高數(shù)上冊 第九章第二節(jié) 全微分

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章 *二、全微分在近似計算中的應(yīng)用 二、全微分在近似計算中的應(yīng)用 應(yīng)用 第三節(jié) 一元函數(shù) y = f (x) 的微分 )( xoxAy? xxfy?)(d 近似計算 估計誤差 本節(jié)內(nèi)容: 一、全微分的定義 全微分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、全微分的定義、全微分的定義 定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ) 可表示成 , )(?oyBxAz? 其中 A , B 不依賴于? x , ? y , 僅與 x , y 有關(guān)， 稱為函數(shù) ),(yxf 在點(diǎn) (x, y) 的全微分, 記作 yBxAfz? ? d d 若

2、函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微, 則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微， 處全增量 則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微. A xBy ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(?oyBxAz? yBxAfz? ? d d (2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) ),(),(yxfyyxxfz? ?)()(lim 0 ? ? oyBxA? ? 下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 : (1) 函數(shù)可微 函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微 ),(lim 0 0 yyxxf y x ? ? ? 當(dāng)函數(shù)可微時 : 得 z y x ? ? ? 0 0 lim 0? ),(yxf? 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 偏導(dǎo)

3、數(shù)存在 函數(shù)可微 即 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1(必要條件) 若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微可微 , 則該函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) y y z x x z z? ? ? ? ? ? ?d x z ? ? ? 同樣可證 ,B y z ? ? ? 證證:因函數(shù)在點(diǎn)(x, y) 可微, 故 ,0? ? y 令 )(xoxA? 必存在,且有 得到對 x 的偏增量 xx?x 因此有 x z x x? ? ? ?0 limA? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反例: 函數(shù) ?),(yxf 易知 ,0) 0, 0 ()0, 0 (? yx ff 但 )0, 0()0, 0(y

4、fxfz yx ? 因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 . )(?o? 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 22 )()(yx yx ? ? ? 22 )()(yx yx ? ? ? 0 偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 ! 即: 0, 22 22 ? ? yx yx yx 0 , 0 22 ? ? y x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yyxxf? 定理定理2 (充分條件) y z x z ? ? ? ? , 證證： ),(),(yxfyyxxfz? )1,0( 21 ? xyxfx?),( ? ? ? ? ? ? yyyxf y ?),( 2 ?xyyxxfx),( 1 ? ),(yyxf

5、? ),( yxf?),(yyxf? yyxf y ?),( 若函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) ,),(連續(xù)在點(diǎn)yx則函數(shù)在該點(diǎn)可微分. ? ? 0lim 0 0 ? ? ? ? y x ,0lim 0 0 ? ? ? ? y x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? ?z yyxfxyxf yx ?),(),( yyxfxyxfz yx ?),(),( ? ? ? ? ?yx 所以函數(shù) yx? 在點(diǎn) 可微. ? ? ? ? ? ? 0lim 0 0 ? ? ? ? y x ,0lim 0 0 ? ? ? ? y x 注意到 , 故有 )(?o? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? ? ? x x u 推廣推廣:

6、類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題 . 例如, 三元函數(shù) ),(zyxf u ? ?ud 習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示 , ?ud 記作 故有下述疊加原理 uuuu zyx dddd? 稱為偏微分偏微分. z z u d ? ? ? u z d 的全微分為 ? ? ? y y u z z u ? ? ? 于是 uuu zyx d,d,d 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1. 計算函數(shù) 在點(diǎn) (2,1) 處的全微分. 解: ? ? ? x z 22 e2 ) 1 , 2( ,e ) 1 , 2( ? ? ? ? ? ? y z x z 例2. 計算函數(shù) 的全微分. 解: ?udy y d

