第4節(jié)實(shí)數(shù)的完備性Cauchy收斂定理

1、4 實(shí)數(shù)的完備性： Cauchy收斂定 理 一、柯西基本列 定義5.1 , n x對給定數(shù)列,N , 0 * ?N?如 s.t時(shí)，且當(dāng)Nnmnm? , N , * 都有 ，? nm xx. 為基本列則稱 n x , ,N , 0 * 時(shí)當(dāng)NnN? .? ?npn xx 有對一切 ,N * ?p 或敘述為 例1. 證明： . 1 2 1 1 22 是基本列求證 n a n ? 22 )( 1 )1( 1 0 pnn aa npn ? ? ? ? ? ?由 )(1( 1 )2)(1( 1 )1( 1 pnpnnnnn? ? ? ? ? ? ) 1 1 1 () 2 1 1 1 () 1 11 (

2、pnpnnnnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? npnn 111 ? ? ? ,N, * ?pNn則對. ? ?npn aa即有 1 1 , 0，取所以對? ? ? ? ? ? ? ? ? ?N 例2. 時(shí)，證明當(dāng)1? . , 1 2 1 1 1 不是基本列 ? n a n ? 證明： ? )( 1 )2( 1 )1( 1 pnnn aa npn ? ? ? ? ? ? ? ? pn p pnn? ? ? ? ? ? 1 1 1 ? , , ,N, 2 1 000 * 0 npNnN?對? . 2 1 0 000 ? ?npn aa使 所以不是基本列 二、列緊性定理 定理5.1 任意有

3、界數(shù)列中必可造出收斂子列 . 證明： （二分法：） ?bxax nn ?滿足設(shè) ? ?, , 11 baxn的無窮多項(xiàng)子區(qū)間為選包含 , , 2 1111 1 bax ab ab n ? ? ?取 ,二等分將區(qū)間ba , 11 ba繼續(xù)等分 ? ?, 22 baxn的無窮多項(xiàng)的子區(qū)間為記包含 ., , 4 2222 2 bax ab ab n ? ? ?取則 ? ? ?, 11kknkk baxba的無窮多項(xiàng)子區(qū)間為記包含二等分 ? ., , 0 2 kknkkk bax ab ab k ? ? ?取 ?, 2 , 1, kknnn baxnba k ?構(gòu)成閉區(qū)間套，且? 由閉區(qū)間套定理和夾逼

4、定理： .limlimlimcbxa k k n k k k k ? ? a b 三、柯西收斂準(zhǔn)則 定理5.2： . 是基本列收斂 nn aa? 證明： )(必要性 ?,aa n 收斂于設(shè) . 2 , ,N , 0 * ? ?aaNnN n 有 則對 , 時(shí)當(dāng)Nnm? nmnm aaaaaa? aaaa nm ? . 22 ? ? ?. 是基本列 n a? （充分性）?,是基本列設(shè) n a , ,N, 1 * 0 時(shí)取NnN? , 1 01 ? ? ? Nn aa 11? ? NNnn aaaa 11? ? NNn aaa 1 1 ? ? N a ?,1 ,max 121? ? NN aaaa

5、M?取 .,Man n ?有則對 有界）先證（1 n a )2(. , n in aa存在收斂子列由列緊性定理知 ,limaa n i n ? ? 設(shè) ,N, 0 * 1 ?N?則, 1時(shí) 當(dāng)Nin? , 2 ? ? ? a a n i ,N, * 時(shí)是基本列由NnmNa n ? , 2 ? ? nm aa ?，則取一個(gè)NNik,max 1 ? aaaaaa kk iinn ?aaaa kk iin ?.? .limaa n n ? ? 由例1： . 1 3 1 2 1 1 222 收斂 n a n ? 由例2： .1 1 3 1 2 1 1發(fā)散當(dāng)? ? n a n ? 注：Cauchy收斂準(zhǔn)

6、則是判斷數(shù)列收斂的重要方法 例3：若數(shù)列滿足下面情況，判斷是否收斂 .|,)1( n p aapn npn ? ? 有對 .|,)2( 2 n p aapn npn ? ? 有對 解： (1) (1)不一定，例如例2 2中 | )2( 11nnpnpnnpn aaaaaa? ? ? ., 1 2 1 1,1發(fā)散時(shí)當(dāng) ? ? n a n ? 22 1 )1( 1 npn ? ? ? )1( 1 )2)(1( 1 ? ? ? ? nnpnpn ? )1( 1 ? ? n , 1 1 , 0 pNnN? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .|? ?npn aa | 211? ? pnpnpnpnn

