2022版新教材高考數(shù)學一輪復習第九章9.1兩個基本計數(shù)原理排列與組合課件新人教B版

1、9.19.1兩個基本計數(shù)原理、排列與組合兩個基本計數(shù)原理、排列與組合第九章第九章 2022 內(nèi) 容 索 引 必備知識必備知識 預案自診預案自診 關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學案突破學案突破 素養(yǎng)提升微素養(yǎng)提升微專題專題1111 幾種特定的排列組合問題解法幾種特定的排列組合問題解法 必備知識必備知識 預案自診預案自診 【知識梳理知識梳理】 1.兩個基本計數(shù)原理 名稱 分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理 條件 完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類 辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法 中有m2種不同的方法第n類辦法中 有mn種不同的方法 完成一件事,如果需要分成n個步驟, 且:做第一步有m1種不同的方法,做

2、 第二步有m2種不同的方法做第 n步有mn種不同的方法 結(jié)論 完成這件事共有N= 種 不同的方法 完成這件事共有 N= 種不同的方 法 依據(jù) 能否獨立完成整件事能否逐步完成整件事 m1+m2+mn m1m2mn 2.兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系 名稱分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理 相同點都是用來計算完成一件事的不同方法種類的計數(shù)方法 不同點 針對“分類”問題,各種方法相互 獨立,每一類辦法中的每一種方 法都可以完成這件事 針對“分步”問題,各個步驟中的 方法互相依存,只有每一個步驟 都完成才算做完這件事 分類完成,類類相加分步完成,步步相乘 注意點類類獨立,不重不漏步步相依,步驟完整 3.排列與

3、組合的概念 名稱定義說明 排列一般地,從n個 不同對象中,任 取m(mn)個 對象 按照排 成一列 時的排列(即 的排列)稱 為全排列組合 一定的順序 m=n 取出所有對象 并成一組 4.排列數(shù)及排列數(shù)公式 所有排列 n(n-1)(n-2)(n-m+1) n(n-1)(n-2)21n! 11 5.組合數(shù)及組合數(shù)公式 常用結(jié)論 【考點自診考點自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)在分步乘法計數(shù)原理中,事情是分兩步完成的,其中任何一個單獨的步 驟都能完成這件事.() (2)從1,2,3,4中任選兩個元素,就組成一個排列.() (3)兩個組合相同的充要條件是組成組合的

4、元素完全相同.() (4)從甲、乙、丙三名同學中選出兩名去參加某兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查,有多 少種不同的選法是組合問題.() 答案 B 3.3個班分別從5個景點中選擇一處游覽,不同的選法種數(shù)為() A.243B.125 C.128 D.264 答案 B 解析 因為第1個班有5種選法,第2個班有5種選法,第3個班有5種選法, 所以由分步乘法計數(shù)原理可得,不同的選法有555=125(種). 4.2020年4月30日,我國的5G信號首次覆蓋了海拔8000米的珠穆朗瑪峰峰頂 和北坡登山路線,為了保證中國登山隊珠峰高程測量的順利直播,現(xiàn)從海拔5 300米、5800米和6500米的三個大本營中抽出了4名技術(shù)人

5、員,派往北坡登山 路線中的3個崎嶇路段進行信號檢測,每個路段至少安排1名技術(shù)人員,則不同 的安排方法共有() A.72種B.36種C.48種D.54種 答案 B 解析 因為將4名技術(shù)人員,派往北坡登山路線中的3個崎嶇路段進行信號檢測, 每個路段至少安排1名技術(shù)人員,所以先從這4人中選出2人作為一個整體,再 把它同另外兩人在三個位置全排列,則共有=36(種)不同的安排方法. 5.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取 法的種數(shù)是. 答案 6 解析從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中,任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類:第1類,取出 的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種方法;第2

6、類,取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種方法. 故由分類加法計數(shù)原理,不同的取法種數(shù)為N=3+3=6. 關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學案突破學案突破 考點考點1 1兩個計數(shù)原理的綜合應用兩個計數(shù)原理的綜合應用 【例1】 用0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字可以組成個無重復數(shù)字的四位偶 數(shù). 答案 420 解析 要完成的“一件事”為“組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)”,所以千位數(shù)字不 能為0,個位數(shù)字必須是偶數(shù),且組成的四位數(shù)中四個數(shù)字不重復,因此應先 分類,再分步. (方法1)第1類,當千位數(shù)字為奇數(shù)時,即取1,3,5中的任意一個時,個位數(shù)字可 取0,2,4,6中的任意一個,百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復的數(shù)字,十位