7、)cos( 22 1 ? ? ? ? y z ,e yx y yx xe zy ze 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可知當(dāng) *二、全微分在近似計算中的應(yīng)用 1. 近似計算近似計算 由全微分定義 )(),(),(?oyyxfxyxfz yx ? ),(yyxxf?yyxfxyxf yx ?),(),( 較小時, yyxfxyxfzz yx ?),(),(d zd 及 有近似等式: ?),(yxf (可用于誤差分析或近似計算 ) (可用于近似計算) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 半徑由 20cm 增大 解解: 已知 ? ?V ,100,20?hr ) 1(2005. 0100202 2 ? ?V

8、即受壓后圓柱體體積減少了 例例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變 , 到 20.05cm , 則 rh r ? 2h r ? ? 2 1,05. 0?hr )(200 3 cm? 高度由100cm 減少到 99cm , 體積的近似改變量 . 求此圓柱體 h r 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4.4.計算 的近似值. 解: 設(shè) y xyxf?),(,則 ?),(yxfx 取 , 2, 1?yx 則 )02. 2,04. 1(04. 1 02. 2 f? 08. 102. 0004. 021? ?),(yxf y , 1?y xy xx y ln 02. 0,04. 0?yx 目錄 上頁 下頁 返回

9、 結(jié)束 分別表示 x , y , z 的絕對誤差界, 2. 誤差估計誤差估計 利用 yyxfxyxfz yx ?),(),( 令 z 的絕對誤差界約為 yyxxz yxfyxf),(),(? z 的相對誤差界約為 y y x xz yxf yxf yxf yxf z ),( ),( ),( ),( ? ? 則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 y y x xz yxf yxf yxf yxf z ),( ),( ),( ),( ? ? 特別注意特別注意 類似可以推廣到三元及三元以上的情形 . x z z ? y x ? y ? y x ? ? 乘除后的結(jié)果相對誤差變大 ? 很小的數(shù)不能做除數(shù) 目錄

10、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 利用公式 ?1 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba 求計算面積時的絕對誤差與相對誤差 . 解： aS a S ? ? ? a Cbsin 2 1 ? 1800 ,01. 0,30,3 . 8, 5 .12? Cba Cba 故絕對誤差約為 又 所以 S 的相對誤差約為 ?30sin3 . 85 .12 2 1 b Casin 2 1 ? C Cabcos 2 1 ? 94.25? 計算三角形面積.現(xiàn)測得 b b S ? ? ? C C S ? ? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例6 6.在直流電路中, 測得電壓 U = 24 V

11、, 解: 由歐姆定律可知 4 6 24 ? I U R( ? ) 所以 R 的相對誤差約為 ? IUR IUR 0.3 ? + 0.5 ? R 的絕對誤差約為 ? R R 0.8 ? 0.3? ; 定律計算電阻為 R 時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差 . 相對誤差為 測得電流 I = 6A, 相對誤差為 0.5 ? , = 0.032 ( ? ) = 0.8 ? 求用歐姆 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 微分定義: ? ? z ?zd yyxfxyxf yx d),(d),(? 22 )()(yx? 2. 重要關(guān)系: )( ?o? 函數(shù)可導(dǎo) 函數(shù)可微 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 函數(shù)連續(xù) 定義

12、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 微分應(yīng)用 ? 近似計算 ? 估計誤差 yyxfxyxf yx ?),(),( yyxfxyxf yx ?),(),( 絕對誤差 相對誤差 yyxxz yxfyxf),(),(? y y x xz yxf yxf yxf yxf z ),( ),( ),( ),( ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. P75 題5 ；P129 題 1 函數(shù) ),(yxf z ? 在 ),( 00 yx 可微的充分條件是 ( ) ;),(),()( 00 連續(xù)在yxyxfA ),(),(, ),()( 00 yxyxfyxfB yx 在? 的某鄰域內(nèi)存

13、在 ; yyxfxyxfzC yx ?),(),()( 0)()( 22 ?yx當(dāng)時是無窮小量 ; 22 )()( ),(),( )( yx yyxfxyxfz D yx ? ? 0)()( 22 ?yx當(dāng)時是無窮小量 . 2. 選擇題 D 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 答案答案: z? 03. 0,1 01. 0,2 ? ? yy xx 02. 0? zd 03. 0,1 01. 0,2 ? ? yy xx 03. 0? 也可寫作: 當(dāng) x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 時 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P129 題 7 目錄 上頁 下

