第六章解析幾何.

1、第一章直線有向線段、定比分點(diǎn)稱定義及內(nèi)容有向直線規(guī)疋了正方向的直線叫做有向直線有向線段規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段叫做有向線段，如：以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的有向線段；記為：AB ,有向線段的 長(zhǎng)度與數(shù)量長(zhǎng)度線段AB的長(zhǎng)度就叫做有向線段 AB的長(zhǎng)度；記為：|AB|,數(shù)量在有向線段AB長(zhǎng)度|AB|的前面加上表示方向的符號(hào) “ +、- ”， 這個(gè)數(shù)就叫做有向線段 AB的數(shù)量(或數(shù)值)；記為：AB , 注：“ + ”號(hào)表示有向線段 AB與所規(guī)定的直線方向相冋，“-”號(hào)表示有向線段 AB與所規(guī)定的直線方向相反， 在數(shù)軸ox上，點(diǎn)的坐標(biāo)x就是有向線段OP的數(shù)量, 即：OP x,有向線段的 長(zhǎng)度與數(shù)量 計(jì)算公式設(shè)

2、：在數(shù)軸ox上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是x1,點(diǎn)B的坐標(biāo)是x2,則有：數(shù)量AB = X2 - X長(zhǎng)度| AB |=| X2 - X1|平面上兩點(diǎn)間的 距離公式設(shè)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi) xoy中,點(diǎn)P1(x1,y1)、點(diǎn)P2(x2,y2),則：|RF2| J(X2 xi)2 (y2 yi)2定比分點(diǎn)有向直線1上的一點(diǎn)P,把有向直線l上的有向線段P1P2分成兩條有 向線段PiP、PP2，把有向線段RP、PP2的數(shù)量之比叫做點(diǎn) P分P1P2 所成的比，記為：P1P則：PP2其中：點(diǎn)P叫做P,P2的定比分點(diǎn)， 注：由于點(diǎn)R與點(diǎn)P?不重合，故：-1; 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Pi重合時(shí)，故：=0; 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P2重合時(shí)，故：不存在；

3、 當(dāng)點(diǎn)P在P1P2上時(shí)，則稱點(diǎn)P是P1P2的內(nèi)分點(diǎn)，且0； 當(dāng)點(diǎn)P不在P1P2上時(shí)，則稱點(diǎn)P是P,P2的外分點(diǎn)，且0； (I)當(dāng)點(diǎn)P在PR的延長(zhǎng)線上時(shí)，則 -1；(n )當(dāng)點(diǎn)P在P2P1的延長(zhǎng)線(或P1P2的反向延長(zhǎng)線)上時(shí)， 則-10,定比分點(diǎn)的 計(jì)算公式設(shè)：點(diǎn)P分P1P2所成的比為(-1),且點(diǎn) Pi(X1, y1)、點(diǎn) P2(X2, y2)、點(diǎn) P(x, y),y y1 x x1則有：丄工1y2 yx2xXiX2X 1 ( -1), yyiy21中點(diǎn)的坐標(biāo)公式設(shè):點(diǎn)Po（xo，yo）是線段RP2的中點(diǎn)，且R（X1,yJ、卩鳥(niǎo)區(qū)亠）,X1 x2則有：2yy1 y2yo 2三角形重心的 坐標(biāo)

4、公式設(shè)：在厶 ABC 中,頂點(diǎn) A(x1, y1)、B(x2 , y2)、C(x3, y3), 重心為G(x,y),X1X2 X3x 則有：3y1 y2 yay3、直線與方程名稱定義及內(nèi)容直線與方程以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某一條直線上，且這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程、這條直線 就叫做這個(gè)方程的直線直線的傾斜角在直角坐標(biāo)系xoy中,直線l向上的方向與x軸的正方向所形成的最 小正角就叫做這條直線的傾斜角，記為：當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，規(guī)定它的傾斜角是0o,故：傾斜角的取值范圍是 0o,180o ,直線的斜率直線的傾斜角不是90o時(shí)，規(guī)定傾斜角的正切叫做這條

