推導(dǎo) 在公式，中，當(dāng)時(shí)，得到相應(yīng)的一組公式： ； ； ；注意： 1在中 2在因?yàn)椋怨娇梢宰冃螢榛?公式，統(tǒng)稱為二倍角的三角函數(shù)公式，簡(jiǎn)稱為二倍角公式.【精典范例】一、 倍角公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用例1不查表求下列各式的值（） （）（） （）【解】例2若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值【解】例3用表示【解】點(diǎn)評(píng)：1、加深對(duì)“二倍角”的理解，即角的變換；2、進(jìn)一步體會(huì)“化歸思想”（三倍角化歸為兩角和與二倍角）。例4已知，求的值?！窘狻奎c(diǎn)評(píng)：進(jìn)一步體會(huì)角的變換的妙處。學(xué)習(xí)札記二、之間的關(guān)系例5已知，求，的值?！窘狻咳?、倍角公式的進(jìn)一步運(yùn)用例6求證：【解】例7求的值?！窘狻窟M(jìn)一

15、步探討的值。思維點(diǎn)拔：要理解并掌握二倍角公式以及推導(dǎo)，能正確運(yùn)用二倍角的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明.二倍角公式是由和角公式由一般化歸為特殊而來(lái)的，要注重這種基本數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.【追蹤訓(xùn)練】：1.若270360，則等于 ( ) a.sin b.cos c.sin .cos2.求值：(1)sin2230cos2230= (2) (3) (4) 3.求值(1)sin10sin30sin50sin70(2) cos200cos400cos600cos800 學(xué)習(xí)札記4.已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值. 5.已知，且，求的值。6.

16、已知求的值 7.已知求的值【師生互動(dòng)】第2課時(shí)【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 1熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角降次，降角升次）2特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形： 這兩個(gè)形式今后常用。學(xué)習(xí)要求要求學(xué)生能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明，增強(qiáng)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和邏輯推理能力重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：理解倍角公式，用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用和、差、倍角公式進(jìn)行三角式化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式【自學(xué)評(píng)價(jià)】1有關(guān)公式：（1）；（2）；（3）。說(shuō)明：1、在倍角公式中，以代替，以代替，即得；則將（1）（2）相除即得。2、如果知道cos的值和角的終邊所在象限，就可以將右邊開(kāi)方，從而求得；3、

17、這三個(gè)公式的開(kāi)方形式稱為半角公式，不要求記憶，但推導(dǎo)方法要掌握。4、。說(shuō)明：1、用正切的半角公式顯然行不同（帶正負(fù)號(hào)），回到基本關(guān)系式，并向右邊看齊；學(xué)習(xí)札記2、這種形式的正切半角公式不需考慮符號(hào)，要簡(jiǎn)單?！揪浞独坷?化簡(jiǎn)：【解】例2求證：sinq(1+sinq)+cosq(1+cosq)sinq(1-sinq)+cosq(1-cosq) = sin2q【證明】【思維點(diǎn)撥】關(guān)于“升冪”“降次”的應(yīng)用:在二倍角公式中，“升次”“降次”與角的變化是相對(duì)的。在解題中應(yīng)視題目的具體情況靈活掌握應(yīng)用。例3求函數(shù)的值域?！窘狻坷?求證：的值是與a無(wú)關(guān)的定值?！咀C】例5 化簡(jiǎn)： 【解】例6 求證：【證明

18、】學(xué)習(xí)札記例7利用三角公式化簡(jiǎn)：【解】 【追蹤訓(xùn)練】1 若，則等于( )2的值等于( )。sin2 。cos2 。 cos2 。cos23sin6cos24sin78cos48的值為( )4的值等于 。5已知sin，則sin2（）的值等于 。6已知7求值tan70cos10（tan201）。8求值：cos280sin250sin190cos3209求的值。待添加的隱藏文字內(nèi)容210已知學(xué)習(xí)札記，求sin4a的值?！編熒?dòng)】33 幾個(gè)三角恒等式【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 幾組三角恒等式：1二倍角公式: ； ； ； 2倍角降冪公式3半角公式 4積化和差公式5和差化積公式聽(tīng)課隨筆6萬(wàn)能公式7派生公式：

19、(1) (sincos)21sin2 (2) 1cos2cos2， (3 )1cos2sin2，(4) asinbcossin（）cos（）（5）學(xué)習(xí)要求1.掌握推導(dǎo)積化和差、和差化積公式、半角公式和萬(wàn)能公式的方法，知道它們的互化關(guān)系2.注意半角公式的推導(dǎo)與正確使用. 學(xué)習(xí)重點(diǎn)幾組三角恒等式的應(yīng)用學(xué)習(xí)難點(diǎn)靈活應(yīng)用和、差、倍角等公式進(jìn)行三角式化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式【自學(xué)評(píng)價(jià)】1積化和差公式的推導(dǎo) 因?yàn)楹褪俏覀兯鶎W(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，因此我們考慮；.兩式相加得即；2和差化積公式的推導(dǎo)在上式中若令a + b = q，a - b = ，則， 代入得： 3萬(wàn)能公式的推導(dǎo)123【精典范例】例1已知，求3cos 2

20、q + 4sin 2q 的值.例2已知，化簡(jiǎn).例3已知，tana =，tanb =，求2a + b .聽(tīng)課隨筆例4已知sina - cosa = ，求和tana的值.例5已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求sin(a + b)的值.例6已知a、b、c是三角形的內(nèi)角，.（1）問(wèn)任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化？試證明你的結(jié)論。（2）求y 的最大值。思維點(diǎn)拔：1、公式正用要善于拆角；逆用要構(gòu)造公式結(jié)構(gòu)；變用要抓住公式結(jié)構(gòu).2、化簡(jiǎn)（1）化簡(jiǎn)目標(biāo)：項(xiàng)數(shù)盡量少、次數(shù)盡量低、盡量不含分母和根號(hào).（2）化簡(jiǎn)基本方法：異角化同角；異名化同名；切割化弦；高次化低次；常值代換

21、.3、求值（1）求值問(wèn)題的基本類型：給角求值；給值求值；給值求角；給式求值.（2）技巧與方法：切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換4、證明（1）證明基本方法：化繁為簡(jiǎn)法、左右歸一法、變更命題法.（2）條件等式的證明關(guān)鍵在于分析已知條件與求證結(jié)論之間的差異與聯(lián)系.【追蹤訓(xùn)練】：1.如果cos，3,則sin的值等于( )2.設(shè)56且cosa,則sin等于( )3.已知tan764，則tan7的值約為( )4.tancot的值等于 5.已知sinacosa1，0，則tan .6.已知tan、tan是方程72810的兩根，則tan 聽(tīng)課隨筆7.設(shè)25sin2sin240且是第二象限角，求tan. 8.已知cos2，求sin4cos4的值. 9.求證復(fù)習(xí)課2【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】（一）兩角和與差公式（二）倍角公式 2cos2=1+cos2 2sin2=1-cos2 注意：倍角公式揭示了具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，可實(shí)現(xiàn)函數(shù)式的降冪的變化。注： （1）兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型：求值題，化簡(jiǎn)題，證明題。（2）對(duì)公式會(huì)“正用”，“逆用”，“變形使用”；（3）掌握“角的演變”規(guī)律，（4）將公式和其它知識(shí)銜接起來(lái)使用。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：幾組三角恒等式的應(yīng)用難點(diǎn)：靈活應(yīng)用和、差、倍