14、頁 返回 結(jié)束 zfyfxff zyy d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d )0 , 0 , 0( ? 4. 設(shè) 解: x x xf cos3 )0 , 0 ,( ? ? ? 0 cos3 )0 , 0 , 0( ? ? ? ? x x x fx 4 1 ? 利用輪換對稱性 , 可得 4 1 )0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(? zy ff )dd(d 4 1 zyx? 注意: x , y , z 具有 輪換對稱性輪換對稱性 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 答案答案: 作業(yè)作業(yè) P74 1 (3) , (4) ; 3 ; *6 ; *9 ; *1

15、1 5. 已知 第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點(diǎn) (0,0) 可微 . 備用題 在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 , 續(xù), ),(yxf而 證證: 1) 因 22 1 sin yx xy ? 0),(lim 0 0 ? ? ? yxf y x )0 , 0(f? 故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不連 證明函數(shù) xy? 所以 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yxfx ,)0 , 0(),(時當(dāng)?yx ,0)0 ,(?xf?;0)0 , 0(? x f . 0)0 , 0(? y f 同理 22 1 sin yx ? 322 2 )(yx yx ? ?

16、 ),(lim )0 , 0 (),( yxfx xx? 極限不存在 , ),(yxf x ?在點(diǎn)(0,0)不連續(xù) ; 同理 , ),(yxf y 在點(diǎn)(0,0)也不連續(xù). x x (lim 0? ? |2 1 sin x 3 3 |22x x ? ) |2 1 cos x 2) 3) 題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)()( 22 yx? 4) 下面證明 )0 , 0(),(在點(diǎn)yxf可微 : ? yfxff yx ?)0 , 0()0 , 0( 說明: 此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件 . 令 則 題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11 醉翁亭記 1反復(fù)朗讀并背誦課文，培養(yǎng)

17、文言語感。 2結(jié)合注釋疏通文義，了解文本內(nèi)容，掌握文本寫作思路。 3把握文章的藝術(shù)特色，理解虛詞在文中的作用。 4體會作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、導(dǎo)入新課范仲淹因參與改革被貶，于慶歷六年寫下岳陽樓記，寄托自己“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”的政治理想。實(shí)際上，這次改革，受到貶謫的除了范仲淹和滕子京之外，還有范仲淹改革的另一位支持者 北宋大文學(xué)家、史學(xué)家歐陽修。他于慶歷五年被貶謫到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也 是在此期間，歐陽修在滁州留下了不遜于岳陽樓記的千古名篇 醉翁亭記。接下來就讓我們一起來學(xué)習(xí)這篇課文吧！【教學(xué)提示】結(jié)合前文教學(xué)，有利于學(xué)生把握本文寫作背景，進(jìn)而加深學(xué)生

18、對作品含義的理解。二、教學(xué)新課目標(biāo)導(dǎo)學(xué)一：認(rèn)識作者，了解作品背景作者簡介：歐陽修(10071072) ，字永叔，自號醉翁，晚年又號“六一居士”。吉州永豐(今屬江 西 )人，因吉州原屬廬陵郡，因此他又以“廬陵歐陽修”自居。謚號文忠，世稱歐陽文忠公。北宋政治家、文學(xué)家、史學(xué)家，與韓愈、柳宗元、王安石、蘇洵、蘇軾、蘇轍、曾鞏合稱“唐宋八大家”。后人又將其與韓愈、柳宗元和蘇軾合稱“千古文章四大家”。 關(guān)于“醉翁”與“六一居士”：初謫滁山，自號醉翁。既老而衰且病，將退休于潁水之上，則又更號六一居士?？陀袉栐唬骸傲缓沃^也？”居士曰：“吾家藏書一萬卷，集錄三代以來金石遺文一千卷，有琴一張，有棋一局，而常置