5、直線的斜率，記為：k故：k tg ,當(dāng)直線的傾斜角是90o時(shí)，這條直線的斜率 k不存在（即:這條直線沒(méi)有斜率k）,斜率的計(jì)算公式設(shè)：卩1（為”1）、P2（x2,y2）是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，則這條直線的斜率y2 y1k 72 （其中：R、P2是不重合的兩點(diǎn) 且X1 X2）X2 X1直線方程的 五種形式 點(diǎn)斜式：設(shè)點(diǎn)Po（x0, y0）在直線l上,且直線l的斜率是k，則直線l的方程為：y y k（x X0） 斜截式：設(shè)直線1的斜率是k,它在y軸上的截距是b,則直線l的方程為：y k x b 兩點(diǎn)式：設(shè)P（x1,yJ、P2（X22）是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，貝V直線1的方程為：y yi x xiy2 yiX

6、2 xi（其中:Pi、P2是不重合的兩點(diǎn)，且xi X2、yi y2） 截距式：設(shè)直線1在x軸上的截距是a，在y軸上的截距是b,且a、b均不 為0,則直線l的方程為：仝y ia b 一般式：任何一條直線l均可與成關(guān)于 x、y的一次方程Ax By C=0 （其中：A、B不全為0, A、B、C是常數(shù)） 的形式，注：直線1在x軸、y軸上的截距a、b，是指直線l與x軸、y軸 相交時(shí)，交點(diǎn)中的橫坐標(biāo)是 a、縱坐標(biāo)是b ,二、兩條直線的位置關(guān)系名稱定義及內(nèi)容宀護(hù)方 位置大糸設(shè)：直線li的方程為：=&xbi （或:AxBiyCi =0）,直線 l2 的方程為：y = k2xb2 （或：A2xB2yC2=0）,

7、注：（I ） ki、k2 均存在（或:Ai、A2、Bi、B2全不是 0）,（n）對(duì)于ki、k2不 定存在（或：Ai與Bi、A2與B2中有0）的情況，單獨(dú)研究，關(guān)系充分必要條件平行Ai BiCili / l2ki = k2 且 0 b2 （即：=）,A2 B2C2垂直li 丄 12ki k2 = i （即：Ai A2 Bi B2 =0）特 殊 情 況當(dāng)ki、k?都不存在（即：Bi= B2 =0）時(shí)，ACi若 bi b2 （即：），貝U11 / 12 ;A2C2Ac右bi = b2 （即：=），則li與l2重合，a2 c2當(dāng)匕不存在、k2 =0 （或：Bi =0、A2=0）時(shí)，貝U li丄l2,有

8、關(guān)相交冋題角直線li到直線l2的角把直線li依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到直線 l 2的位置時(shí)所旋轉(zhuǎn)的角度 就叫做li到12的角，記為：（0 v i80o）設(shè)：直線li的方程為：丫 = & x bi,直線丨2的方程為：y = k2 x b2, （ki、k2均存在） k2 ki則：tg =1 kik2直線ll與直線12的夾角兩條直線li與12相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，小于或等于90的 銳角就叫做直線li與直線丨2的夾角,記為：（0 0),則該圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程是2 2 2(x a) (y b) r注：圓心在原點(diǎn) (0,0),半 徑是r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2 2 2xyr (r 0)dIo.有關(guān)圖形位置大糸判定方法設(shè)：點(diǎn)

9、 M (m, n),圓 C : (x2 2 2a) (y b)r (r 0)點(diǎn)與圓點(diǎn)在圓內(nèi)|MC | v r點(diǎn)在圓上| MC | r點(diǎn)在圓外|MC | r設(shè)：直線l : Ax By C 0,圓C2 22:(X a) (y b)r (r 0)，圓心C（a,b）到直線丨:AxBy C 0的距離是d.直線與圓相離d r（沒(méi)有公共點(diǎn)）直線與圓直線與圓相切d = r（只有一個(gè)公共點(diǎn)）直線與圓相交d v r（有兩個(gè)公共點(diǎn)）設(shè)：圓 M :(x a)(y b)R ,2 2 2圓 N : (x c) (y d)r(R r 0),圓心距是|MN |外離|MN | R r圓與圓相離亠入內(nèi)含|MN | R r圓與圓（