7、pn aaaaaa | 1nn aa? ? ? 22 1 )1( 1 npn ? ? ? )1( 1 )2)(1( 1 ? ? ? ? nnpnpn ? 1 1 )1( 1 )1( 1 ? ? ? ? ? ? npnn (2)結(jié)論成立，證明如下 時(shí)，當(dāng)因此NnN? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 1 1 0, ? ? ，有對 * N p? ? .|? ? ?npn xx 定義6.1： （1） ?xEx, （2） ? ? ?yEy，使, 0 EEinf的下確界，記為為稱? 設(shè)是非空有下界集合， 滿足若? ? 四、確界的定義 定義6.26.2： （1）

8、 ?xEx, （2） ? ? ?yEy，使, 0 EEsup的下確界，記為為稱? 設(shè)是非空有上界集合是非空有上界集合， 滿足若? ? 五、確界原理 定理1: 非空有上界的數(shù)集必有上確界; 非空有下界的數(shù)集必有下確界. 證明： , 的一個(gè)上界是設(shè)E? ,E x? 任取. , 11 bax記為將? , 11 二等分將ba ? ? ? ., , 22 22 baE baE 取左區(qū)間為中點(diǎn)右邊區(qū)間沒有 ；取為中點(diǎn)右邊區(qū)間有 ,N, * ?nbaI nnn 得閉區(qū)間套重復(fù)進(jìn)行 , 321 ?III. 0 2 | 1 ? ? ? ?n n x I ? 此區(qū)間套特點(diǎn)： .,中點(diǎn)右邊無中點(diǎn)中必含有每個(gè)EbEb

9、a nnn 由區(qū)間套定理， .limlim ,| 1 n n n n n n baI ? ? ? ?其中 ? . , n bxEx?必有.lim? ? n n bx . ,N, 0 * ?N? ,? N a使,根據(jù)區(qū)間特點(diǎn) , NNN xEba中點(diǎn)中必有在 使得.? NN ax.sup E?所以 Esup ? ?下證 ? ? n n alim由于 上界 單調(diào)有界原理確界原理 ? 證明： ? ? 有上界，單調(diào)增設(shè) , n a , 0 ?aaa NN 使且 ,時(shí)N n ? .suplim nn n aaa? ? 例4. ? ?,supaaaaa nnn ?且有上確界則 ? ? ? ? ? ? ?

10、? aa aa aaa n n Nn 2019/3/9 20 六、覆蓋 ?，若有一族開區(qū)間給定集合? ? ?, ,IA , ? ? ? ? ?IA使.A稱這一族開區(qū)間覆蓋了 ? ?.的一個(gè)開覆蓋是或稱開區(qū)間族AI ? )1( )2( ? ?的覆蓋是AI ? ?,A x? ? 總有一個(gè)開 ? ?. 00 ? IxII?，使區(qū)間 ），），（），），（如 2 1 , 1 (, 5 4 3 2 , 4 3 2 1 ( , 3 2 0: ? ? n n n n ? 2 1 4 1 ),10( ，覆蓋了 ，覆蓋了 2019/3/9 21 定理1.7.1 )(定理 BorelHeine ? ?覆蓋，被一族開

11、區(qū)間若有限閉區(qū)間 ? Iba, 則必可從中選出有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋 .,ba 證明： 反證法 ? ?,中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋不能被設(shè) ? Iba , , 二等分將ba不能必有一個(gè)區(qū)間, 11 ba .被有限覆蓋 2019/3/9 22 不能必有一個(gè)閉區(qū)間二等分, 2211 baba .被有限覆蓋 ?, nn ba得到閉區(qū)間套如此下去且其中 .限覆蓋每一個(gè)區(qū)間都不能被有 知由閉區(qū)間套定理 , ,| 1 ? ? ? ? n nn ba? .limlim ? ? n n n n ba且 ,ba? ? ?,),(? ? 蓋住中至少有一個(gè)在 I?.? 2019/3/9 23 ,由極限性質(zhì)必有如,NnN? ,? nn ba ),(,? nn ba矛盾！ 可少！區(qū)間的有限性、閉性不 ,), 1(, 2 , 1), 0(的開覆蓋是?nn .無有限覆蓋 ,(0,1), 3 , 2),1 , 1 (的開覆蓋是?n n .無有