19、酒一壺?！笨驮唬骸笆菫槲逡粻?，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之間，豈不為六一乎？”寫作背景：宋仁宗慶歷五年(1045 年)， 參知政事范仲淹等人遭讒離職，歐陽修上書替他們分辯，被貶到滁州做了兩年知州。到任以后，他內(nèi)心抑郁，但還能發(fā)揮“寬簡而不擾”的作風(fēng)，取得了某些政績。醉翁亭記就是在這個時期寫就的。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)二：朗讀文章，通文順字1初讀文章，結(jié)合工具書梳理文章字詞。2朗讀文章，劃分文章節(jié)奏，標(biāo)出節(jié)奏劃分有疑難的語句。節(jié)奏劃分示例 環(huán)滁 /皆山也。其 /西南諸峰，林壑 / 尤美，望之 /蔚然而深秀者，瑯琊也。山行/六七里，漸聞 /水聲潺潺，而瀉出于/兩峰之間者，釀泉也。峰回/路轉(zhuǎn)，有亭 /

20、翼然臨于泉上者，醉翁亭也。作亭者/誰？山之僧 /曰 /智仙也。名之者 / 誰？太守 /自謂也。太守與客來飲/于此，飲少 /輒醉，而 /年又最高，故 / 自號曰 /醉翁也。醉翁之意/ 不在酒，在乎 /山水之間也。山水之樂，得之心/而寓之 酒也。節(jié)奏劃分思考“山行/ 六七里”為什么不能劃分為“山/行六七里”？ 明確：“山行”意指“沿著山路走”，“山行”是個狀中短語，不能將其割裂?！巴?蔚然而深秀者”為什么不能劃分為“望之蔚然/而深秀者”？明確：“蔚然而深秀”是兩個并列的詞，不宜割裂，“望之”是總起詞語，故應(yīng)從其后斷句?！窘虒W(xué)提示】引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)朗讀的過程中劃分朗讀節(jié)奏，在劃分節(jié)奏的過程中感知文意

21、。對于部分結(jié)構(gòu)復(fù)雜的句子，教師可做適 當(dāng)?shù)闹v解引導(dǎo)。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)三：結(jié)合注釋，翻譯訓(xùn)練1學(xué)生結(jié)合課下注釋和工具書自行疏通文義，并畫出不解之處?！窘虒W(xué)提示】節(jié)奏劃分與明確文意相輔相成，若能以節(jié)奏劃分引導(dǎo)學(xué)生明確文意最好；若學(xué)生理解有限，亦可在解讀文意后把握節(jié)奏劃分。2以四人小組為單位，組內(nèi)互助解疑，并嘗試用“直譯”與“意譯”兩種方法譯讀文章。3教師選擇疑難句或值得 翻譯的句子，請學(xué)生用兩種翻譯方法進(jìn)行翻譯。翻譯示例：若夫日出而林霏開，云歸而巖穴暝，晦明變化者，山間之朝暮也。野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰，風(fēng)霜高潔，水落而石出者，山間之四時也。直譯法：那太陽一出來，樹林里的霧氣散開，云霧聚攏，山谷就顯得昏

22、暗了，朝則自暗而明，暮則自明而暗，或暗或明，變化不一，這是山間早晚的景色。野花開放，有一 股清幽的香味，好的樹木枝葉繁茂，形成濃郁的綠蔭。天高氣爽，霜色潔白，泉水淺了，石底露出水面，這是山中四季的景色。意譯法：太陽升起，山林里霧氣開始消散，煙云聚攏，山谷又開始顯得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明變化的，就是山中的朝暮。春天野花綻開并散發(fā)出陣陣幽香，夏日佳樹繁茂并形成一片濃蔭，秋天風(fēng)高氣爽，霜色潔白，冬 日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教學(xué)提示】翻譯有直譯與意譯兩種方式，直譯鍛煉學(xué)生用語的準(zhǔn)確性，但可能會降低譯文的美感；意譯可加強(qiáng)譯文的美感，培養(yǎng)學(xué)生的翻譯興趣，但可能會降低