10、沒(méi)有公共點(diǎn)）-外切|MN | R r圓與圓相切亠t內(nèi)切|MN | R r（只有一個(gè)公共點(diǎn)）圓與圓相交R r |MN | R r（有兩個(gè)公共點(diǎn)）有關(guān)直線與圓、圓與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)（或位置關(guān)系）問(wèn)題，可根據(jù)直線與方公共點(diǎn)程、曲線與方程的概念，轉(zhuǎn)化為方程組的公共解的問(wèn)題，問(wèn)題然后消去一個(gè)未知數(shù)得到一個(gè)一兀二次方程，再根據(jù)判別式的取值確定解的個(gè)數(shù)（或位置關(guān)系），有關(guān)兩個(gè)圓的相交弦問(wèn)題，可根據(jù)曲線與方程的概念，轉(zhuǎn)化為方程組的公共相父弦【FH耳而解問(wèn)題，冋時(shí)消去兩個(gè)方程中的未知數(shù)x、y的二次項(xiàng)所得到的二兀一次或一問(wèn)題兀一次方程就是相交弦所在的直線方程5經(jīng)過(guò)圓xyr上一點(diǎn)（xo,y）的切線方程是 x x y

11、y r ；2 2 2 2 2經(jīng)過(guò)圓(x a) (y b)r (即：x y Dx Ey F 0)圓的切線上一點(diǎn)（X。，y。）的切線方程是iXX。、XX。y y。 D()2E(y y。)F 02(其中：D 2a, E 2b,F a2 b2 r2)圓的普通方程X2 y2 DxEy F 0三、橢圓定義第一定義在平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距 離的和是一個(gè)常數(shù) 2a （2a | F1F2 |） 的點(diǎn)的軌跡（或點(diǎn)的集合）叫做橢圓， 其中：這兩個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，記為：Fj、F2第二定義在平面內(nèi)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn) F 的距離和它到一條定直線 |的距離的 比是一個(gè)小于 1的常數(shù)e時(shí),這個(gè)動(dòng) 點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，

12、 其中：這個(gè)定點(diǎn)F叫做焦點(diǎn)；這條定直線|叫做準(zhǔn)線；這個(gè)常數(shù)e叫做離心率，圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)焦占八 、八、長(zhǎng)軸、短軸、焦距及之間關(guān)系離心率準(zhǔn)線焦點(diǎn)在x軸上2 2x2 y2 1 （其中：a a ba x a， b y對(duì)稱軸是x軸、b 0）b，2 2y2 x21 （其中：aa ba ya， b xy軸；對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)（o,o）Ai（ a，0）， A2（a，0）;Bi（O, b），B2（0,b），F(xiàn)i（ c，0），F(xiàn)2（c,0）A（o, a），A2（0,a）;Bi（ b，0），B2（b,0），F(xiàn)i（0, c），F(xiàn)2（0,c）長(zhǎng)軸:| A1A2 | 2a，短軸：|BiB2| 2 b.焦距：F

13、 2c其中：a為半長(zhǎng)軸，b為半短軸，c為半焦距， a2 b2 c2準(zhǔn)線l : xce（0 e 1），a23準(zhǔn)線l : yc0）四、雙曲線定義第一定義第二定義在平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距 離之差的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù) 2a （0 2a廳汀2 |）的點(diǎn)的軌跡（或點(diǎn)的集合）叫做雙曲線， 其中:這兩個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，記為：、F2在平面內(nèi)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)疋點(diǎn) F 的距離和它到一條定直線l的距離的比是一個(gè)大于 1的常數(shù)e時(shí),這個(gè)動(dòng) 點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線， 其中：這個(gè)定點(diǎn)F叫做焦點(diǎn)；這條定直線l叫做準(zhǔn)線； 這個(gè)常數(shù)e叫做離心率，且：e 1標(biāo)準(zhǔn)方程2 2冷與1（其中:a 0,b 0） ab2 2爲(wèi)篤 1 （其中