7、數(shù) 字不能取與這三個數(shù)字重復的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,有 3454=240(個)數(shù).第2類,當千位數(shù)字為偶數(shù)且不為0時,即取2,4,6中的 任意一個時,個位數(shù)字可以取除首位數(shù)字外的任意一個偶數(shù)數(shù)字,百位數(shù)字 不能取與這兩個數(shù)字重復的數(shù)字,十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復的數(shù) 字.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,有3354=180(個)數(shù).根據(jù)分類加法計數(shù)原 理,共可以組成240+180=420(個)無重復數(shù)字的四位偶數(shù). (方法2排除法)先定個位數(shù)有4種取法,再定另外3位數(shù)有=120(種)取法, 共有480種.其中0作千位,其余數(shù)作個位不合題意,有3=60(種)取法.故 應有480-60=420(種)

8、取法.故共可以組成420個無重復數(shù)字的四位偶數(shù). 解題心得解決較為復雜的計數(shù)問題,一般要將兩個計數(shù)原理綜合應用.使用 時要做到合理分類,準確分步:處理計數(shù)問題,應緊扣兩個原理,根據(jù)具體問 題首先弄清楚是“分類”還是“分步”,要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標 準. 分類時需要滿足兩個條件:類與類之間要互斥(保證不重復);總數(shù)要完 備(保證不遺漏),也就是要確定一個合理的分類標準.分步時應按事件發(fā)生 的連貫過程進行分析,必須做到步與步之間互相獨立,互不干擾,并確保連 續(xù)性. 對點訓練1如圖,一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域,現(xiàn)給該地區(qū)的地圖著色,要求 相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,

9、則不同的著色方法 共有種. 答案 72 解析 (方法1)由題圖可知,2區(qū)與4區(qū)不相鄰,3區(qū)與5區(qū)不相鄰,且不相鄰的區(qū) 域可用同1種顏色涂色,所以最少可用3種顏色,故可根據(jù)選用顏色的種數(shù)進 行分類. 第1類,使用3種顏色,則2區(qū)與4區(qū)同色,3區(qū)與5區(qū)同色,可分三步進行涂色:第 1步,涂2區(qū)與4區(qū),有4種顏色可選;第2步,涂3區(qū)與5區(qū),有3種顏色可選(除涂2 區(qū)、4區(qū)的顏色);第3步,涂1區(qū),有2種顏色可選(除前2步所選的顏色).由分步 乘法計數(shù)原理知,該類涂色方法共有432=24(種). 第2類,使用4種顏色,2區(qū)與4區(qū)同色,3區(qū)與5區(qū)不同色,可分4步進行涂色:第1步,涂2 區(qū)與4區(qū),有4種顏色

10、可選;第2步,涂1區(qū),有3種顏色可選;第3步,涂3區(qū),有2種顏色可 選;第4步,涂5區(qū),有1種顏色可選.由分步乘法計數(shù)原理可知,該類涂色方法共有 4321=24(種). 第3類,使用4種顏色,3區(qū)與5區(qū)同色,2區(qū)與4區(qū)不同色,同理可得該類涂色方法共有 24種.綜上,由分類加法計數(shù)原理可知,不同的涂色方法共有24+24+24=72(種). (方法2)因為1區(qū)與其他4個區(qū)都相鄰,首先考慮1區(qū),有4種涂法.若2區(qū)與4區(qū)同色, 有3種涂色,此時3區(qū)與5區(qū)均有2種涂法,涂法種數(shù)為4322=48;若2區(qū)與4區(qū) 不同色,先涂2區(qū),有3種方法,再涂4區(qū),有2種方法,此時3區(qū)與5區(qū)都只有1種涂法,涂 法種數(shù)為4