23、譯文的準(zhǔn)確性。因此，需兩種翻譯方式都做必要引導(dǎo)。全文直譯內(nèi)容見我的積累本。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)四：解讀文段，把握文本內(nèi)容1賞析第一段，說說本文是如何引 出“醉翁亭”的位置的，作者在此運(yùn)用了怎樣的藝術(shù)手法。 明確：首先以“環(huán)滁皆山也”五字領(lǐng)起，將滁州的地理環(huán)境一筆勾出，點(diǎn)出醉翁亭坐落在群山之中，并縱觀滁州全貌，鳥瞰群山環(huán)抱之景。接著作者將“鏡頭”全景移向局部，先寫“西南諸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南諸峰之中，視野集中到最佳處。再寫瑯琊山“蔚然而深秀”，點(diǎn)山“秀”，照應(yīng)上文的“美”。又寫釀泉，其名字透出了泉與酒的 關(guān)系，好泉釀好酒，好酒叫人醉?！白砦掏ぁ钡拿直惆抵型赋?，然后引出“醉翁亭”來

24、。作者利用空間變幻的手法，移步換景，由遠(yuǎn)及近，為我們描繪了一幅幅山水特寫。2 第二段主要寫了什么？它和第一段有什么聯(lián)系？明確：第二段利用時間推移，抓住朝暮及四季特點(diǎn)，描繪了對比鮮明的晦明變化圖及四季風(fēng)光圖，寫出了其中的“樂亦無窮”。第二段是第一段 “山水之樂”的具體化。3 第三段同樣是寫“樂”，但卻是寫的游人之樂，作者是如何寫游人之樂的？明確：“滁人游”，前呼后應(yīng)，扶老攜幼，自由自在，熱鬧非凡；“太守宴”，溪深魚肥，泉香酒洌，美味佳肴，應(yīng)有盡有；“眾賓歡”，投壺下棋，觥籌交錯，說說笑笑，無拘無束。如此勾畫了游人之樂。4作者為什么要在第三段寫游人之樂？明確：寫滁人之游， 描繪出一幅太平祥和的百姓

25、游樂圖。游樂場景映在太守的眼里，便多了一層政治清明的意味。太守在游人之樂中酒酣而醉，此醉是為山水之樂而醉，更是為能與百姓同樂而醉。體現(xiàn)太守與百姓關(guān)系融洽，“政通人和”才能有這樣的樂。5第四段主要寫了什么？明確：寫宴會散、眾人歸的情景。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)五：深入解讀，把握作者思想感情思考探究：作者以一個“樂”字 貫穿全篇，卻有兩個句子別出深意，不單單是在寫樂，而是另有所指，表達(dá)出另外一種情緒，請你找出這兩個句子，說說這種情緒是什么。明確：醉翁之意不在酒，在乎山水之間也。醉能同其樂，醒能述以文者，太守也。這種情緒是作者遭貶謫后的抑郁，作者并未在文中袒露胸懷，只含蓄地說：“醉能同其樂，醒能述以文者，太守也?！贝司渑c醉翁亭的名稱、“醉翁之 意不在酒，在乎山水之間也”前后呼應(yīng)，并與“滁人游”“太守宴”“眾賓歡”“太守醉”連成一條抒情的線索，曲折地表達(dá)了作者內(nèi)心復(fù)雜的思想感情。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)六：賞析文本，感受文本藝術(shù)特色1在把握作者復(fù)雜感情的基礎(chǔ)上朗讀文本。2反復(fù)朗讀，請同學(xué)說說本文讀來有哪些特點(diǎn)，為什么會有這些特點(diǎn)。(1)句法上大量運(yùn)用駢偶句，并夾有散