2015屆高三數(shù)學北師大版（通用理）總復習講義第八章

1、8.4垂直關系1 直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面(2)直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線垂直于同一個平面的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩平面平行2 二面角的有關概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角3 平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的

2、判定方法定義法利用判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直(2)平面與平面垂直的性質(zhì)兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面1 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)若直線a平面，直線b，則直線a與b垂直()(3)異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為(0，()(4)直線a，b，則ab.()(5)若，aa.()(6)a，a.()2 (2013廣東)設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A若，m，n，則mn B若，m，n，則mnC若mn，m，n，則 D若m，m

3、n，n，則答案D解析A中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中m與n可平行、可異面；C中若，仍然滿足mn，m，n，故C錯誤；故D正確3 設a，b，c是三條不同的直線，是兩個不同的平面，則ab的一個充分條件是()Aac，bc B，a，bCa，b Da，b答案C解析對于選項C，在平面內(nèi)作cb，因為a，所以ac，故ab；A，B選項中，直線a，b可能是平行直線，也可能是異面直線；D選項中一定有ab.4 將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關系是()A相交且垂直 B相交但不垂直C異面且垂直 D異面但不垂直答案C解析在

4、題圖1中的等腰直角三角形ABC中，斜邊上的中線AD就是斜邊上的高，則ADBC，翻折后如題圖2，AD與BC變成異面直線，而原線段BC變成兩條線段BD、CD，這兩條線段與AD垂直，即ADBD，ADCD，故AD平面BCD，所以ADBC.5 設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有下列四個命題：若m，則m；若，m，則m；若n，n，m，則m；若m，m，則.其中正確命題的序號是_答案解析根據(jù)題意若m，則mP或m，故錯誤；若，m，則m，故正確；若n，n，則，又m，所以m，故正確；若m，m，則或l，故不正確.題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，

5、ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.思維啟迪第(1)問通過DC平面PAC證明；也可通過AE平面PCD得到結(jié)論；第(2)問利用線面垂直的判定定理證明直線PD與平面ABE內(nèi)的兩條相交直線垂直證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點，AEPC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平

6、面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.思維升華(1)證明直線和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì)(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想(3)線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直如圖，在ABC中，ABC90，D是AC的中點，S是ABC所在平面外一點，且SASBSC.(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC，求證：BD平面SAC.證明(1)因為SASC，D是AC的中點，所以SDAC.在RtABC中，ADB

7、D，又SASB，SDSD，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因為ABBC，D為AC的中點，所以BDAC.由(1)知SDBD，又SDACD，所以BD平面SAC.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(2013北京)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分別是CD、PC的中點求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.思維啟迪(1)平面PAD底面ABCD，可由面面垂直的性質(zhì)證PA底面ABCD；(2)由BEAD可得線面平行；(3)證明直線CD平面BEF.證明(1)平面

8、PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E為CD的中點，ABDE，且ABDE.四邊形ABED為平行四邊形BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，且四邊形ABED為平行四邊形BECD，ADCD.由(1)知PA平面ABCD，則PACD，CD平面PAD，從而CDPD，又E、F分別為CD、CP的中點，EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EFBEE，CD平面BEF.平面BEF平面PCD.思維升華(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直時

9、，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直(2012江西)如圖所示，在梯形ABCD中，ABCD，E、F是線段AB上的兩點，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.現(xiàn)將ADE，CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點重合于點G，得到多面體CDEFG.(1)求證：平面DEG平面CFG；(2)求多面體CDEFG的體積(1)證明因為DEEF，CFEF，所以四邊形CDEF為矩形由GD5，DE4，得GE3.由GC4，CF4，得FG4，所以EF5.在EFG中，有EF2GE2FG2，所以EGGF.又因為CFEF，CFFG，所以CF平面EFG.所

10、以CFEG，所以EG平面CFG.又EG平面DEG，所以平面DEG平面CFG.(2)解如圖，在平面EGF中，過點G作GHEF于點H，則GH.因為平面CDEF平面EFG，所以GH平面CDEF，所以V多面體CDEFGS矩形CDEFGH16.題型三直線、平面垂直的綜合應用例3如圖所示，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)設M是PC上的一點，求證：平面MBD平面PAD；(2)求四棱錐PABCD的體積思維啟迪(1)因為兩平面垂直與M點位置無關，所以在平面MBD內(nèi)一定有一條直線垂直于平面PAD，考慮證明BD平面PAD.(2)四棱錐