11、3211=24.因此,滿足條件的涂色方法共有48+24=72(種). 考點考點2 2排列數(shù)、組合數(shù)公式的應用排列數(shù)、組合數(shù)公式的應用 解題心得1.排列數(shù)和組合數(shù)公式要注意mN*,nN*,且nm,由此確定m,n 的范圍,求解后要驗證所得結(jié)果是否符合題意. 2.解排列數(shù)(組合數(shù))不等式(方程)時,應先利用計算公式將排列數(shù)(組合數(shù)) 的形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)代數(shù)不等式(方程)的形式,然后求解. 解 (1)由排列數(shù)和組合數(shù)公式,原方程可化為 即(x-3)(x-6)=40,整理得x2-9x-22=0,解得x=11或x=-2.經(jīng)檢驗知x=11是原方 程的根,x=-2是原方程的增根.方程的根為x=11. (2)原不

12、等式可化為(n-2)(n-3)2-n,整理得n2-4n+40,即(n-2)20,解得 n2.n-22, n4,原不等式的解集為n|n4,nN*. 考點考點3 3簡單的排列應用題簡單的排列應用題 考向1在與不在問題特殊元素(或位置)優(yōu)先法 【例3】 6人站成一排,其中甲不能站在排頭,乙不能站在排尾的不同排法 共有種. 答案504 解題心得解此類問題常用“元素分析法”“位置分析法”.元素分析法即 以元素為主,優(yōu)先考慮特殊元素的要求,再考慮其他元素;位置分析法 即以位置為主,優(yōu)先考慮特殊位置的要求,再考慮其他位置. 變式發(fā)散6人站成一排,則甲既不站排頭又不站排尾的站法有 種. 答案480 對點訓練3

13、 6個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排 甲,則不同的排法共有() A.192種B.216種 C.240種D.288種 答案 B 考向2相鄰問題捆綁法 【例4】 3名男生、3名女生排成一排,男生必須相鄰,女生也必須相鄰的排 法種數(shù)為() A.2B.9C.72D.36 答案 C 解題心得在實際排列問題中,某些元素要求必須相鄰時,可以先將這些元素 看成一個整體,與其他元素排列后,再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序,這種方法 稱為“捆綁法”. 對點訓練4某小區(qū)有排成一排的7個車位,現(xiàn)有3輛不同型號的車需要停放, 如果要求剩余的4個車位連在一起,那么不同的停放方法的種數(shù)為() A.16B.18

14、C.24D.32 答案 C 解析 將4個車位捆綁在一起,看成一個元素,先排3輛不同型號的車,在3個 車位上任意排列,有=6(種)方法,再將捆綁在一起的4個車位插入4個空 位中,有4種方法,故共有46=24(種)方法. 考向3不相鄰問題插空法 【例5】 某校高三要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目,2個舞蹈節(jié)目和1個曲 藝節(jié)目的演出順序,要求2個舞蹈節(jié)目不連排,則不同排法的種數(shù)是() A.1800B.3600C.4320D.5040 答案 B 解題心得某些元素要求不相鄰時,可以先安排其他元素,再將這些不相鄰元 素插入已排好的元素的空隙或兩端位置,這種方法稱為“插空法”. 對點訓練5某次聯(lián)歡會要安排3個歌

15、舞類節(jié)目,2個小品類節(jié)目和1個相聲類 節(jié)目的演出順序,同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是() A.72B.120 C.144D.168 答案 B 考向4定序問題等幾率法 【例6】 有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,將7名學生排成 一行,要求從左到右,女生從矮到高排列(不一定相鄰),不同的排法共有 種. 答案 840 對點訓練6 7個人排成一隊參觀某項目,其中A,B,C三人進入展廳的次序必 須是先B再A后C,則不同的列隊方式種數(shù)為() A.120B.240 C.420D.840 答案 D 考點考點4 4簡單的組合應用題簡單的組合應用題 【例7】 某市工商局對35種商品進行抽樣檢查,已知其中

16、有15種不合格商 品.現(xiàn)從35種商品中選取3種. (1)其中某一種不合格商品必須在內(nèi),不同的取法有多少種? (2)其中某一種不合格商品不能在內(nèi),不同的取法有多少種? (3)恰有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種? (4)至少有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種? (5)至多有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種? 解題心得組合問題的兩類題型及求解方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由 另外的元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取. (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至 少”與“至