14、：a 0,b 0）ab范圍xa或 xa ,ya 或 ya ,對(duì)稱性對(duì)稱軸是x軸、y軸；對(duì)稱爾中心是坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),頂點(diǎn)Ai （ a,0）, A2（a,0）;A1 （0, a）, A2（0, a）;焦占八 、八、Fi（ c,0）, F2（c,0）F1（0, c）, F2（0,c）實(shí)軸、虛軸、 焦距及之間關(guān)系實(shí)軸:| A1A2 | 2a,虛軸:| Bi B2 | 2b.焦距：廳汀2丨2c 其中：a為半實(shí)軸，b為半虛軸，c半焦距， c2 a2 b2離心率e c （e 1）, a準(zhǔn)線2準(zhǔn)線1 : xc2準(zhǔn)線1 : yc漸近線by - xaay xb五、拋物線定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線l的

15、距離相等的點(diǎn)的軌跡(或點(diǎn)的集合) 叫做拋物線，其中：這個(gè)定點(diǎn)F叫做焦點(diǎn)，這條定直線l叫做準(zhǔn)線，圖象焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)在y軸上y焦點(diǎn)在x軸上JLi/ 1k-iK /z標(biāo)準(zhǔn)方程2y 2px (x 0)2x 2py (y 0)2y2px (x 0)2x2py (y 0)范圍y Rx R對(duì)稱性關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱頂點(diǎn)和焦點(diǎn)頂點(diǎn)0（0,0）,焦點(diǎn)F（匕0）2頂點(diǎn)0（0,0）,焦點(diǎn)F（o,號(hào)）頂點(diǎn) 0(0,0),焦點(diǎn) F( ,0)2頂點(diǎn)0（0,0）,焦點(diǎn)F（0,號(hào)）準(zhǔn)線Px2P y 2x衛(wèi)2y f焦參數(shù)拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線1的距離叫做焦參數(shù)，記為：p,離心率e 1六、中心或頂點(diǎn)在（xo，y。

16、）的橢圓、雙曲線和拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(x X。)2 (y y。)21(y y)2 (x X0)212 ,21ab(a b 0)2, 21ab(a b 0)圖象iIAKpIkLF=-1對(duì)稱性對(duì)稱軸是x X0 , y y ；對(duì)稱中心是（X0,y）,頂點(diǎn)A1(x a,y) , A2(x a,y)B1(X0,y b) , B2(X0,y b)A(X0,y a) , A2(X0,y a)B1(x b,y) , B2(x b, y)焦占八 、八、F1(xc, y) , F2(xc, y)F1(X0,y c), F2(X0,y c)準(zhǔn)線2ax X0c2ay y0c橢 圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x Xo)2 (y yo)22i

17、T2ab(a 0,b0)(y yo)22a(x Xo)2(a 0,b0)圖象對(duì)稱性頂點(diǎn)焦占八 、八、準(zhǔn)線漸近線標(biāo)準(zhǔn)方程圖象對(duì)稱性頂點(diǎn)焦占八 、八、準(zhǔn)線對(duì)稱軸是x Xo， y yo;對(duì)稱中心是(xo, yo),Ai(Xo a, yo)，A2(x a, yo)Fi(xo c, yo) , F2(xoc, yo)2axXocby yo (x xo)a(y yo)2 2p(x Xo)(x Xo)(y yo)22p(x X。)(X Xo)對(duì)稱軸是yy。，F(xiàn)(P Xo, yo)2F( P Xo, yo)2x P2Px Xo2XoA(xo,y a) , A2(x,y。a)Fi(xo,yo c) , Fzgyo c)2ay yocay yo _ (x xo)b(x Xo)2 2p(y yo)(y y。)(X Xo)22p(y yo)(y y。)略對(duì)稱軸是x xA(xo, yo)F(xo,p yo)2F(xo, p yo)2衛(wèi)y c y2py c yo2七、其它概念焦半徑 及公式橢圓（