11、底面為一梯形，高為P到面ABCD的距離(1)證明在ABD中，AD4，BD8，AB4，AD2BD2AB2.ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.(2)解過P作POAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，即PO為四棱錐PABCD的高又PAD是邊長為4的等邊三角形，PO2.在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC，四邊形ABCD為梯形在RtADB中，斜邊AB邊上的高為，此即為梯形的高S四邊形ABCD24.VPABCD24216.思維升華垂直關系綜合題的類型及解法(1)三種垂直的綜合問題，一

12、般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化(2)垂直與平行結(jié)合問題，求解時應注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應用(3)垂直與體積結(jié)合問題，在求體積時，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進而求得體積(2013江西)如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E為CD上一點，DE1，EC3.(1)證明：BE平面BB1C1C；(2)求點B1到平面EA1C1的距離(1)證明過B作CD的垂線交CD于F，則BFAD，EFABDE1，F(xiàn)C2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因為BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB

13、1，所以BE平面BB1C1C.(2)解三棱錐EA1B1C1的體積VAA1SA1B1C1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2.故SA1C1E3.設點B1到平面A1C1E的距離為d，則三棱錐B1A1C1E的體積VdSA1C1Ed，從而d，d.題型四線面角、二面角的求法例4如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(1)求PB和平面PAD所成的角的大?。?2)證明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值思維啟迪(1)先找出PB和平面PAD所成的角，線面角的定義要能靈活運用；(2)可以利用線面垂直根據(jù)二面角

14、的定義作角(1)解在四棱錐PABCD中，因為PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，從而AB平面PAD，故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA，從而APB為PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小為45.(2)證明在四棱錐PABCD中，因為PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由條件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點，AEPC.又PCCDC，綜上得AE平面PCD.(3)解過點E作EMPD，垂足為M，連接AM，如圖所

15、示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則可證得AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.設ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，則AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值為.思維升華求線面角、二面角的常用方法(1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來度量平面角的作法常見的有定義法；垂面法注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì)(2012浙江)如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊

16、長為2的菱形，BAD120，且PA平面ABCD，PA2，M，N分別為PB，PD的中點(1)證明：MN平面ABCD；(2)過點A作AQPC，垂足為點Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值(1)證明連接BD，因為M，N分別是PB，PD的中點，所以MN是PBD的中位線，所以MNBD.又因為MN平面ABCD，BD平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)解如圖所示，在菱形ABCD中，BAD120，得ACABBCCDDA，BDAB.又因為PA平面ABCD，所以PAAB，PAAC，PAAD.所以PBPCPD.所以PBCPDC.而M，N分別是PB，PD的中點，所以MQNQ，且AMPBPDAN.取線段MN的中點

17、E，連接AE，EQ，則AEMN，QEMN，所以AEQ為二面角AMNQ的平面角由AB2，PA2，故在AMN中，AMAN3，MNBD3，得AE.在RtPAC中，AQPC，得AQ2，QC2，PQ4.在PBC中，cosBPC，得MQ.在等腰MQN中，MQNQ，MN3，得QE.在AEQ中，AE，QE，AQ2，得cosAEQ.所以二面角AMNQ的平面角的余弦值為.立體幾何證明問題中的轉(zhuǎn)化思想典例：(12分)如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點求證：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.思維啟迪(1)要證線面平行，需證線線平行(2)要證面

18、面垂直，需證線面垂直，要證線面垂直，需證線線垂直規(guī)范解答證明(1)如圖所示，連接NK.在正方體ABCDA1B1C1D1中，四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.2分N，K分別為CD，C1D1的中點，DND1K，DND1K，四邊形DD1KN為平行四邊形3分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四邊形AA1KN為平行四邊形ANA1K.4分A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.6分(2)如圖所示，連接BC1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分別為AB，C1D1的中點，BMC

19、1K，BMC1K.四邊形BC1KM為平行四邊形MKBC1.8分在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四邊形BB1C1C為正方形，BC1B1C.10分MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1B1C平面A1MK.12分溫馨提醒(1)線面平行、垂直關系的證明問題的指導思想是線線、線面、面面關系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；(2)線線關系是線面關系、面面關系的基礎證題中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行

20、時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；(3)證明過程一定要嚴謹，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規(guī)范方法與技巧1 證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性質(zhì)：，aa；(5)面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala.2 證明線線垂直的方法(1)定義：兩條直線所成的角為90；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質(zhì)：a，bab；(4)線面垂直的性質(zhì)：a，bab.3 證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.4