17、多”這兩個關(guān)鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用直接法和間接法都 可以求解,通常用直接法分類復雜時,考慮逆向思維,用間接法處理. 對點訓練7男運動員6名,女運動員4名,其中男、女隊長各1名.現(xiàn)選派5人外 出參加比賽,在下列情形中各有多少種選派方法? (1)男運動員3名,女運動員2名; (2)至少有1名女運動員; (3)隊長中至少有1人參加; (4)既要有隊長,又要有女運動員. 考點考點5 5分組與分配問題分組與分配問題 【例8】 按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方法? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)

18、平均分成三份,每份2本; (4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本. 解題心得分組、分配問題的一般解題思路是先分組再分配. (1)分組問題屬于“組合”問題. 對于整體均分,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以組 數(shù)的階乘; 對于部分均分,即若有m組元素個數(shù)相同,則分組時應除以m!; 對于不等分組,只需先分組,后排列. (2)分配問題屬于“排列”問題. 相同元素的“分配”問題,常用的方法是采用“隔板法”; 不同元素的“分配”問題,利用分步乘法計數(shù)原理,分兩步完成,第一步是分組

19、,第 二步是發(fā)放; 限制條件的分配問題常采用分類法求解. 對點訓練8(1)某科研單位準備把7名大學生分配到編號為1,2,3的三個實驗 室實習,若要求每個實驗室分配到的大學生人數(shù)不少于該實驗室的編號,則 不同的分配方案的種數(shù)為() A.280B.455C.355 D.350 (2)學校將5位同學分別推薦到北京大學、上海交通大學、浙江大學三所 大學參加自主招生考試,則每所大學至少推薦一人的不同推薦方法種數(shù)為( ) A.240B.180C.150 D.540 答案 (1)B(2)C 素養(yǎng)提升微專題素養(yǎng)提升微專題9 9 幾種特定的排列組合問題解法幾種特定的排列組合問題解法 類型一圓形排列問題 【例1】

20、 小明及朋友小張去參加一個聚會,8個人圍著圓桌隨機坐下,每個 人坐在任何一個位置的概率相等.在這種情況下小明同其朋友小張坐在一 起所有可能情況有種. 答案1440 解析小明及其朋友小張坐在一起時總的坐法可以這樣考慮,第一步:將除去 小明及其朋友小張外6個人排好,有(6-1)!種坐法;第二步,把小明及其朋友小 張作為一個整體插到6個人形成的空隙中,6個人圍在一起時,會形成6個空 隙,故有6種情況;第三步,小明及其朋友小張內(nèi)部可以全排列. 由分步乘法計數(shù)原理,小明及其朋友坐在一起的坐法有 (6-1)!6=1440(種). 解題心得n個不同的事物圍成一個圓時總的圍成方法有(n-1)!種.解決圓形 排

21、列問題時最關(guān)鍵的就是插空思想,即將某個部分插入另外幾個部分形成 的空隙中. 類型二“隔板法”解一類分組與分配問題 【例2】 將組成籃球隊的10個名額分配給7所學校,每校至少1名,問名額的 分配方式共有多少種? 解題指導“名額”是不加區(qū)分的,相當于將10個相同的元素分配到7個不同 的單位,每個單位至少一個,求分配的種數(shù),因此可考慮分類(不均勻分配)處 理或用“隔板法”. 【例3】 求方程x1+x2+x3+x4=10的正整數(shù)解的組數(shù). 解將10個完全相同的球排成一列,在它們之間形成的9個空中任選3個插入3塊隔 板,把球分為四組(如圖). x1x2x3x4 每一種分法所得球的數(shù)目依次為x1,x2,x3,x4.顯然x1+x2+x3+x4=10,故(x1,x2,x3,x4)是 方程的一組解. 反之,方程的任何一組解(y1,y2,y3,y4),對應著唯一的一種在10個球之間插入隔板的 方式(如圖). y1y2y3y4 故方程的正整數(shù)解和插入隔板的方法一一對應,即方程的正整數(shù)解的組數(shù)等于 插隔板的方法數(shù),即84組. 解題心得“隔板法”是解決相同元素的分配問題與不定方程整數(shù)解的組數(shù)問題的 常用方法. (1)凡“相同小球