21、轉(zhuǎn)化思想：垂直關系的轉(zhuǎn)化在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決失誤與防范1 在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化2 面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1 已知m是平面的一條斜線，點A，l為過點A的一條動直線，那么下列情形可能出現(xiàn)的是()Alm，l Blm，lClm，l Dlm，l答案C解析設m在平面內(nèi)的

22、射影為n，當ln且與無公共點時，lm，l.2 如圖，已知ABC為直角三角形，其中ACB90，M為AB的中點，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPBPCBPAPBPCCPAPBPCDPAPBPC答案C解析M為AB的中點，ACB為直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.3 在空間內(nèi)，設l，m，n是三條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中為假命題的是()A，l，則lBl，l，m，則lmCl，m，n，若lm，則lnD，則或答案D解析對于A，如果兩個相交平面均垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面，該命題是真命題；對于B，如果一條

23、直線平行于兩個相交平面，那么該直線平行于它們的交線，該命題是真命題；對于C，如果三個平面兩兩相交，有三條交線，那么這三條交線交于一點或相互平行，該命題是真命題；對于D，當兩個平面同時垂直于第三個平面時，這兩個平面可能不垂直也不平行，D是假命題綜上所述，選D.4 正方體ABCDABCD中，E為AC的中點，則直線CE垂直于()AAC BBD CAD DAA答案B解析連接BD，BDAC，BDCC，且ACCCC，BD平面CCE.而CE平面CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.5 如圖所示，直線PA垂直于O所在的平面，ABC內(nèi)接于O，且AB為O的直徑，點M為線段PB的中點現(xiàn)有結(jié)論：BCPC；OM平面A

24、PC；點B到平面PAC的距離等于線段BC的長，其中正確的是()ABCD答案B解析對于，PA平面ABC，PABC，AB為O的直徑，BCAC，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC；對于，點M為線段PB的中點，OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC；對于，由知BC平面PAC，線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故都正確二、填空題6 已知P為ABC所在平面外一點，且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正確的個數(shù)是_答案3解析如圖所示PAPC、PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC、PCAB.但AB不一定垂

25、直于BC.7 在正三棱錐PABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中正確論斷的序號為_答案解析如圖，PABC為正三棱錐，PBAC；又DEAC，DE平面PDE，AC平面PDE，AC平面PDE.故正確8 正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為_答案解析畫出圖形，如圖，BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角，在三棱錐DACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點D在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的垂心即中心H，連接D1H，DH，則DD1H為DD1與平面ACD1所成的角，設正方體的棱長為a

26、，則cosDD1H.三、解答題9 在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，AD2，AB3，BCBE7，DCE是邊長為6的正三角形(1)求證：平面DEC平面BDE；(2)求點A到平面BDE的距離(1)證明因為四邊形ABCD為直角梯形，ADBC，ABBC，AD2，AB3，所以BD，又因為BC7，CD6，所以根據(jù)勾股定理可得BDCD，因為BE7，DE6，同理可得BDDE.因為DECDD，DE平面DEC，CD平面DEC，所以BD平面DEC.因為BD平面BDE，所以平面DEC平面BDE.(2)解如圖，取CD的中點O，連接OE，因為DCE是邊長為6的正三角形，所以EOCD，EO

27、3，易知EO平面ABCD，則VEABD2333，又因為直角三角形BDE的面積為63，設點A到平面BDE的距離為h，則由VEABDVABDE，得3h3，所以h，所以點A到平面BDE的距離為.10(2012江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直線A1F平面ADE.證明(1)因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因為ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.

28、又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因為A1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1FB1C1.因為CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因為CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.B組專項能力提升(時間：30分鐘)1 已知平面與平面相交，直線m，則()A內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直C內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直D內(nèi)

29、必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直答案C解析如圖，在平面內(nèi)的直線若與，的交線a平行，則有m與之垂直但卻不一定在內(nèi)有與m平行的直線，只有當時才存在2 (2012江蘇)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，則四棱錐ABB1D1D的體積為_ cm3.答案6解析連接AC交BD于O，在長方體中，ABAD3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO為四棱錐ABB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBDBB1326，VABB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3)3 如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論中：PBAE；平面ABC平面PBC；直線BC平面PAE；PDA45.其中正確的有_(